运筹学

运筹学（Operations Research，简称OR ）是近代应用数学的一个重要分支。它主要研究如何将生产、管理等事件中出现的运筹问题加以提炼，然后利用数学方法进行解决，其研究对象是系统。

运筹学的历史源远流长，在古代中国，田忌赛马、围魏救赵等战略体现了深厚的运筹思想。数理经济学对运筹学，特别是对线性规划的影响可以从弗朗索瓦·魁奈（Qusnay）1758年发表的《经济表》算起，当时著名的经济学家里昂·瓦尔拉斯（Walras）研究了经济平衡问题，后来的经济学家对其数学形式继续研究并使之得以发展。第一次世界大战期间，以英国生物学家希尔（Hill）为首的英国国防部防空实验小组对高射炮系统利用的研究，是当时最早进行的运筹学工作。

运筹学作为一门科学的名称，正式诞生于20世纪30年代末。 1938年，由帕特里克·布莱克特（Blackett）负责成立运筹学小组，运用图表和数据，对战略后果做了预测分析，使雷达和高炮配合达到最佳状态。 1947年，美国数学家丹齐格（Dantzig）提出了求解线性规划问题的有效方法——单纯形算法。后来，运筹学在英国、美国、中国等国家都得到了广泛关注，1959年，国际运筹学联合会（IFORS）成立。华罗庚在中国推广优选法与统筹法，成效显著，推动服务性行业及公用事业广泛应用运筹学，电子计算机技术的发展为此提供了支持。

运筹学具有一些鲜明的特征，如注重实际应用，它也具备多学科交叉的综合性。运筹学的基本内容主要包括规划论、图论、排队论、博弈论等。此外，运筹学理论与成果在其他领域中应用广泛，如在建筑学中，运筹学中的线性规划特别是整数规划作为操作建筑空间的重要数理逻辑，可以帮助解决建筑平面生成等问题。

学科简介

运筹学是近代应用数学的一个重要分支。运筹学作为一门科学的名称，正式诞生于20世纪30年代末。英国运筹学学会认为，运筹学是现代科学方法在工业、商业、政府和国防等领域中，独具由人、机器、材料和货币组成的大型系统的指导和管理所产生的复杂问题中的应用。《中国大百科全书》指出，运筹学是“用数学方法研究经济、民政和国防等部门在内外部环境的约束条件下合理分配人力、物力、财力等资源，使实际系统有效运行的技术科学。” 具体来说，运筹学主要是研究如何将生产、管理等事件中出现的运筹问题加以提炼，然后利用数学方法进行解决的学科。实质上，运筹学的基本目的是找到“优”的方案、途径，而在实际中，最优只能是一种理想追求。由于问题的复杂性、各种确定与不确定因素的综合影响，运筹学目标的准确（或有保障的）定位应该是通过研究避开更坏的结果。

运筹学的研究对象是系统。这种系统时常包含着人和在自然环境中运行的“机器”，这个广义的“机器”可以推广到按照公认的规则运行的复杂社会结构。运筹学是一门应用科学，它广泛应用科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的专门问题，为决策者选择最优决策提供定量依据。运筹学与多学科交叉，例如综合运用了数学、经济学、心理学、物理学、化学等的一些方法。

历史沿革

萌芽与起源

运筹学的历史源远流长，在古代中国，田忌赛马、围魏救赵等战略体现了深厚的运筹思想。博弈论和决策论的数学基础萌发于17世纪，帕斯卡（Pascal）的著作《论算术三角形，及关于同一问题的小论文若干》为现代概率论奠基，虽未用“概率”一词，但其工作与皮耶·德·费玛（Fermat）的交流推动了这一领域的发展。克里斯蒂安·惠更斯（Huygens）《论骰子问题中的推理》和雅各布·伯努利（Bernoulli）《猜想术》的后续研究进一步规范了数学期望、排列组合等概率理论。

世界经济学理论对运筹学的影响是与数理经济学派紧密相连的。数理经济学对运筹学，特别是对线性规划的影响可以从弗朗索瓦·魁奈（Qusnay）1758年发表的《经济表》算起，当时著名的经济学家里昂·瓦尔拉斯（Walras）研究了经济平衡问题，后来的经济学家对其数学形式继续研究并使之得以发展。第一次世界大战（1914年）之前就已经发展成熟的古典管理学派，对运筹学的产生和发展也影响很大。以泰勒（Taylor）、甘特（Gantt）、吉尔布雷思（Gilbreth）等为代表的古典管理学派，对企业管理的中心思想是寻求一些方法，让人们自愿地联合与协作，保持个人的首创精神和创造能力，达到增加效率的目的。他们提出了管理的基本原则，研究了机构设置、权限、工厂布局、计划等一系列问题，也提出了刺激性工资制度。

