在数学领域， 对数 （logarithm）是指数函的 反函数 。如果 的 次方等于 ，就意味着 是以 为底 的对数，被记为 ，其中 被称为 底数 ， 被称为 真数 。例如： ，所以3就是以10为底1000的对数，记为 。
在一些底数特殊的对数中，底数可以省略不写，比如以10为底的对数（ 常用对数 ），常用于科学和工程领域； 自然对数 （约等于2.718），在数学和物理领域应用很广泛；以2为底的 二进制对数 ，常用于 二进制科学 。
对数由数学家 约翰·纳皮尔 （John Napier）在1614年引入，作为简化计算的方法，并迅速被 航海家 、科学家、工程师、测量员和其他人采用，以更轻松地执行 高精度计算 。在进行复杂的计算时，数字可能变得非常大或非常小，这会导致精度损失。使用对数可以将这些数字缩小到一个更容易处理的范围，从而减少精度损失。使用 对数表 后，繁琐的多位数乘法步骤就可以用查表，以及更简单的加法代替。可以遵循公式：乘积的对数是 因子 的对数之和，即
（ 、 和 均为正且 ）
当数据的值很大时， 对数刻度 （log scale）可以利用对数将数据降低到一个容易处理的范围。比如， 分贝 （dB）是用功率比转化为对数的单位，主要用于表达信号功率和振幅（常见的如 声压 ） 。在 化学 中， 溶液的酸碱性与pH值 是 水溶液 酸度的对数度量。 对数在科学公式、算法复杂性和称为 分形 的几何对象的测量中很常见。对数可以用于描述 音频频率 之间的比例关系，也可以应用于计算 孪生素数猜想 和 阶乘数 等数学问题。在 心理物理学 领域，对数可以用来建立模型。此外，在法务和会计领域，对数也有一定的应用。总之，对数是一种非常实用的数学工具，在许多不同的领域中都有广泛的应用。
作为 指数 的 反函数 ，对数的概念也能扩展到其他的 数学结构 。在广义的情形中中，对数往往是一个 多值函数 。例如： 复对数 是复 指数函数 的多值反函数。 离散对数 是 有限群 中指数函数的多值反函数，在 公钥密码学 中有所应用。
特殊点 用点线表示，所有曲线 相交 于 。
定义及基本性质
给定一个 正实数 ，其中 ，将 个 底数 相乘得到正实数 ，此时 指数 为 ，数学表述为 。换句话说， 以 为底的对数是唯一的实数 ，记作 ，读为“以 为底 的对数”或最常见的“ 的以 为底的对数”。
进位加法 、 乘法 和 求幂 是三种最基本的算数运算。加法的 逆运算 是减法，乘法的逆运算是除法。而求幂的逆运算就是对数。求幂是将 （指数）个基数 连乘得到的幂值 ，也就是： ，比如， 。求以 为 底数 的对数是求幂的逆运算，能从幂值 求出指数 ， ，（ 为正 实数 ）。（如果 不是正实数，则可以手动定义求幂和对数，但可能因此变为 多值函数 ，这使得定义更加复杂）
例如：
对数恒等式
对数运算中几个重要的公式，也被称为 对数定律 ，用来描述不同对数之间的关系。
乘积、商、幂和根
乘积的对数是 被乘数 的对数之和； 商 的对数是对数之差。一个数的 次方的对数是该数本身的对数的 倍；一个数的 次方根的对数是该数的对数除以 。下表列出了这些标识和示例。通过对数的定义式 或 ，在下表中进行相应的计算，即可证明各 恒等式 的结论。
底数的变化
对数 可以使用以下公式从 和 相对于任意 底数 的对数计算得出： 。
典型的科学 计算器 可以计算以10和 为底的对数。可以通过前面的公式，使于任何底数b的对数都变换为用这两个特殊底数对数来换算，也就是： 。
给定一个数字 及其对数 到未知 底数 ，底数就可以表示为 ，该关系可以通过对定义式 求 次幂给出。
特殊底数
有3个常见底数，分别是 ， (数学 常数 ，约为2.71828）和 。在数学分析中，以 为底的对数很常见。而以10为底的对数常用于 十进制 数字系统 中的手动计算：
。
因此， 的 小数 位数与 正整数 的位数有关：位数是严格大于 的最小 整数 。例如， 约为3.15。下一个整数是4，也就是1430的位数。 自然对数 和 二进制对数 在 信息论 中都有使用，分别对应使用 奈特 (nats)或者 比特 (bits)作为信息的基本单位。 以2为底的对数称为二进制对数，二进制对数也用于 计算机科学 ，其中二进制系统无处不在；在 乐理 中，音高比为二（即相差 八度 ）是普遍存在的，任何两个音高之间的 音分 数是它们的比率乘以1200的二进制对数（即每等律 半音 100音分） ；在 摄影 中，“stop”通常是用来表示 曝光值 （Exposure Value，EV）的单位。曝光值是一个综合考虑 光圈 、 快门速度 和 感光度 的量，通常用数字表示。两个曝光值之间的差异，如果用“stop”来度量，相当于曝光值之间的 二进制 对数差异。
