勒贝格测度

勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予一个体积的集合被称为勒贝格可测； 亨利·勒贝格 可测集A的体积或者说 测度 记作λ(A)。一个值为∞的勒贝格测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，R的所有子集也不都是勒贝格可测的。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。

历史

勒贝格在1901年描述勒他的测度，随后在第二年他描述了勒贝格积分。二者都是作为他在1902年的博士论文的一部分发表的。

例子

1.如果 A 是一个区间 ，那么其勒贝格测度是区间长度 。开区间 的长度与闭区间一样，因为两集合的差是零测集。

2. 如果 A 是区间 和 的笛卡尔积，则它是一个长方形， 测度 为它的面积 。

3.康托尔集是一个 勒贝格测度 为零的不可数集的例子。

性质

上的 勒贝格 测度有如下的性质：

1. 如果 A 是区间 的 勒内·笛卡尔 积，那么 A 是 亨利·勒贝格 可测的，并且 其中 表示区间 I 的长度。

2. 如果 A 是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集的并，那么 A 也是勒贝格可测的，并且λ( A ) 就是这些可测集的 测度 的和（或无穷级数的和）。

3. 如果 A 勒贝格可测的，那么它的补集（相对于 R ）也是可测的。

4. 对于每个勒贝格可测集 A ， 。

5. 如果 A 与 B 是勒贝格可测的，且 A 是 B 的子集，那么 。 (由 2, 3 及 4可得。)

6. 可数多个是 亨利·勒贝格 可测集的交或者并仍然是勒贝格可测的。 (由2，3 可得)。

7. 如果 A 是一个开集或闭集，且是 R (甚至Borel集，见度量空间，待补)的子集，那么 A 是勒贝格可测的。

8. 如果 A 是一个勒贝格可测集，并有 (零测集)，则 A 的任何一个子集也是零测集。

9. 如果 A 是勒贝格可测的， x 是 R 中的一个元素， A 关于x的平移（定义为 ）也是勒贝格可测的，并且 测度 等于 A .

10. 如果 A 是 亨利·勒贝格 可测的， ，则 关于 的扩张（定义为 ）也是勒贝格可测的，其测度为 。

11. 更广泛地说，设 T 是一个线性变换， A 是一个 R 的 勒贝格 可测子集，则 T ( A )也是勒贝格可测的，其测度为 。

12. 如果 A 是 R 的勒贝格可测子集， f 是一个 A 到 R 上的连续 单射 函数，则 f ( A )也是勒贝格可测的。

简要地说， 的 亨利·勒贝格 可测子集组成一个含所有区间及其 勒内·笛卡尔 积的σ代数，且λ是其上唯一的完备的、平移不变的、满足 的 测度 。

勒贝格测度是 σ-有限测度 。

零测集

的子集是零测集，如果对于每一个 ，它都可以用可数个 n 个区间的乘积来覆盖，其总体积最多为ε。所有可数集都是零测集。

如果 的子集的 费利克斯·豪斯多夫 维数小于 n ，那么它就是关于 n 维勒贝格测度的零测集。在这里，豪斯多夫维数是相对于 上的欧几里得度量（或任何与其等价的 利普希茨 度量）。另一方面，一个集合可能拓扑维数小于 n ，但具有正的 n 维勒贝格 测度 。一个例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集，它的拓扑维数为0，但1维勒贝格测度为正数。

为了证明某个给定的集合 A 是 亨利·勒贝格 可测的，我们通常尝试寻找一个“较好”的集合 B ，与 A 只相差一个零测集，然后证明 B 可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。

勒贝格测度的结构

勒贝格测度的现代结构，基于外测度，是卡拉特奥多里发明的。

固定 ， 中的 盒子 是形如 的集合，其中 。这个盒子的体积 定义为

对于任何 的子集 A ，我们可以定义它的外 测度 ：

是可数个盒子的集合，它的并集覆盖了 。然后定义集合 A 为 亨利·勒贝格 可测的，如果对于所有集合 ，都有：

这些勒贝格可测的集合形成了一个σ代数。 勒贝格 测度定义为 对于任何勒贝格可测的集合 A 。

根据维塔利定理，存在 实数 的一个勒贝格不可测的子集。如果 A 是 的任何 测度 为正数的子集，那么 A 便有勒贝格不可测的子集。

与其他测度的关系

在所定义的集合上，博雷尔测度与勒贝格测度是一致的；然而，仍然有更多 亨利·勒贝格 可测的集合不是 埃米尔·博雷尔 可测的。博雷尔测度是平移不变的，但不是完备的。

哈尔测度可以定义在任何局部紧群上，是勒贝格测度的一个推广（带有加法的 是一个局部紧群）。

豪斯多夫 测度（参见豪斯多夫维数）是勒贝格测度的一个推广，对于测量 的维数比 n 低的子集是很有用的，例如 内的曲线或曲面，以及 分形 集合。不能把豪斯多夫 测度 与豪斯多夫维数的概念混淆。

可以证明，在无穷维空间不存在勒贝格测度的类似物。