方程（equation）是指含有未知数的等式。是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间 相等 关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”。
通过方程求解可以免去逆向思考的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多种形式。如 一元一次方程 、二元一次方程、 一元二次方程 等等，还可组成方程组求解多个未知数。
在数学中，一个方程是一个包含一个或多个变量的等式的语句。求解等式包括确定变量的哪些值使得等式成立。变量也称为未知数，并且满足相等性的未知数的值称为等式的解。
数学术语
发展
据考古发现，早在三千六百年前 古埃及 人就开始涉猎方程问题，而我国的"九章算术"以及"天元术"等也都对方程问题进行了详尽的论述和解说。 古埃及 人写在草纸上的数学问题中，就涉及了方程中含有未知数的等式。
公元825年左右， 中亚 的数学家阿尔·花拉子米曾写过一本名叫《 对消与还原 》的书，重点讨论方程的解法。
名称
方程中文一词出自古代数学专著《 九章算术 》，其第八卷即名“方程”。“方”意为并列，“程”意为用 筹算 表示竖式。 九章算术
卷第八（一）为：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？（现今有上等黍3捆、中等黍2捆、下等黍1捆，打出的黍共有39斗；有上等黍2捆、中等黍3捆、下等黍1捆，打出的黍共有34斗；有上等黍1捆、中等黍2捆、下等黍3捆，打出的黍共有26斗。问1捆上等黍、1捆中等黍、1捆下等黍各能打出多少斗黍？）
答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，中禾一秉，四斗、四分斗之一，下禾一秉，二斗、四分斗之三。
方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。
以上是出自《 九章算术 》中的三元一次 方程组 ，并展示了用“遍乘直除”来消元以解此方程组。
魏晋 时期的大数学家 刘徽 在公元263年前后为《九章算术》作了大量注释，介绍了方程组：二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。他还创立了比“遍乘直除”更简便的“互乘相消”法来解方程组。
定义
方程是含有未知数的等式，这是小学教材中的逻辑定义，而含未知数的等式严格说不一定是方程，如 。方程严格定义如下:
形如 的等式，其中 和 是在定义域的 交集 内研究的两个解析式，且至少有一个不是 常数 。
方程与等式的关系
方程一定是等式，但等式不一定是方程。
例子： 符合等式，有未知数。这个是等式，也是方程。
， 。这两个式子符合等式，但没有未知数，所以都不是方程。
在定义中，方程一定是等式，但是等式可以有其他的，比如上面举的 ， ，都是等式，显然等式的范围大一点。
解方程依据
1 .移项变号 ：把方程中的某些项带着前面的符号从方程的一边移到另一边，并且加变减，减变加，乘变除以，除以变乘；
2. 等式的基本性质
性质1
等式两边同时加(或减)同一个数或同一个 代数式 ，所得的结果仍是等式。用字母表示为：若 ，c为一个数或一个代数式。则：
(1) (2)
性质2
等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式（不为0），则ac=bc或a/c=b/c。
性质3
若 ,则 （等式的对称性）。
性质4
若 , 则 （等式的传递性）。
解方程步骤
方法一：1.能计算的先计算； 2.转化——计算——结果
方法二：从前往后算，算到只剩一个数时便可直接计算。
相关概念
方程式或简称 方程 ，是含有未知数的等式。即：⒈方程中一定有含一个或一个以上未知数的 代数式 ；2.方程式是等式，但等式不一定是方程。
未知数： 通常设x.y.z为未知数，也可以设别的字母，全部小写字母都可以。
“次” ：方程中次的概念和整式的“次”的概念相似。指的是含有未知数的项中，未知数次数最高的项。而次数最高的项，就是方程的次数。
“解” ：方程的解，指使，方程的根是方程两边 相等 的未知数的值，指一元方程的解，两者通常可以通用。
解方程 ：求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的值的过程，或说明方程无解的过程叫解方程。
方程中， 恒等式 叫做 恒等方程 ，矛盾式叫做 矛盾方程 。在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如，在 时等号成立。使方程左右两边相等的未知数的值叫做 方程的解 。
同解方程：
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。
方程的同解原理：
⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。
⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。
整式方程 ：方程的 两边 都是 关于未知数的整式 的方程叫做整式方程。
分式方程 ： 分母中含有未知数 的方程叫做分式方程。
一元一次方程
只含有一个未知数，且未知数次数是一的 整式方程 叫一元一次方程（linear equation with one unknown）。通常形式是 (a，b为 常数 ，且a≠0） 。
一般解法
例如：
解：
（注：解方程时最好把等号对齐）
教学设计
教学目标
重点难点
一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤．
教学过程
一、从学生原有的认知结构提出问题
在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元 一次方程 来解决呢？若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解 应用题 相比较，它有什么优越性呢？
为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题．
例1 某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数．
(首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书)
解法1： ．
答：某数为3．
(其次，用 代数 方法来解，教师引导，学生口述完成)
解法2：设某数为x，则有
解：
解之，得 ．
答：某数为3．
纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得 应用题 的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用 一元一次方程 解应用题的目的之一．
我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个 相等 关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程．
本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤．
二、师生共同分析、研究 一元一次方程 解简单应用题的方法和步骤
例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15%后，还剩余42500 千克 ，这个仓库原来有多少面粉？
师生共同分析：
上述分析过程可列表如下：
解：设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克，由题意，得x-15%x=42500，
X-15试验机 %x=42500
解：(1-15%)x=42500
85%x=42500
x=42500÷85%
x=50000
所以 x=50000．
答：原来有 50000 千克 面粉．
此时，让学生讨论：本题的 相等 关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？
(还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量)
教师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程
(2)例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿．
依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思考列 一元一次方程 解 应用题 的方法和步骤；然后，采取提问的方式，进行反馈；最后，根据学生总结的情况，教师总结如下：
(1)仔细审题，透彻理解题意．即 弄清已知量、未知量及其相互关系 ； 用字母(如x)表示题中的未知数
(2)根据题意 找出 相等 关系 ．(这是关键一步)
(3)根据相等关系， 正确列出方程 ．即所列的方程应满足两边的量要 相等 ；方程两边的 代数式 的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等
(4) 求出所列方程的解
(5) 检验 后明确地、完整地 写出答案 ．这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使 应用题 有意义．
二元一次方程
人教版7年级数学下册第四章会学到，冀教版7年级数学下册第九章会学到。在 人教版 九年级上 英语 讲 阿尔伯特·爱因斯坦 时也会涉及
一般解法
消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：
代入消元法
例：解 方程组
解：由①得
把③带入②，得 解得
把 带入③，得 即
所以
这种解法就是 代入 消元法。
加减消元
例：解方程组
解：①+②，得 ，即
把 带入①，得 ，解得
∴
这种解法就是 加减 消元法。
二元一次方程组 的解 有三种情况 ：
1.有一组解
如 方程组 ① 的解为 。
2.有无数组解
如方程组 ① ②，因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个 相等 的实数根”），所以此类方程组有无数组解。
3.无解
如方程组 ① ②，因为方程②化简后为 ，这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
一元二次方程
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做 一元二次方程 (quadratic equation in one unknown)。
由 一次方程 到 二次方程 是个质的转变，通常情况下，二次方程无论是在概念上还是解法上都比一次方程要复杂得多。
一般形式
一般解法
一般解法有四种：
⒈公式法（直接开平方法）
⒉ 配方法
3. 因式分解法
4.十字相乘法
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个 因数 a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1, C2 的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是 二项式 乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
例1 把 分解因式。
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分
别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后 交叉相乘 ，求代数和，使其等于一次项 系数
分解二次项系数(只取正 因数 )：
分解常数项：
.
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为 交叉相乘 后，两项代数和恰等于一次项 系数－ 7.
解为： 。
一般地，对于二次三项式 ，如果二次项系数a可以分解成两个 因数 之积，即 ，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式 的一次项系数b，即 ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 与 之积，即：
像这种 借助画十字交叉线分解系数 ，从而帮助我们把 二次三项式 分解因式的方法，通常叫做 十字相乘法 。
总结：
① 型的式子的 因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个 因数 的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： ② 型的式子的因式分解
如果能够分解成 ，且有 时，那么
1． 直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解 一元二次方程 的方法。用直接开平方法解形如 的
方程，其解为 .