下表列出了这些 底数 的 常用对数 符号以及使用它们的字段。当底数基本上可以从上下文中确定时，许多学科会省略底数 ，直接写 而不是 。符号 也会出现。 “ISO符号”栏列出了 国际标准化组织 (ISO80000-2)建议的名称。因为符号 已用于所有三个底数（或当底数不确定或无关紧要时），通常必须联系上下文或文章的学科领域来推断需要选择何种底数。在 计算机科学 中，通常指 ，而在数学中通常指 。在其他情况下， 通常表示 。
历史
概念提出与发展
1614年， 约翰·纳皮尔 (英文：John Napier)在一本名为 Mirifici Logarithmorum Canon is Descriptio （ 对数奇妙法则的描述 ）的书中公开提出了对数方法。而在 纳皮尔 的发明之前，已经有类似范围的其他技巧，例如 积化和差法 (prosthaphaeresis)与 数列表 ，在1600年左右数学家 约斯特.比尔吉 (英文：Jost Bürgi)发展了大量这类技巧。第一个 实数 对数的启发式方法就是将乘法转化为加法，从而实现了快速计算。其中一些方法使用从 三角恒等式 派生的表格。这种方法称为积化和差法。 约翰·纳皮尔 在中古 拉丁语 中创造了对数的术语“logarithmus”，源自 希腊语 ，字面意思是“比率数”，来自logos“比例、比率、词”+arithmos“数”。
居住在 布拉格 的 比利时 耶稣会士 格雷瓜尔·德·圣文森特 (Grégoire de Saint-Vincent)试图对 矩形双曲线 求积分，从而发明了现在称为 自然对数 的 函数 。 对数提供了一种将 等比数列 的比值关系转换为 等差数列 的加减关系的方式，由于其的这种特性， 安东尼奥-德-萨拉萨 （A. A. de Sarasa）将圣文森特的 正交 法与积化和差公式中的传统计算方法联系起来，从而产生了术语“ 双曲对数 ”，也就是自然对数。 不久，这个新功能受到了物理学家 克里斯蒂安·惠更斯 （ Christia an Huyg）和数学家 詹姆斯·格雷戈里 （James Gregory）的赞赏。数学家 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 （G.W. Leibniz）于1675年采用了对数 的符号，第二年他将其与积分 联系起来。
现代对数的概念来自数学家 莱昂哈德·欧拉 （Leonhard Euler），他在18世纪将对数与 指数函数 联系起来，并引入了字母 作为 自然对数 的 底数 。在 欧拉 发展出他的 复数自然对数 的现代概念之前，数学家 罗杰柯特斯 （Roger Cates）在1714年发表了几乎相同的结果
。
对数表和计算尺
在 计算器 和 计算机 出现之前，对数简化了困难的计算，为科学的进步做出了贡献，尤其是测量和 天文学 。 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 （Pierre-Simon marquis de Laplace）这样评论对数：“......（一种）令人钦佩的计算技巧，这种技巧将数月的劳动减少到几天，使天文学家的生命翻倍，并使他免于长时间计算所带来的错误和厌倦。”
对数表是使对数得到实际应用的一个关键工具。 英国 数学家 亨利·布里格斯 (Henry Briggs)于1617年编制了第一个此类表格，紧随 约翰·纳皮尔 的发明，但创新之处在于使用10作为 底数 。布里格斯的第一个表格包含1到1000范围内所有整数的 常用对数 ，精度为14位。随后，人们编写了范围越来越大的表格。这些表列出了任意数字 的 在一定的范围内，在一定的精度下的值。以10为底的对数普遍用于计算，因此得名 常用对数 ，因为相差10的 倍数 的数字，在整数部分相差1， 的常用对数可分为整数部分和 小数 部分，称为 首数 和 尾数 。 对数表 只需要包括尾数，因为可以通过从 小数点 开始计算数字来轻松确定该特性。 的特征是一与 的特征的和,而它们的尾数相同。因此，使用 三位对数表 ，3542的对数就能近似为：
通过 插值 可以获得更高的精度：
的值可以通过同表反向查找来确定，因为对数是 单调函数 。
两个 正数 和 的乘积和商通常计算为它们对数的和与差。乘积 或商 来自通过同一张表查找和或差的 反对数 ：
和
。
对于需要任何可观精度的手动计算，执行两个对数的查找、计算它们的和或差以及查找反对数比通过早期方法（例如依赖于 三角函数 的 积化和差公式 ）执行乘法要快得多。
和
。
