序理论是数学的一个分支，主要研究捕获数学排序的直觉概念的各种 二元关系 。 序是从数的大小、集合的包含等关系中抽象出来的概念。 其中 偏序关系 和 全序关系 、二元关系、 哈斯图 属于序理论中最基本的概念。 在序理论中还包含一些特殊的序类型，如全序和格等。
序理论中包含一些重要的 定理 ，如序扩张定理、 Hausdorff极大原理、 Zorn 引理 、 良序定理 等。 序理论可以用于数学学科中的集合论、 拓扑学 和 数学分析 等， 还可用于 经济学 和信息学等其他学科中。
定义
序是现代数学中的一个基本概念，20世纪30年代 法国 年轻的数学家们创立了以推崇 结构主义 而著称的布尔巴基学派，认为全部数学基于三种母结构，即代数结构、序结构和拓扑结构。其中对序作了精确论述。数学中序或 序数 是对日常生活中第一、第二等表示次序的数的推广；而序又是建立在偏序、全序、良序基础上的。数学上认为，系统内部最基本的关系是 二元关系 （数学上用映射来表示），系统内部的序结构是以一元为基础的，次序是二元关系中一个非常重要的类型。
简史
序，又称为序关系，是从数的大小、集合的包含等关系中抽象出来的概念。为了研究序关系的性质和作用，产生了偏序集和格的理论。在1847年和1854年，布尔（Boole,G.）首次提出了 布尔代数 的概念，用于研究思维规律（ 逻辑学 、数理逻辑）。到了19世纪末期，皮尔斯（Peirce, 计算机科学 ）和施罗德（Schröder,F.W.K.E.）在对布尔代数的公理化研究中，创造性地引入了格的概念。同时， 戴德金 （Dedekind,J.W.R.）在研究 代数数 的理想时，也独立地给出了格的公理化定义，并对格的概念进行了深入研究，还引入了分配格的弱形式，即模格的概念。尽管这些科学家和 亨廷顿 （Huntington,E.V.）的一些早期结果具有重要意义，但当时并未引起数学界的足够重视。直到20世纪30年代中期，伯克霍夫（Birkhoff,G.D.）的工作开启了格论的全面发展。他与格里文克(Glivenko,V.）、门杰（Menger,K.）、 约翰·冯·诺依曼 （von Neumann,J.）、奥尔（Ore,O.）、斯通（Stone,M.H.）等人在这一新领域的一系列文章引起了数学界的广泛关注。
基本概念
偏序关系和全序关系
偏序关系 ，用于描述集合元素间部分排序关系的一种 二元关系 ；设 是一个集合，如果 上的一个关系 满足自反性（对任意 实数 ，有 成立）、反对称性（对任意 ，若 且 ，则必有 ，）和可传递性（对任意 ，若 ， ，则必有 ），则称 是 上的一个 偏序关系 ，并把它记为 ，这时称（ ， ）为偏序集， 偏序集用序偶( ， )表示。 在一个 偏序关系 中，每个元素都是可比的，则称为 全序关系 ； 即有一个集合 ，若集合 是一条链（即集合的一个 子集 中任何两个元素都相关），则偏序集( ， )称为全序集，在这种情况下， 二元关系 “ ”称为全序关系。 在全序关系中， 良序关系 是其一种特殊情况，每个良序集( ， )都是全序集，但全序集不一定是良序集；在一个全序集合中，如果对任意的非空子集都能在其序下找到最小元素，那么这个 全序关系 就被称为良序关系。
二元关系
设 是两个非空集合， ，称 是从 到 的二元关系；若 ，称 为 上 二元关系 。
哈斯图
哈斯图用来表示有限偏序集，偏序集 的基数称为 的阶，记为 ；若 有限，则称 为有限偏序集。用○表示有限偏序集 的元素，若 ，则把表示 的○放在表示 的○上方；若 ，则用直线段连结表示 的○及表示 的○，这样得到的图称为偏序集的示图，两个有限偏序集 同构 、对偶都可从图上看出。
特殊类型
全序
全序集中的关系 称为全序或线性序，全序集（线性序集或链）是一类重要的偏序集。若偏序集 适合如下公理：若对任意 三式中有且仅有一式成立，则称 为全序集。若偏序集 的 子集 作为子偏序集是全序集，则称 是 中的链;若 是非序的，则称 为 的 反链 。实数集及其任何子集在通常的 关系下是全序集。