应用与诞生

在应用方面，运筹学兴起于军事、服务等领域。1909年，丹麦工程师爱尔郎（ Erlang ）研究电话服务的等候问题标志着排队论的诞生。第一次世界大战期间，以英国生物学家希尔（Hill）为首的英国国防部防空实验小组对高射炮系统利用的研究，是当时最早进行的运筹学工作。同时期，英国的莫尔斯（Morse）用数学模型分析了美国海军大西洋护航舰的得失，这是现代运筹学的早期应用。1928年，约翰·冯·诺依曼（Von Neumann）以研究二人零和对策的一系列论文为“ 博弈论 ”奠基。

运筹学作为一门科学的名称，正式诞生于20世纪30年代末，并在国家危急时期发挥了至关重要的作用。1938年，英国刚刚制造出了雷达，在技术指标上比德国的雷达要差一些。当时，雷达的信息和战机、高射炮的配合还不密切，不发挥作用。于是，在英国皇家空军指挥部的作用下，由帕特里克·布莱克特（Blackett）负责成立了运筹学小组，成员包括数学家2人，数学物理学家2人，生物学家3人，天文学家、物理学家、陆军军人、测量技士各1人。他们研究了雷达的最佳配置和高射炮的有效射击方法、运输舰的最佳编组以及对潜艇的有效攻击。这个运筹学小组运用图表和数据，对战略后果做了预测分析，使雷达和高炮配合达到最佳状态。这一研究不仅影响了第二次世界大战的进程，也催化了运筹学这门新学科的诞生。而在这一时期的经济学研究中，苏联数学家康托洛维奇（Kantorovich）的《生产组织与管理中的数学方法》出版于1939年，但是当时未得到重视。

繁荣与传播

1944年11月，美国陆军航空队司令亨利·阿诺德（Henry H. Amold）提议设立独立研究机构，利用运筹学预防未来危机并备战。1945年，美国陆军航空队与道格拉斯飞机公司合作启动“兰德计划”，并发布航天飞机构想。1948年5月，在福特基金会资助下，兰德公司脱离道格拉斯，成为独立智库，后发展为全球知名的决策咨询机构，为美国政军界提供重要智囊支持。同年，英国成立了运筹学俱乐部，并出版了运筹学的专门学术刊物。第二次世界大战之后，多数战时研究军事运筹学的科学家们转向研究在民用部门（如工商业等）应用类似方法的可能性，因而促进了在民用部门中应用运筹学有关方法的研究和实践，使应用研究和理论研究相互促进的局面出现。1947年，美国数学家丹齐格（Dantzig）提出了求解线性规划问题的有效方法——单纯形算法。20世纪50年代初，应用电子计算机求解线性规划问题获得了成功。

后来，运筹学的在英国、美国、中国等国家都得到了广泛关注。1951年，莫尔斯与金博尔（Kimball）的专著《运筹学方法》出版，这本书是这一时期运筹学重要工作的总结，奠定了其理论基础。1954年，齐莫尔曼（Zimmermann）率先提出了计算机作战模拟理论与技术，构建了“作战实验室”的框架。1956年，美国应用数学理查德·贝尔曼（Biermann）提出了“动态规划理论”，使规划论增加了一个重要分支。1956-1957年，美国学者库普曼（Koopmann）发表了专著“搜索论”。 1957年，第一次国际运筹学会议在英国牛津大学召开。20世纪50年代末，工业先进国家的一些大型企业也陆续应用了运筹学方法来解决在生产经营活动中遇到的许多问题，取得了良好效果。1959年，国际运筹学联合会（IFORS）成立。

20世纪50年代后期，运筹学在中国的应用主要集中在运输问题上，其中一个代表性的工作室研究“打麦场的选址问题”，解决在以手工收割为主的情况下如何节省人力的问题。著名的“中国邮路问题”模型也是在那个时期由管梅谷提出的。华罗庚20世纪50-60年代在中国推广优选法与统筹法，成效显著，推动服务性行业及公用事业广泛应用运筹学，电子计算机技术发展为此提供了支持。 1960年，康托洛维奇（Kantorovich）出版了《最佳资源利用的经济计算》一书后，引起了广泛反响，他也因此获得了1975年的诺贝尔奖。 1980年，中国成立了中国运筹学会，该学会于1982年成为IFORS的正式成员，并创办了《运筹学杂志》，1997年将其改名为《运筹学学报》。 20世纪90年代，中国运筹学界涌现一批新人，其中的代表人物是堵丁柱，他对斯坦纳（Steiner）树的研究解决了国际上多年悬而未决的难题，获得了1993年中科院自然科学一等奖和1995年中国国家自然科学二等奖，还被英国《大不列颠百科全书》列为1992年的全世界六项数学成果之首。

