导数（英语：Derivative ），也叫导函数值，又名微商， 是微积分中的重要基础概念。 当函数 的自变量在点 处产生一个增量 时，函数值的增量 与自变量增量 的比值，在 趋于0时的极限如果存在，该极限就是 在 处的导数，此时，称函数 在点 可导。 如果函数在开区间内每一点都可导，这时函数对于区间内的每一个确定的 值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数的导函数。 导数反映了函数相对于自变量的变化快慢。导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是 实数 的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。 导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
导数的思想是 法国 数学家 皮耶·德·费玛 为解决极大、极小问题而引入的。 17世纪，数学家牛顿、 戈特弗里德·莱布尼茨 等从不同的角度研究微积分， 他们分别在研究力学与 几何学 过程中建立了导数的概念。 1797年， 约瑟夫·拉格朗日 首次给出了“导数”这一名称，并用 来表示。 1817年， 波尔查诺 第一个将导数定义为：当 经由负值和正值趋于0时，比 无限接近地趋向的量。 1823年， 奥古斯丁-路易·柯西 在他的《无穷小分析教程概论》中用与波尔查诺同样的方式定义导数。
微分中值定理 是导数应用的重要基础，包括 罗尔中值定理 、 拉格朗日中值定理 和 柯西中值定理 。 利用导数可以分析函数的单调性，凹凸性和 极值 等性态， 还可以利用 洛必达法则 计算未定式的极限。
发展历史
大约在1629年， 法国 数学家 皮耶·德·费玛 研究了作曲线的切线和求函数 极值 的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分 ，其发现的因子 就是导数 。
17世纪，生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数
学家 艾萨克·牛顿 、 戈特弗里德·莱布尼茨 等从不同的角度开始系统地研究微积分。 牛顿在1671年写了《流数术和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，他在这本书里指出：变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫作流动量，把这些流动量的导数叫作流数。 1675年，数学家莱布尼兹率先使用微商 记号。 1677年，莱布尼兹得到了一些正确的微分公式，其中包括四则运算求导数法则，但他没有给出证明。
1737年， 英国 数学家辛普森在《有关流数的一篇新论文》中写道：“一个流动的量，按它在任何一个位置或瞬间所产生的 速率 （从该位置或瞬间起持续不变），在一段给定的时间内，所均匀增长的数量称为该流动量在该位置或瞬间的流数。” 1750年， 让·达朗贝尔 提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单地表示为 。也就是说，他把导数看作增量之比的极限，而不是看作微分或流数之比。 1786年，拉格朗日用 表示 对 的 偏导数 ，这就是现代的偏导数符号。但是，这一符号当时没有立即得到通用，1841年， 卡尔·雅可比 再次强调了这一符号，并引入 表示全微分而 表示偏微分。 1797年， 约瑟夫·拉格朗日 在《 复变函数 》中首次给出了“导数”这一名称，并用 来表示。
1817年，波尔查诺第一个将导数定义为：当 经由负值和正值趋于0时，比 无限接近地趋向的量 ，并强调 不是两个0的商，也不是两个消失了的量的比，而是前面所指出的比所趋近的一个数。 1823年， 奥古斯丁-路易·柯西 在他的《无穷小分析教程概论》中用与 波尔查诺 同样的方式定义导数。
19世纪60年代以后， 卡尔·魏尔施特拉斯 又创造了 语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的定义就成为现在所见的形式。
概念
基本定义
设函数 在点 的某邻域内有定义。当自变量 在点 处有增量 (点 仍在该邻域内）时，函数相应地有增量 。若极限 存在，则称函数 在点 处可导（或有导数或导数存在），并称此极限为函数 在点 处的导数，记作 ， ， 或 。即 。
若上式的极限不存在，则称函数f(x)在点x。处不可导或导数不存在。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导，但连续的函数不一定可导。
左右导数
若单侧极限 存在，则称此极限为 在点 处的左导数，记为 。
若单侧极限 存在，则称此极限为 在点 处的右导数，记为 。
如果函数 在开区间 内可导，且在左端点 的右导数存在，在右端点 的左导数存在，则称函数 在闭区间 上可导。
导函数
如果函数 在开区间内每一点都可导，在端点上只考虑单侧导数。就称函数 在区间内可导。这时函数 对于区间内的每一个确定的 值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数 的导函数，记作 或 ，简称导数。而寻找该函数在某点的导数或其导函数的过程则称为求导。
高阶导数
若函数 y=f(x)的导函数 f'(x)仍可导，则称 为函数 的二
阶导数，记为 或 ，即 。
一般地，把 的 阶导数的导数称为 的 阶导数，记为 或 。
偏导数
设二元函数 在点 的某个邻域有定义，固定 ，给 以增量 ， 称为 在 点处关于 的偏增量。 如果 存在，则称该极限为函数 在 处关于 的 偏导数 ，记作 或 。
类似的方法，可以定义关于 的偏导数。