2． 配方法 ： 用配方法解方程
先将 常数 c移到方程右边：
将二次项系数化为1：
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：
方程左边成为一个完全平方式右边通过计算得到一个常数：
最后使用直接开平方法求解
3． 公式法 ：把 一元二次方程 化成一般形式，然后计算 判别式 的值，当 时，无解；方程当 时，把各项系数a, b, c的值代入 求根公式 就可得到方程的根。
4． 因式分解法 ：把方程变形为一边是 零 ，把另一边的 二次三项式 分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零 ，得到两个 一元一次方程 ，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解 一元二次方程 的方法叫做因式分解法。
二元 二次方程 ：含有两个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程。
三元一次方程
与二元一次方程类似，三个结合在一起的共含有三个未知数的一次方程。
解法
与二元一次方程类似，可以利用消元法逐步消元。
典型题析
某地区为了鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨按0.9元/吨收费；超过10吨而不超过20吨按1.6元/吨收费；超过20吨的部分按2.4元/吨收费。某月甲用户比乙用户多缴水费16元，乙用户比丙用户多缴水费7.5元。已知丙用户用水不到10吨，乙用户用水超过10吨但不到20吨。问：甲。乙。丙三用户该月各缴水费多少元(按整吨计算收费)?
解：设甲用水x吨，乙用水y吨，丙用水z吨
显然，甲用户用水超过了20吨
故甲缴费：0.9*10+1.6*10+2.4*(x-20)=2.4x-23
乙缴费：0.9*10+1.6*(y-10)=1.6y-9
丙缴费：0.9z
2.4 X-23 =1.6y-7+16
1.6y-7=0.9z+7.5
化简得
3x-2y=40……(1)
16y-9z=145……(2)
由(1)得x=(2y+40)/3
所以设y=1+3k,3<k<7
当k=4,y=13,x=22,代入(2)求得z=7
当k=5,y=16,代入(2),z没整数解
当k=6,y=19,代入(2),z没整数解
所以甲用水22吨，乙用水13吨，丙用水7吨
甲用水29.8元，乙用水13.8元，丙用水6.3元</CA>
多元一次方程
根除方法
设 方程组 ①：
把方程(1)×(-i1/a1)加到（i）上，再把方程(2)×(-i2/a2)加到（i）上，以此类推。
最后的许多0=0可以舍去，不影响方程的解。可以分三种情况：
（1）cr+1≠0
此时，满足前r各方程的任意一个解，都不能满足0=cr+1这个方程，所以②无解，所以①也无解
当cr+1=0时，又分两种情况：
（2）r=n
因为bii≠0,所以从最后一个方程可解出xn。然后代入第r-1个方程，解出xn-1。如此类推，可得出方程组②的唯一解，就是 方程组 ①的唯一解。
（3）r<n
可把方程组该成他的同解 方程组 ③：
b11 x1+b12 x2+ B13自动手枪 x3+…+b1r xr=c1-b1,r+1 xr+1-…-b1n xn
b22 x2+b13 x3+…+b2n xr= C2 b2,r+1 xr+1-…-b2n xn
………………
brr xr= 铬 br,r+1 xr+1-…-brn xn
设等号后面的数是已知数，按照（2）的方法来解，可解得：
x1=d11 xr+1+d12 xr+2+…+d1,nr xn
x2=d21 xr+1+d22 xr+2+…+d1,nr xn
………………
xr = dr1 xr + 1 + dr2 xr + 2 +… + dr, nr xn
令自由未知量xr+i=ki(i∈N且i∈[1，n-r])可得 方程组 的全部解：
x1=d11 k1+d12 k2 +…+ d1,nr kn-r
x2=d21 k1+d22 k2+…+d1,nr kn-r
………………
xr = dr1 k1 + dr2 k2 +… + dr, nr kn-r
xr + 1 = k1
xr+2=k2
…………
xn=kn-r
其他解法
（此法只适用于m=n且D≠0的方程组）
设系数 行列式 D=∣a ij∣,Di是D把i列换成结果的行列式
那么xi=Di/D(i∈N且i∈[1，n])
矩阵和 向量 解法
矩阵解法即把 方程组 ①的 增广矩阵 进行初等行变化。
向量解法即把方程组①改写成 的形式。
先求出方程组的特解η，然后求其对应导出组Ax=0的解 。
方程组的解为： 。
直线方程
(1)一般式： Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0) 适用于所有直线
直线l1：A1x+B1y+C1=0
直线l2：A2x+B2y+ C2 =0
两直线平行时：A1/A2=B1/B2≠C1/C2
两直线垂直时：A1A2+B1B2=0
两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/ C2
