a,b,c≥0,t∈R⇒a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)≥0。
介绍
当且仅当 ，或其中两个数 相等 而另外一个为零时，等号成立。
Schur不等式虽不是联赛大纲中规定掌握的不等式，但在联赛不等式证明题中仍能发挥重要作用。
证明
对 的证明：
由对称性，不妨设 ，
，证毕。
对 的证明：
由对称性，不妨设 ，则 。
证毕。
推论
1、 。
2、三角形中， 为角 所对的三边 。
3、三角形中， 。
推广
假设 是正的 实数 。如果 和 是顺序的，则以下的 不等式 成立：
2007年， 罗马尼亚 数学家Valentin Vornicu证明了一个更一般的形式：
考虑 ，其中 ，而且要么 ，要么 。设 ，并设 要么是 凸函数 ，要么是 单调函数 。那么：
当 时，即化为舒尔不等式。
舒尔不等式的如下两个变形形式在解题中非常有用
变形1：
变形2：
事实上，把①展开即得变形1，因为 代入变形1，得
所以
下面引用三个例题来介绍舒尔不等式的用法
例题1： 设 ， 且 ， 求证： .
证明： 由舒尔不等式的变形2可得 :
有题设条件 可得
另一方面，
从而命题得证。
例题2
证明：在△ABC中有
证明：令 ,则由舒尔不等式可得
所以
例题3： 设 ，且 ，求证：
证明：因为 , 所以上式等价于
等价于
即
这就是舒尔不等式的变形1，故原命题得证！