正八面体，一种 正多面体 ，也是一种正轴体，面为8个 等边三角形 ，八面体的对角面为正方形，共三个，并且两两垂直。交线同样两两垂直。 二面角 为109°28′ 16. 3″。
正八面体每四条棱可以成为一个正方形，共有三个独立的正方形。
性质
顶点数目：6
边数目：12
面数目：8
当边长为a时：
表面积：
体积：
内切球 半径： （内切球即与正八面体各面相切的球）
基本信息
正八面体是五种 正多面体 的第三种，是三维的正轴体，有6个顶点、12条边和8个面。它由八个 等边三角形 构成，也可以看做上、下两个正方椎体黏合而成，每个正方椎体由四个三角形与一个正方形组成。 正八面体的 对偶多面体 是 立方体 。
正八面体内嵌在立方体中时，6个顶点分别位于立方体的面心：
正八面体体积 : 立方体体积
坐标系
以棱长为 的正八面体的 几何中心 作为原点，将正八面体的 对角线 作为x,y,z轴建立三维直角 坐标系 （正八面体的3条对角线两两 正交 ，这也是正八面体被叫做“正轴形”的原因），则我们能将正八面体的顶点坐标记为
( ±1, 0, 0 )
( 0, ±1, 0 )
( 0, 0, ±1 )
正八面体表面 方程 为：
更一般的，如果正八面体的对角线平行于坐标轴，中心为( )， 外接圆 半径为r（棱长为 ），则正八面体表面方程为：
如果中心在原点的正 八面体 被拉长，成为菱形体，则更一般的八面体方程为
其内接于椭球体
表面积S和体积V为：
当 时， 菱形 体为上述正八面体。
正交投影
正八面体可以以多种不同的方向被正交投影到二维平面，以下表格展示了几种特殊的投影：
质
对称性
正八面体作为3维的正轴体 正多面体 ，自身拥有较高的对称性，它的所有面都是不可区分的。可是我们也可以想象将正八面体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使正八面体拥有不同的对称性。正 八面体 的 对称群 是 （正八面体群），是三维的超正八面体群。在此对称性下，正八面体的所有面都带有相同对“颜色”，对称性最高，群阶48。该群的 子群 体现了正八面体更低的对称性： （群阶24），截半 正四面体 的对称群； （群阶12）， 三角反棱柱 的对称群； （群阶16），四角双 棱锥 （正四棱柱的 对联 ）的对称群； （群阶8），三维长菱体（三维长方体的对偶）的对称群。
对偶性
当正 八面体 在立方体之内：
正八面体体积: 立方体体积