波恩哈德·黎曼（英文名：Georg Freidrich Bernhard Riemann ，1826年9月17日—1866年7月20日），德国数学家 ，复变函数论的奠基人之一 ， 黎曼几何 、 黎曼猜想 的提出者 。
黎曼出生于德国 汉诺威 的布雷斯塞伦茨 ，1847年，黎曼从 哥廷根大学 转去 柏林大学 ，由此开始，其放弃神学开始转向数学 。黎曼于1851年提交了《单复变函数一般理论基础》的论文 ，论文中阐述的“黎曼 映射 定理 ”成为函数的几何理论的基础 。1857年，黎曼作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何 。1859年，黎曼发表论文《论小于某给定值的素数的个数》，并在论文中提出“黎曼假设（猜想）” ，该假设被列为21世纪的7大数学难题之一 ，至今该假设未被证明 。1866年7月20日，黎曼在去 意大利 因 肺结核 去世 。
黎曼是对现代数学影响最大的数学家之一，其在数学领域提出了诸如： 黎曼曲面 、黎映射定理 、 黎曼 积分等 ， 黎曼 函数的提出开创了 解析数论 的新时期 ，此外， 黎曼几何 对 阿尔伯特·爱因斯坦 广义相对论 的形成打下了基础 ， 黎曼 也是复变函数论的奠基人之一 。黎曼的著作很多，主要包括《借助三角级数表示函数的可能性》《椭圆函数论》《引力、电、磁》等论著 。1859年，黎曼被选为 柏林科学院 通讯院士 。1866年，黎曼被选为法国巴黎科学院国外院士、 伦敦皇家自然知识促进学会 国外会员 。
人物生平
早年经历
1826年9月17日，波恩哈德·黎曼出生于德国 汉诺威 的布雷斯塞伦茨，是六个孩子（二男四女）中的老二。黎曼的父亲是当地路德教的一名牧师，母亲是法官的女儿 。 黎曼 小时便随父亲搬到奎克博尔恩的牧师管区，接受父亲的入门教育。约6岁时，他开始学算术，并逐渐开始展露他的数学才能。10岁时，他跟着一位职业教师学习更高级的算术和几何 。
1840年，14岁时的黎曼同他的祖母一起搬到汉诺威居住，进入当地 文科中学 学习。在这里， 黎曼 的数学才能被这所中学的校长施马尔夫斯（Schmanlfuss）发现，在施马尔夫斯的建议下，黎曼开始阅读Ａ.Ｍ. 阿德利昂·玛利·埃·勒让德 （Legendre）的《数论》，并仅用6天时间便掌握了书中的内容。他还通过研究 欧拉 （Euler）的著作，掌握了微积分及其各个分支。1842年，他的祖母去世，黎曼搬到吕内堡（Lüneburg）的约翰纽姆（Johanneum），并在吕内堡当地的预科中学一直学习到19岁 。
转向数学
1845年春，黎曼进入 哥廷根大学 专修语言和 神学 ，期间，他也去旁听数学及物理课程。1847年，黎曼在 哥廷根大学 学习一年后转去 柏林洪堡大学 ，开始由神学转向数学领域 。在柏林大学，他成为 卡尔·雅可比 （Jacobi）、 狄利克雷 （Diridlet）、 施泰纳 （Steine）、爱森斯坦（Eisenstein）的学生，开始进入更高级的数学领域。他从雅可比那里学习高等力学和高等代数，从狄利克雷那里学习 数论 和分析，从施泰纳那里学习近代 几何学 ，从爱森斯坦那里学习 椭圆函数 。他钻研了 奥古斯丁-路易·柯西 （Cauchy）等人的著作，得出单复变函数以及“柯西— 黎曼 方程 ”的概念 。
1849年，黎曼回到 哥廷根大学 ，并得到了高斯的正式指导 。随后，在哥廷根大学的三个学期期间，他不仅旁听哲学课并且还旁听了 韦伯 （Weber）的实验物理课，并通过研究 约翰·赫尔巴特 （Herbart）的哲学结果，黎曼在1850年得出结论：“能够建立起一套完备的、周密的数学理论，它包括从单个 质点 的基本定律进而到现实连续充实的空间中我们见到的过程，不管是 引力 、电磁还是 热学 的。”
专研数学
1850年秋， 黎曼 参加了由韦伯、乌尔利希（Ulrich）、 斯特恩 、利斯亭（Listing）建立起的数学、物理学讨论班。1851年11月初，黎曼提交了他的 博士论文 《单复变函数一般理论基础》 ，在该论文中，他引入了 解析函数 的概念，他把复变函数的解析性建立于“ 奥古斯丁-路易·柯西 —黎曼 方程 ”的基础上，论证了复变函数可导的必要充分条件，并借助 狄利克雷原理 阐述了著名的“黎曼 映射 定理 ”，该定理也成为函数几何理论的基础 。
