向量 积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在 向量空间 中向量的 二元运算 。与 点积 不同，它的运算结果是一个 向量 而不是一个 标量 。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。
基本概念
表示方法
两个向量 a 和 b 的叉积写作 （有时也被写成 ，避免和字母x混淆）。
定义
向量积可以被定义为： 模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下) ，它位于这两个 矢量 所定义的平面上。）
方向：a 向量 与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守 右手定则 。（一个简单的确定满足“ 右手定则 ”的结果向量的方向的方法是这样的：若 坐标系 是满足右手定则的，当右手的四指从 a 以不超过180度的转角转向 b 时，竖起的大拇指指向是 c 的方向。）
也可以这样定义（等效）：
向量积
即 c 的长度在数值上等于以 a ， b， 夹角为θ组成的 平行四边形 的面积。
而 c 的方向垂直于a与b所决定的平面， c 的指向按右手定则从a转向b来确定。
*运算结果 c 是一个伪 向量 。这是因为在不同的坐标系中 c 可能不同。
坐标运算
设 , )。i，j，k分别是X，Y，Z轴方向的 单位向量 ，则：
为了帮助记忆，利用三阶 行列式 ，写成
证明
为了更好地推导，我们需要加入三个轴对齐的 单位向量 i,j,k。
i,j,k满足以下特点：i=j×k；j=k×i；k=i×j；k×j=–i；i×k=–j；j×i=–k；i×i=j×j=k×k=0；（0是指0向量）。
由此可知，i,j,k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个 坐标系 。
这三个向量的特例就是i=(1，0，0)、j=(0，1，0)、k=(0，0，1)。
对于处于i,j,k构成的坐标系中的向量u,v我们可以如下表示：
；
；
那么
由于上面的i,j,k三个 向量 的特点，所以，最后的结果可以简化为
。
与数量积的区别
注：向量积≠ 向量的积 （向量的积一般指点乘）
一定要清晰地区分开向量积（矢积）与数量积（ 标积 ）。见下表。
性质
几何意义及其运用
叉积的长度 可以解释成这两个叉乘 向量 a , b 共起点时，所构成 平行四边形 的面积。据此有： 三重积 可以得到以 a ， b ， c 为棱的 平行六面体 的体积。
代数规则
1.反 交换律 ：
2.加法的 分配律 ：
3.与 标量乘法 兼容： 。
4.不满足 结合律 ，但满足 卡尔·雅可比 恒等式 ：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。
5.分配律、线性性和雅可比恒等式表明：拥有向量加法和叉积的R3构成了一个李 代数 。
6.两个非零向量a和b平行，当且仅当 。
拉格朗日公式
这是一个著名的公式，而且非常有用：
证明过程如下：
二重向量 叉乘化简公式及证明
可以简单地记成 。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是，这个公式对 微分算子 不成立。
这里给出一个和 梯度 相关的一个情形：
这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。
另一个有用的 拉格朗日恒等式 是：
矩阵形式
；
；
；
通过这些规则，两个 向量 的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设
；
；
则 。
叉积也可以用 四元数 来表示。注意到上述i，j，k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量 表示成四元数 ，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法， 向量 运算及其几何意义请参看四元数（空间旋转）。
高维情形
七维 向量的叉积可以通过 八元数 得到，与上述的四元数方法相同。
七维叉积具有与三维叉积相似的性质：
双线性性： ；
反 交换律 ： ；
同时与x和y垂直： ；
拉格朗日恒等式 ： ；
不同于三维情形，它并不满足 雅可比 恒等式 ： 。
应用
在物理学光学和计算机图形学中，叉积被用于求物体光照相关问题。
求解光照的核心在于求出物体表面 法线 ，而叉积运算保证了只要已知物体表面的两个非平行 矢量 (或者不在同一直线的三个点)，就可依靠叉积求得法线。