意义
几何意义
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数 在点 处的导数 就是该曲线在点 处的切线的斜率，从而得切线 方程 为 。
物理意义
物体作变速 直线运动 的 运动方程 为 ，设当 时，物体位置在 处， 就是物体在时刻 的瞬时速度，即 。
导数的记号
表示导数的符号，有它发展变化的历史。
早在1671年，数学家 艾萨克·牛顿 在他的著作《流数法和无穷级数》一书中，称变量为“流量”，把流量的变化率叫做“流数”。这里所说的流数就是指“导数”的意思。如果以 表示流量时，牛顿的流数用符号 表示。并把 的流数，记作 。
用 或者 来表示导数的符号是 法国 数学家 约瑟夫·拉格朗日 创用的，所以又称为拉格朗日记号。
从微分之比来观察导数，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数，因此导数也叫作微商；对于一元函数来说，函数可微与可导是完全等价的。 也是表示导数的常用符号。1675年，数学家 戈特弗里德·莱布尼茨 率先使用微商 ，称为莱布尼兹记号。
计算方法
基本公式
参考资料
四则运算
设函数 在点 可导，则 也在点 可导；当 时， 在点 可导，且
(1) ；
(2) ；
(3) 。
链式法则
复合函数的求导满足链式法则。
设复合函数 在点 附近有定义，且 ，函数 在点 可导，函数 在点 可导，则函数 在点 可导，且 。对于由多个函数复合而得的复合函数，其导数可以反复应用上式而得。
隐函数求导
设函数 在点 的某邻域内具有连续的 偏导数 ，且 则 方程 在点 的某邻域内确定唯一一个函数 ，满足 ， 。
函数 在 的某邻域内单值、有连续的偏导数，且有偏导数公式
。
参数方程
设参数方程 其中 在 (a，β）上可导，确定了函数关系 ，则该函数的导数为 。
性质
可导与连续
若函数f 在 处有导数 ，则 在 处必连续。但是函数的连续性不能保证可导性。 例如， 在 处连续，但是在 处不可导
中值定理
罗尔定理
如果函数 满足：
(1)在闭区间 上连续；
(2)在开区间 内可导；
(3）在区间端点函数值 相等 ，即 ，
则在 内至少存在一点 ，使得 。
拉格朗日中值定理
若函数 满足：
(1)在闭区间 上连续；
(2)在开区间 内可导；
则在 内至少存在一点 ，使得 。
柯西中值定理
若函数 满足：
(1)在闭区间 上连续；
(2)在开区间 内可导；
则在 内至少存在一点 ，使得 。
泰勒公式
设函数 在点 处有 阶导数，则在 附近可表示为
其中
可导的条件
函数 在一点处可导的充要条件是其在此点处的左导数和右导数都存在且 相等 。
对于多变量函数，函数在定义域内点的可微性保证了它在此点关于每个变量的 偏导数 的存在
性，但是相反的命题是不对的。
复变函数 在点 可导的充分必要条件是二元函数 均在点 可微且在该点满足 。此时 ，函数 在点 的导数满足公式： 。
导数应用
求未定式极限
当极限 时，极限 有多种可能的结果，有时这个极限存在，而有时这个极限不存在。通常称这类极限为未定式，并记为符号 。同样，当极限 时，极限 也有多种可能的结果，也称这类极限为未定式，并记为符号 。 洛必达法则 就是专门用来确定上述两种未定式极限的一种有效方法。
洛必达法则一
设函数 与 满足：
（1）在点 的某一邻域内（点 可除外）有定义，且
（2）在该邻域内可导，且 ；
（3） 存在（或为 ）
则 存在（或为 ）。
洛必达法则法则二
设函数 与 满足：
（1）在点 的某一邻域内（点 可除外）有定义，且
（2）在该邻域内可导，且 ；
（3） 存在（或为 ）
则 存在（或为 ）。
以上两个法则对于 时的未定式” “，” “同样适用。
例：求极限
解：设 ， 满足 洛必达法则 的条件，因为 所以
。
研究函数性质
应用导数可以研究函数以及曲线的某些性态，这些形态包括单调性、凹凸性、 极值 与最值问题等。
函数的单调性
设 f在开区间 内可导，则有：
(1) 在 内单调增加的充要条件是 ；
(2) 在 内单调减少的充要条件是 。
例：讨论函数 的单调性。
解：因为 ，解 得
。当 时， 所以函数 在 上单调增加。当 时， ，所以函数 在 上单调减少，当 时， ，所以函数 在 上单调增加。
极值问题
设函数 在开区间 内连续。任给一点 ，如果存在 ，使得函数 在左右两侧 ， 的单调性不同，则 为函数 的极值点。若单调性相同则不是。
设函数 在点 的一个邻域 内可导。
(1)若在 上 ，在 上 ，
则 在点 取得极大值；
(2)若在 上 ，在 上 ，
则 在点 取得极小值。
设函数 在 处二阶可导， ，则：
(1)当 时， 在 取极小值；
(2)当 时， 在 取极大值；
(3）当 时，不能判断 在 是否取到 极值 。
例：求函数 的极值。
解： 是以 为周期的周期函数，只考察 的情况。
因为 ，解 得 。
由于 ， 是极大值点，极大值为
由于 ， 是极小值点；极小值为
凹凸性
设函数 在区间 上连续，如果对于 上任意两点 恒有 ，那么称曲线弧 在区间 上是(向上)凹的(或有凹弧)，也称 在区间 上为凹函数（如图1）；
如果恒有 ，那么称曲线弧 在区间 上是(向上)凸的(或有凸弧)，也称 在区间 上为凸函数（如图2）。
可以利用下面的结论分析函数的凹凸性。
设函数 在区间 上连续，在 内具有一阶和 二阶导数
(1)如果在 内 ，那么曲线弧 在区间 上是凹的；
(2)如果在 内 ，那么曲线弧 在区间 上是凸的。
例：判定曲线 的凹凸性。
解：因为 。当 时， 所以曲线 在 内是凸的；当 时， 所以曲线 在 内是凹的。
证明不等式
例：证明：当 0时， 。
证明：设 ， 在闭区间 上满足 拉格朗日中值定理 的条件，从而存在 ，有 又因为 ， ，所以 ，而当 时， ，所以 。