中心矩是概率论和统计学中的一个重要概念，它是关于 随机变量 平均值的 概率分布 的特征数。中心矩可以反映概率分布的特征，特别是高阶中心矩，它们仅与分布的形状有关，而不受分布位置的影响，因此比原点矩更为常用。
内容简介
在数学的概率领域中有一类数字特征叫矩。
中心矩：对于正整数k，如果E(X)存在，且 ，则称 为 随机变量 X的k阶中心矩。如X的 方差 是X的二阶中心矩，即 .
设X,Y为 随机变量 ，如果 存在，则称之为X与Y的 阶混合中心矩.
协方差 是X和Y的二阶混合中心矩.
定义
对于一维随机变量X，其k阶中心矩μ_k定义为：
μ_k = E[(X - E[X])^k] = ∫(x - μ)^k f(x) dx
其中μ是随机变量X的 期望值 ，f(x)是X的概率密度函数。中心矩的前几阶具有明确的意义：
- 第0阶中心矩μ_0恒为1。
- 第1阶中心矩μ_1恒为0，因为它是 随机变量 减去其期望值的期望。
- 第2阶中心矩μ_2是随机变量X的 方差 Var(X)。
- 第3阶中心矩μ_3用于定义随机变量X的 偏度 。
- 第4阶中心矩μ_4用于定义随机变量X的 峰度 。
性质
中心矩具有平移不变性，即对于任意的随机变量X和任意 常数 c，有：
μ_n(X + c) = μ_n(X)
中心矩是n次齐次函数，即：
μ_n(cX) = c^n μ_n(X)
只有当n属于{1,2,3}，且X和Y为两个互相独立的 随机变量 时，中心矩才具有加法性，即：
μ_n(X + Y) = μ_n(X) + μ_n(Y)
对于n ≥ 4的情况，中心矩不再具有加法性，但累积量κ_n在这种情况下仍保持加法性。累积量是与中心矩类似的 统计量 ，它在所有阶数上都具有加法性。