赫尔德 不等式 是 数学分析 的一条不等式，取名自奥图·赫尔德(Otto Hölder）。这是一条揭示Lp空间相互关系的 基本不等式 。
基本形式
内容
设 ,若 ，则
若 ,则该 不等式 反向。
成立条件
仅当{{ }，{ }}中至少有一个为零 数列 或者 ，且 ,使得 ,
离散形式
内容
设
或
满足条件的p,q称为 共轭指数 ， 是规定 ,
若 ，则
若 ,则 不等号 反向。
成立条件
时，
,且
成立
积分形式
内容
设p、q为共轭指数，令
若
当
时，
,且
即 ,
…………………… ①
………… …………②
若 ,则不等号方向改变
成立条件
时，仅当
,使得
和在E上 几乎处处 成立时①式成立
时，仅当
，使得
a.e.(almost everywhere)于E，且
时，
②式成立
其他证明
赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是 杨氏不等式 。
如果 ，那么f在μ-几乎处处为零，且乘积fg在μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果 也是这样。因此，我们可以假设 且 。
如果 或 ，那么 不等式 的右端为无穷大。因此，我们可以假设 和 位于 内。
如果 且 ，那么 几乎处处 有 ，不等式就可以从 勒贝格积分 的单调性推出。对于 和 ，情况也类似。因此，我们还可以假设 。
分别用f和g除 ，我们可以假设：
我们现在使用 杨氏不等式 ：
对于所有非负的a和b，当且仅当时
等式成立。
因此：
两边积分，得：.
这便证明了赫尔德不等式。
在 和 的假设下，等式成立当且仅当 几乎处处 有
。更一般地，如果 和 位于 内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在 （即 且 ），使得：
的情况对应于 中的 。 =的情况对应于 中的 。