特点

（1）引进数学研究方法。运筹学是一门以数学为主要工具，寻求各种问题最优方案的学科，所以它是一门优化科学。随着生产与管理的规模的日益扩大，其间的数量关系更加复杂，从数量关系来研究这些问题，即引进数学研究方法，是运筹学的一大特点。

（2）系统性。运筹学把研究的对象看作一个系统，把相互影响、相互作用和相互制约的各个方面作为一个整体，从整体上进行综合分析，以找到一个优化协调的方案，而不是从个体的角度去分析问题，其最终目标是整体最优。

（3）注重实际应用。在运筹学学术界，有许多人强调运筹学的实用性和队研究结果的“执行”，把“执行”看作运筹工作的一个重要组成部分。

（4）多学科交叉的综合性。运筹学研究和解决问题的优势是应用多学科交叉的方法，具有综合性。运筹学从一开始就是由不同学科专长、多方面专家经过共同协作集体努力而获得成果的。在21世纪，研究对象的的复杂性和多因素性决定了运筹学具有跨学科性、交叉渗透性和综合性。

（5）理论与应用的发展相互促进。运筹学的各个分支学科，都是由于实际问题的需要或以一定的实际问题为背景逐渐发展起来的。在发展的过程中新的理论相继出现，其研究被开拓出新的领域，例如线性规划中椭球法、内点法的产生。

（6）以概率论与统计学为基本的数学工具。概率论是从数量角度研究大量随机现象，并从中获得规律的理论；统计学则是研究如何有效地收集、整理随机数据，找出随机现象数量指标分布规律及其数字特征的理论。很多军事问题和基础数据均可运用上述理论进行描述或获取。

基本方法

构建数学模型

就单个目标而言，把问题按系统的关系来构建数学模型，至少有部分变量是可控的。运筹学模型的一般形式可表述为，式中表示对系统效果的计量，表示可控变量，表示不可控变量。

这个模型既可以代表优化模型，又可以代表模拟模型。当把它作为优化模型使用时，代入不可控变量的值，对可控变量的值加以控制，从而使对系统效果的计量最优化。例如，一位营销经理希望使销售总额达到最优化，那么在这个模型中包含的不可控变量主要有竞争者价格、国民生产总值或价格水平的变化等，而可控变量则包括销售人数、允许的佣金、产品价格和广告费用等。

虽然模型都是模拟现实的，但“模拟模式”是指使用者在模型中对可控变量给出一组数值，并为不可控变量假定一组数值。通过使用一组或多组不可控变量的数值（因为不可控变量常常是不可知的），使用者就能计算出，直到找到一个他们认为满意的数值。当然，在这种情况下，无法知道最优方案是否已经找到，但它能得到各种看得到的结果。

基本内容

规划论

简介：规划论是线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划和多目标规划的统称，主要解决两个方面的问题：一是对于给定的的人力、物力和财力，怎样才能发挥它们的最大效益；二是对于给定的任务，怎样才能用最少的人力、物力和财力去完成。一切可以用目标函数和约束条件刻画的事理问题，均属于规划论的研究对象。单纯形法使求解线性规划问题最为有效的一个方法，它的基本思想是从满足所有约束条件的一个基本可行解（即从可行域的一个顶点）出发，经过基变换转换到另一个基本可行解，使目标函数值不断增大直至达到一个最大值点，从而得到问题的最优解。最优化和古典的求极值问题有本质上的不同，古典方法只能处理具有简单表达式和简单约束条件的情况，而现代数学规划中的问题目标函数和约束条件都很复杂，并且要求给出某种精确度的数学解答，因此算法的研究特别受到重视。

研究进展： 1939年，康托洛维奇（H.B.Kahtopob）研究了工业生产的资源合理利用和计划等问题，开创性地提出线性规划，他因此获得了1975年的诺贝尔经济学奖。同年，美国的希奇柯克（F. L. Hitchcock）等人首先将线性规划方法用于制订交通运输方案。 1951年，库恩（H. W. Kuhn）和塔克（A. W. Tucker）等人完成了非线性规划的基础性工作，使非线性规划逐步发展起来。