格
格是一种特殊的偏序集，它要求集合中的任意两个元素都存在上确界和下确界。 而 布尔代数 定义为具有最大元和最小元的有余(有补)的分配格，是一种特殊的格，也是一种代数结构，用于处理逻辑运算和集合运算。布尔代数最初由 英国 数学家 乔治·布尔 提出，用于研究思维规律和逻辑运算。
序数
序数被定义为良序集的类型。如：集合0，1，2…8中9是一个序数。序数有三类：零、后继序数、极限序数。对任何一个良序A，必有一个，而且仅有一个a使A与a序 同构 ，此时称a为A的序数。任何两个具有相同序数的良序集，必定同构，这就是说序数是同构良序集的共同特征。
半模偏序集
半模偏序集是一类特殊的偏序集。在一个含最小元的有限长偏序集 中，若对于任意 ，当 覆盖 时，若存在 使得 和 都覆盖 ，则存在 使之覆盖 和 ，那么称 为（上）半模偏序集。对偶地，可以定义下半模偏序集。若一个偏序集既是上半模的，又是下半模的，则称其为模偏序集。
重要定理
序扩张定理
序扩张 定理 ，即任何偏序都可扩张为线序（全序）。这个定理在数学的许多领域都有应用，它提供了一种将连续映射从子空间扩张到整个空间的方法。
Hausdorff极大原理
Hausdorff极大原理，即每个非空半序集都包含一个全序 子集 ，就其具有全序性质而言，它是极大子集。
Zorn引理
Zorn引理在数学中占有重要地位，也被称为Kuratowski-Zorn引理，该引理是由Kuratowski（ 库拉托夫斯基 ）在1922年首先发现的，随后，Zorn在1935年亦独立地发现了此结论。Zorn引理即在任何非空的偏序集中，如果每个链（即任意非空全序的 子集 ）都有下界，那么该偏序集必定包含一个极小元素， 或在任何非空的偏序集中，如果每个链（即任意非空全序的 子集 ）都有上界，那么该偏序集必定包含一个极大元素。
良序定理
良序定理是集合论中的一个重要定理，即任一集合都能赋予一个先后次序，使之成为良序集。良序定理在1904年被Zermelo提出的 选择公理 证明。良序定理的证明依赖于选择公理，选择公理称，对于任何非空集合的集合，都存在一个选择函数，可以从每个非空集合中选择一个元素。
Dilworth定理
Dilworth定理，即对于任意有限偏序集，其最大 反链 中元素的数目必等于最小链划分中链的数目。此定理的对偶形式亦真，对于任意有限偏序集，其最长链中元素的数目必等于其最小反链划分中反链的数目，是序理论中的一个重要定理。
应用领域
数学
序理论为集合论提供了丰富的工具和概念，如偏序集、全序集、良序集等。这些概念在集合的排序、分类和组织方面起着重要作用。例如， 良序定理 表明任何集合都可以被良序排序，这为解决一些存在性问题提供了有力工具。 序理论在 拓扑学 中也有重要应用。例如，序拓扑是通过全序集上的开 射线 来定义的，它为研究实数线和其他有序空间的拓扑性质提供了基础。 此外，序理论中的一些概念，如连通性、紧性等，在拓扑学中也有对应的概念和性质。 同时在 数学分析 中，序理论的某些概念为其提供基础，如分析学中的半序线性空间是一类赋有序关系的线性空间，称为有序线性空间。在考察实值函数时，除了有线性结构、拓扑结构以外，还有个按照自然的序。
经济
经济领域： 意大利 资产阶级经济学家维尔弗里多·帕累托(148-1923年)在1896--1897年出版的《政治经济学讲义》中提出序数论。他认为边际效用不是数量概念，而是次序概念。认为不能用基数1、2、3……来表示边际效用 绝对值 的大小，只能用序数第一、第二、第三……来表示边际水平的高低。
信息科学
序理论中的 偏序关系 可以用来描述访问类集合之间的支配关系，在BLP安全模型中定义了一种访问类结构，该结构由访问类集合与各访问类之间的关系组成。每个访问类包括一个敏感级与一个信息类，访问类集合实际上是由敏感级集合与信息类集合的乘积形成的；访问类之间的关系定义为就被偏序关系。