两直线 相交 时：A1/A2≠B1/B2
(2)点斜式：知道直线上一点 ,并且直线的 斜率 k存在，则直线可表示为 。当k不存在时，直线可表示为
(3)截距式：若直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为： 。所以不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线。
(4)斜截式：
(5)两点式：若直线过任意两点 ，且 ，则直线可以表示为
(6) 法线 式：
附注
一般地，n元一次方程就是含有n个未知数，且含未知数项次数是1的方程，一次项系数规定不等于0
n元一次 方程组 就是几个n元一次方程组成的 方程组 （ 一元一次方程 除外）
一元a次方程就是含有一个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）
一元a次方程组就是几个一元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）
n元a次方程就是含有n个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）
n元a次方程组就是几个n元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）
方程（组）中，未知数个数大于方程个数的方程（组）叫做不定方程（组），此类方程（组）一般有无数个解。
鸡兔同笼问题
解法公式
解法1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数
总只数－鸡的只数=兔的只数
解法2：（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数） =兔的只数
总只数－兔的只数=鸡的只数
解法3：总脚数÷2—总头数=兔的只数
总只数—兔的只数=鸡的只数
解法4（方程）：X=总脚数÷2—总头数（X=兔的只数）
总只数—兔的只数=鸡的只数
解法5（方程）：X=（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）（X=兔的只数）
总只数—兔的只数=鸡的只数
解法6（方程）：X=（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）（X=鸡的只数）
总只数－鸡的只数=兔的只数
方程解法
若用方程解鸡兔同笼问题，公式为：鸡脚+兔脚=总脚数。
鸡为x
例笼中共有30只鸡和兔，数一数足数正好是100只。问鸡和兔各有多少只？
解：设鸡为x只，则兔为(30-x)只。
解：
答：鸡有10只，兔有20只。
兔为x
例笼中共有鸡兔100只，鸡兔足数共248只。问鸡兔各有多少只？
解：设兔为x只，则鸡为 只。
解：
答：鸡有76只，兔有24只。
微分方程
微分方程 指描述未知函数的 导数 与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的 代数方程 ，其解是常数值。详见微分方程
微分方程是将一些函数与其 导数 相关联的数学方程。在应用中，函数通常表示 物理量 ， 衍生物 表示其变化率，方程定义了两者之间的关系。因为这种关系是非常常见的，微分方程在包括工程，物理， 经济学 和 生物学 在内的许多学科中起着突出的作用。
在 纯粹数学 中，微分方程从几个不同的角度进行研究，主要涉及到它们的解 - 满足方程的函数集。只有最简单的 微分方程 可以通过显式公式求解；然而，可以确定给定微分方程的解的一些性质而不找到其确切形式。
如果解决方案的自包含公式不可用，则可以使用 计算机 数值近似解决方案。 动力系统理论 强调了微分方程描述的系统的定性分析，而已经开发了许多数值方法来确定具有给定精确度的解决方案。
普通微分方程
普通微分方程或ODE是包含一个独立变量及其 导数 的函数的方程式。与“ 偏微分方程 ”相比，术语“普通”与对于多于一个的独立变量相关。
具有可以被加上和乘以系数的解的 线性微分方程 被明确定义和理解，并且获得精确的闭合形式的解。相比之下，缺乏添加剂解决方案的ODE是非线性的，解决它们是非常复杂的，因为很少以封闭形式的基本函数表示它们：相反，ODE的精确和分析解决方案是串联或整体形式。通过手动或 计算机 应用的图形和数值方法可以近似ODE的解，并且可能产生有用的信息，通常在没有精确的 解析解 的情况下就足够了。
偏微分方程
偏 微分方程 （PDE）是包含未知多变量函数及其 偏导数 的微分方程。（这与处理单个变量及其派生词的函数的普通微分方程相反）。PDE用于制定涉及几个变量的函数的问题，或者手动解决或用于创建相关的 计算机 模型。
PDE可用于描述各种各样的现象，如声，热， 静电 ，电 动力学 ， 流体 流动，弹性或 量子力学 。这些看似不同的物理现象可以在PDE方面类似地形式化。正如普通微分方程常常模拟一维 动力学 系统一样，偏微分方程通常模拟多维系统。PDEs在随机 偏微分方程 中找到它们的泛化。