图论

简介：图论是近代应用数学的重要分支，它是以图为对象，研究事物之间关系的学科。在图论中，图是指某类具体离散事物集合和该集合中的每对事物间以某种方式相联系的数学模型，用图表示事物间的联系时，用节点表示事物，边表示具体事物间的联系。图论主要研究解决生产组织、计划管理中的最短路径问题、最小连接问题、最小费用流问题以及最优分派问题等，其特点是能够用图与网络简单直观地表示广泛的科学领域和实际生活中的问题，并且借助于图与网络上发展得到的理论来解决问题，特别是在设计和安排大型复杂工程时，图与网络技术是重要的工具。

研究进展：图论起源于18世纪著名的哥尼斯堡七桥问题，1738年，数学家莱昂哈德·欧拉（Euler）解决了这个问题，他也因此成为了图论的创始人。 1847年，克希霍夫（Kirchhoff）运用图论知识解决了电路理论中求解联立方程组的问题，并引入了“树”的概念。 1936年，柯尼希（Konig）出版了第一部关于图论的专著《有限图与无限图理论》，图论的发展进入了一个崭新的阶段。

排队论

简介：排队论又称随即服务系统理论，是研究拥挤现象的一门科学，研究的任务是排队系统的规律，并应用于排队系统的最优设计和最优控制。排队论以概率论和数理统计学为主要工具，对服务系统的最优设计及营运提供了重要的理论依据。排队论中，排队、等待等统称为“拥挤现象”，可以归纳为有形排队和无形排队，称为“排队系统”，也可称“服务系统”。排队现象十分普遍，排队的形式也多种多样。排队系统的常见例子有：商店、售票处、医院等服务系统；商业及工业的投资活动中的等待；通讯系统，如电话、因特网等；维修服务系统、系统可靠性；军事，如巡航、空防、火力封锁等；公共设施，如消防系统等。

研究进展：排队论的基本思想是1910年丹麦电气工程师爱尔朗（A. K. Erlang ）在解决自动电话设计问题时形成的。 20世纪30年代，威廉·费勒（Feller）引进了生灭过程，用数学方法分析了电话呼叫的本质特性，促进了排队论的研究。20世纪50年代初，美国数学家关于生灭过程的研究和英国数学家肯德尔（Kendall）提出的嵌入马尔可夫链理论以及对排队队形的分类方法为排队论奠定了理论基础。此后塔卡奇（Tacachi）等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题。

博弈论

简介：博弈论又称对策论，主要研究具有个体竞争性质的现象，并以公式的形式体现竞争主体之间的相互关系，研究判断并优化其理想行为与实际行为。博弈论是企业决策的一个常用工具，常见的分类方法是按博弈的结果将博弈论划分为负和博弈、零和游戏、合作博弈。

研究进展：近代对博弈论的研究最早开始于策梅洛（Zemero）、波莱尔（Polaire）及约翰·冯·诺依曼（Von Neumann），思想最初运用于象棋、桥牌等对弈问题以及军事战役中。 1928年，冯·诺伊曼证明了博弈论的基本原理，博弈论正式诞生。1944年，冯·诺伊曼和摩根斯顿（Morgenstern）共著的《博弈论与经济行为》将二人博弈推广到人博弈结构，并将博弈论系统地应用于经济领域，奠定了这一学科的基础和理论体系。1950-1951年，约翰·纳什（John Nash）利用不动点定理证明了均衡点的存在，为博弈论的一般化做出了贡献。

决策论

简介：决策论是为科学地解决带有不确定性和风险性的决策问题所发展的一套系统分析方法。决策论旨在提高科学决策的水平，减少决策失误的风险，主要应用于经营管理工作中的中高层决策中。决策贯穿于组织管理活动的全过程，从不同的角度对决策加以分类，有助于决策者把握各种失策的特点，提高决策的效率和效果。按决策的重要性和作用可分为战略决策、管理决策和业务决策；按决策问题所处的条件分类可分为确定型决策、风险型决策和不确定型决策；按决策问题的重复程度分类可分为程序化决策和非程序化决策。

研究进展：决策论起源于20世纪50年代，美国学者瓦尔德（Wald）提出的统计决策理论，被公认为是决策论这一领域的奠基性著作。1961年，美国学者赖法（Reifa）与施来弗（Schrijver）的《应用统计决策理论》一书出版，使决策论具备了学科分支的雏形。

储存论

简介：储存论系统地描述了各种存货决策的原理和方法。在经营管理工作中，为了保证系统的有效运转，往往需要对原材料、元器件、设备、资金以及其他物资保障条件，保持必要的储备量。储存论就是应用数学方法研究在什么时间，以多少数量，从什么供应渠道来补充这些储备，使得在保证生产正常运行的情况下，保持库存和补充采购的总费用最少。