1852年，黎曼趁 狄利克雷 来到 哥廷根市 度假期间，他与狄利克雷讨论了自己的论文，并收到了狄利克雷的笔记，为他节省了大量研究时间 。1853年， 黎曼 定义了“黎曼积分”并研究了三角级数收敛的准则。 黎曼 于1854年提出用 流形 的概念理解空间的实质，用 导数 弧长度的平方所确定的正定 二次型 理解度量，建立了“黎曼空间”的概念，把欧氏几何、 非欧几里得几何 包进了他的体系之中 。同年，他在试验科上讲演了《论作为几何基础的假设》，这篇文章不仅是数学史上的一篇杰作，而且在表述上也是典范。演讲结束后，高斯给于很高的评价，并向威廉、 韦伯 表示他对黎曼提出的思想的赞扬 。
1854年， 黎曼 为取得 哥廷根大学 编外 讲师的资格，他递交一篇《关于利用三角级数表示一个函的可能性的》文章，文章指出可积函数不一定是连续的，黎曼给出了一个连续而不可微的著名 反例 ，最终讲清连续与可微的关系 。同年9月， 黎曼 在第31届德国自然科学家及医师协会年会上发表了一篇关于电在非 导体 中分布规模的讲演 。
“黎曼假设”
1857年，黎曼初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了“黎曼几何”，并为 阿尔伯特·爱因斯坦 的 广义相对论 提供了 数学基础 。同年，发表的关于阿贝尔函数的研究论文，引出“ 黎曼曲面 ”的概念，“ 黎曼曲面 ”从拓扑、分析、 代数几何 各角度作了深入研究。创造了一系列对 代数拓扑 发展影响深远的概念，阐明了后来为G.罗赫所补足的 黎曼 —罗赫 定理 。同年， 黎曼 被 哥廷根大学 聘为副教授 。
1859年， 黎曼 接替 狄利克雷 成为 哥廷根市 大学教授 。并发表论文《论小于某给定值的素数的个数》，黎曼在论文定义了一个函数：黎曼 （zeta）函数，并推测著名的论断—黎曼假设（猜想） ，黎曼假设的提出，使该假设成为20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题、21世纪的7大数学难题，并提出能证明该猜想的人将会获得100万美元奖金 。
人物逝世
1862年6月， 黎曼 与他妹妹的一位朋友 罗伯特·科赫 （Elise Koch）结婚，同年秋天，黎曼染上了 胸膜炎 ，导致了无法治愈的肺部损伤。之后， 黎曼 与科赫基本在气候温暖的 意大利 度过 。1866年7月20日， 黎曼 在第三次去 意大利休养的的途中因 肺钙化 在塞拉斯卡（Selasca）去世 。
主要成就
黎曼是对现代数学影响最大的数学家之一。 黎曼 提出 黎曼 函数在 复分析 对数 论的应用中起着核心的作用 ， 黎曼曲面 、黎曼 映射 定理 等的提出也对数学的发展起到积极作用 。此外， 黎曼 是复变函数论的奠基人之一 ， 黎曼几何 的诞生对 阿尔伯特·爱因斯坦 的 广义相对论 的形成起到重要作用 ，黎曼于1859年提出的“黎曼猜想”更是至今都未被论证的数学难题 。
黎曼函数
级数 对于所有大于等于固定 的 实数 是 一致收敛 的。它是级数 的强级数，因此它表示 半平面 中 的一个 解析函数 ，函数 称为 黎曼 函数，它在 复分析 对数 论的应用中起着核心的作用 。
黎曼曲面
黎曼为了把多值函数也象单值函数那样去研究，他第一个提出把区域的概念加以推广，使得任何一个复变量 的多值解析函数 ，当把 看作是广区域内的点的函数时， 便成为单值函数。这个推广的区城被称为黎曼曲面 。
黎映射定理
对于 平面上任给的 单连通 区域 ，若它的边界 至少含有两点（因而至少含一整段弧），则必存在唯一单叶映射函数 ，它把 映射为单位圆 1的内部，使得 内的（任意）一指定点映射为原点 ，该点处（任意）一指定方向映射为正实轴方向，此即为黎映射定理 。
复变函数论
黎曼 是复变函数论的奠基人之一。1851年，黎曼在 高斯 的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的 博士论文 ，后来又在《数学杂志》上发了四篇重要文章，对其博士论文中思想的做了进一步的阐述，一方面总结前人关于单值 解析函数 的成果，并用新的工具予以处理，同时创立多值解析函数的理论基础，并由此为几个不同方向的进展铺平了道路 。论文中，黎曼令 且 ，而 是实变速 的函数，则上述条件化为关系式
，
即是一元复变函数一般理论基础，这些关系式也就是复变函数在 静电学 、 流体力学 、 气体力学 、弹性学及热导理论等方面的应用的基础 。
黎曼积分
利用定积分、 二重积分 、三重积分、对长的 曲线积分 及对面积的 曲面积分 计算非 均匀分布 物体质量问题的研究中，可以发现它们有以下共同点：第一，它们都是非均匀变化，当把它们看成是均匀变化的时候，可以表示为某两个量的乘积形式；第二，它们具有对区域的 可加性 ：设 是一个与点 的变化区域 有关的量，将 分成 个无公共内点的小区域 ： 时， 相应地也被分成 个部分量 ，且 ；第三，运用“分割一代替一求和一取极限”的方法来处理问题时都出现同一种类型和式的极限。这就表明，可以将上叙各种积分抽象为同一类 数学模型 ，该数学模型通常称为函数的 黎曼 积分 。
黎曼几何
1854年， 黎曼 在《关于几何基础的假设》的演说中站在 微观 空间的立场，提出了一种既不是欧氏几何，又不是罗氏几何的 非欧几里得几何 ，即黎曼几何 。
黎曼几何 把 三维空间 推广到 维空间，黎曼直接从 维空间出发建立他的几何体系，而不是从二维平面和三维空间出发。比如设 个数 ，正如用 表示一个平面二维点，用 表示一个空间三维点一样，可用 表示一个 维空间的点，每个 称为该点坐标， 维空间又称为” 维 流形 。
黎曼猜想
在数学中，已知 2，3，5，7，31，59，97 这些正整数。除了1及本身之外就没有其他因子，这些数被称为素数（或 质数 ）。 希腊 数学家 欧几里得 用反证论证明了在正整数集合里有无穷多的素数。1737年，数学家 欧拉 引进了zeta函数
对于 是 实数 的情况， 欧拉 证明当 时， 级数 收敛。1859年， 黎曼 把zeta函数作为复变数 的函数来加以研究。他利用了 欧拉 的 无穷乘积 表示法，首先证明了当 时，zeta函数是一个没有 零点 的正则函数。接着证明了当 ， 时，zeta函数没有零点；而当 时，zeta函数除了在 处有零点外，没有其他零点。通常称这些零点为“平凡零点”。由此， 黎曼 给出了这样的猜想：“zeta函数的一切非平凡零点的 实数 部分都等于 。也就是说这些零点都集中在复平面上横坐标等 的那条直线上。”这就是世界著名的数学难题之一一“ 黎曼猜想 ” 。
主要论著
黎曼 的著作很多，主要包括《单复变函数的一般理论的基础》、《在给定大小之下的素数个数》等 ，黎曼逝世后， 德国 数学家 戴德金 出版了黎曼 全集 ，黎曼的学生们又收集他的讲义笔记于1902年出版，作为全集的补充，全集中收录了黎曼的《借助三角级数表示函数的可能性》、《椭圆函数论》等论著 。
数据来源：
个人生活
黎曼是个安静、害羞并且多病的人，喜欢独处，他的同事 戴德金 是其为数不多的好友，在黎曼去世10年之后，戴德金写了一本 黎曼 的 传记 。据戴德金说，除了黎曼真正糟糕的身体状况之外，他还是一名 疑病症 患者 。1862年6月，黎曼与 罗伯特·科赫 （Elise Koch）结婚，两人婚后育有一个女儿，名叫 伊达 （Ida） 。
主要荣誉
1859年， 黎曼 被选为 柏林科学院 通讯院士 。
1866年3月，黎曼被选为法国巴黎科学院国外院士 。同年7月，黎曼被选为 伦敦皇家自然知识促进学会 国外会员 。
人物评价
一个像黎曼这样的几何学者几乎可以预见到现实世界的更重要的特征。——埃丁顿爵士评
黎曼 ……具有创造性的、活跃的、真正数学家的头脑，具有灿烂丰富的创造力。—— 高斯 评
作为一个数学家， 黎曼 的伟大在于他给 纯粹数学 和 应用数学 揭示的方法和新观点的有力的普遍性和无限的范围。——近代数学史家 贝尔 评
黎曼 具有非凡的直观能力，他的理解天才胜过所有同代数学家。—— 德国 数学家 菲利克斯·克莱因 评
后世纪念
1854年，黎曼在其所作的论文《论几何学作为基础的假设》中指出一种既不是欧氏几何，又不是罗氏几何的 非欧几里得几何 ，后人为了纪念黎曼，称这种几何学为“黎曼几何学” 。
1876年，黎曼去世后，黎曼的好友 戴德金 为了纪念他，写了一本黎曼的 传记 《 黎曼 全集》。1902年，黎曼的学生们又将黎曼的讲课笔记作为 全集 的补充，整理出版 。
2016年，中国高等教育出版社出版了《黎曼全集》中文版，纪念黎曼逝世150周年 。