可靠性理论

简介：可靠性理论是研究系统可靠性的基本理论和数学方法。在给定的时间、区间和规定的运用条件下，一个实体系统（设备、部件或元件）有效地执行其任务的概率，称为系统装置的可靠性。对任何正常工作的系统，尤其是在自动化控制系统中，都必须有一定的可靠性。一般来讲，实体系统越庞大，所用的零件或元器件越多，则可靠性就越差，系统整体的可靠性决定于各单元可靠性的调整。因此，对于庞大、复杂和价格昂贵的系统，如通信系统、精密机床自动加工系统、电子计算机系统等，都必须把可靠性研究作为系统技术评价的重要内容。有的系统故障后即行报废，这种系统叫不可修复系统；有的系统故障之后经修理，恢复其原有功能并投入使用，这种系统叫可修复系统，简称可修系统。

研究进展： 20世纪初，可靠性理论开始被提出，弗赖登塔尔（Freudenthal）在《结构安全性》一书中首次提出了理想塑性可靠性理论，也为概率可靠性理论的研究奠定了基础。 1969年，美国学者柯涅尔（Cornell）提出与结构失效概率相联系的可靠指标作为衡量结构安全度的一种统一数量指标，建立了结构安全度的二次矩模式。同时，美国伊利诺斯（Illinois）大学的洪华生对各种结构不定性做了分析，提出了广义可靠度概率法。

搜索论

简介：搜索论研究在寻找某种目标的过程中如何合理使用人力、物力、资金和时间等搜索手段，并取得最好的搜索效果的方法。例如，1968年5月，美国海军潜艇“施柯宾”号失事后，共用了四个半月的时间组织搜索作业，根据搜索论的原理，用计算机模拟失事的情节，根据现场探测结果，制订和修改搜索计划，最终拍得了“施柯宾”号的海底残骸照片。

研究进展：搜索论始于第二次世界大战时期，盟军研究如何利用飞机和军舰准确、有效地搜索纳粹德国的潜艇。二战以后，搜索论作为运筹学的一个分支又有了长足发展。 1956-1957年，美国的唐·库普曼（Koopman）根据二战期间美英海军对德反潜战德搜索经验，连续发表了正式取名为《搜索论》的三篇论文，奠定了这门学科的理论基础。

最优化

简介：最优化理论是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多方案中什么样的方案是最优的，以及怎样才能找出这个最优方案。构建最优化问题的数学模型并求解该模型是最优化理论的研究内容。最优化与运筹学的大部分研究内容相互重合，很难区分。运筹学偏重解决实际问题，最优化偏重理论研究；一个运筹学问题往往会归结为一个求最优值的最优化问题，因此最优化理论是求解运筹学问题的重要理论支撑。

应用

建筑学

在建筑学中，运筹学借助计算机可以解决建筑空间排布问题。例如，运筹学中的线性规划特别是整数规划应用于操作建筑空间，是重要的数理逻辑，解决了一些问题，例如①路径规划：利用“水流”概念对路径的连续性、覆盖范围、曲折度进行建模，可以把路径规则涉及的图问题转为线性整数表达式；②地块内的建筑布局：在网格上对建筑的二维形状模板进行各种拓展，实现相邻、日照遮挡等复杂关系的线性描述；③建筑平面生成：在网格上利用建筑的二维形状模板，将满铺、相邻、旋转问题转化为线性整数表达式。

经济学

在经济学的学术体系中，市场机制设计是微观经济学的一个前沿领域，市场设计与运筹学从学科关系到发展历史都有密切关系，研究问题既有理论渊源又深受现实问题驱动。例如，寡头理论是阐述了厂商之间策略互动的经典 M理论，但是现实中很多经济主体是以各种各样的方式进行策略性互动的，因此需要运用运筹学中的博弈论对策略互动进行一般性分析。此外，运筹学线性规划中的对偶理论应用于经营决策中，通过掌握同一个问题的两个方面的定量数据，即企业的最大收益和最小成本，为企业的经营决策提供重要依据。

计算机科学

在计算机科学中，可将运筹学用于计算机的内存分配，研究不同排队规律对磁盘和磁鼓工作性能的影响。运筹学中的规划论，通过整数规划，解决了寻找满足一组需求文件的寻找次序的问题。此外，运筹学中的图论、数学规划帮助了计算机信息系统的自动设计。尤其是图论，它作为计算机科学的基础之一，很多非常难解的组合优化问题都属于NP-完全的图论问题。而运筹学中的博弈论，通过博弈对抗思维和纳什均衡、维尔弗雷多·帕累托最优等方法，在计算机科学领域可以解决各种均衡的计算及复杂性问题、机制设计（包括在线拍卖、在线广告）等问题。