包含了常用三角函数的对数值表格使得三角函数的计算变得更加容易。换句话说，人们可以通过这些表格来快速地进行三角函数的计算，节省了大量的时间和精力。
另一个重要的应用是 计算尺 ，一对 刻度 呈 对数分布 的用于进行相应计算的尺子。在 约翰·纳皮尔 发明对数后不久， 英国 数学家 埃德蒙冈特 （Edmund Gunter）就发明了 冈特尺 (Gunter's rule)——一种非滑动的刻度尺。英国数学家 威廉奥特莱德 （William Oughtred）对其进行了改进，创造了 计算尺 ——一对可以相对移动的对数刻度尺。对应数字的刻度的位置与其对数值成正比。滑动上刻度，也就相当于机械地添加对应的对数，如下所示：
例如，将下 标尺 上从1到2的距离与上标尺上从1到3的距离相加得到乘积6，在下面的尺子上我们也可以发现对应的数值。直到20世纪70年代， 计算尺 都是工程师和科学家必不可少的计算工具，它以牺牲精度为代价，实现了比 对数表 方法更有效率的计算。
解析特性
对数的深入研究需要 函数 的概念。一个例子是从任何 实数 产生 的 次方的函数，其中 底数 是一个 固定数 。该函数写为 。 对数函数 的各类解析特性如下：
存在性
令 为不等于1的 正实数 并令 。
任何连续的严格 单调函数 在其 域 和 值域 之间都是 双射 的，这是实分析中的标准结果。这个事实是根据 介值定理 得出的。现在， 严格递增 （对于 ）或 严格递减 （对于 ），是连续的，具有 函数定义域 ,并且有范围 .因此， 是来自 到 的 双射 。换句话说，对于每个正 实数 ，恰好有一个实数 使得 。
我们用 来表示 的 反函数 。 ，也就是 ，是唯一一个满足关系 的 实数 。这个函数称为 底数 为 的 对数函数 （或直接简称为对数）。
对数函数的图形
如上所述， 对数函数 是 指数函数 的 反函数 。因此，它们的图形是相互对应的，只需交换 和 坐标（或在 对角线 处反射），如下图所示：函数 图形上的点 对应着对数的图形上的点 ，反之亦然。因此，如果 大于1，则 会在 趋向正无穷时趋向正无穷（大于任何给定的数）。在这种情况下， 是一个递增的 函数 。当 大于0小于1时， 会在 趋向正无穷时趋向于负无穷。当 趋近于零时，如果 ，则 趋向于负无穷（如果 ，则趋向于正无穷）。
导数和原函数
函数 的解析性质传递给它们的 反函数 。因此，由于 是一个连续且可 微分 的函数，也是如此。粗略地说，如果 连续函数 的图形没有尖锐的“棱角”，则它是可微分的。 此外，由于 的 导数 根据 指数函数 的性质计算为 ， 链式法则 意味着 的 导数 为：
也就是说，在点 处与以b为底的对数图形相切的 切线 的 斜率 等于 。
的 导数 是 ，在 时对数 值为0。以 作为 底数 ，很多式子都能获得简化；这也是 常数 重要的主要原因之一。
具有广义 泛函 参数 的导数为：
。
上式右侧的 商 称为f的 对数导数 。通过 的导数计算 的方法称为 对数微分 。 自然对数 的 原函数 为：
可以使用 底数变换公式 从这个公式中推导出其他底数的 对数反函数 等相关公式，例如，对数的原函数等。
自然对数的积分表示
的 自然对数 可以定义为 定积分 ：
这个定义的优点是它不依赖于 指数函数 或任何 三角函数 ；该定义是根据简单 倒数 的积分得出的：作为一个积分 等于x轴和 函数 的图形之间的面积，范围从 取到 。可以通过 微积分 基本 定理 以及可以通过微积分基本 定理 以及 的 导数 为 的事实所得出的结果。此公式还可推导出 乘积对数公式 和 幂对数公式 。 例如，乘积公式 推导为：
等式(1)将积分分为两部分，而等式(2)对应变量的变化( )。下面的图示中，将整个区域分为黄色部分和蓝色部分。将左侧的蓝色部分在垂直方向上扩大 倍，在水平方向上也缩小t倍，其面积大小并没有改变。通过适当的平移，将蓝色部分恰好移动到了函数 的曲线上。因此，从 到 的 的积分所对应的左侧蓝色面积，与从1到 的积分所对应的面积相同。这样的几何论证证明了等式(2)的正确性。
幂公式 可以通过类似的方式导出：
。
第二个等号处使用了变量的变换(代换积分)， 。
，
称为 调和级数 ，它与 自然对数 密切相关：当 趋于无穷大时，差值
，
收敛至(即任意趋近于)一个称为 欧拉- 马歇罗尼(Euler–Mascheroni) 常数 的数字 。这种关系有助于分析如快速排序（quicksort）等算法的性能。
对数的超越性
不是 代数数 的 实数 被称为 超越数 ，比如 和 就是超越数，而 不是。几乎所有的实数和 复数 都是超越数。对数就是一个 超越函数 的例子。格尔丰德-施奈德(Gelfond–Schneider) 定理 认为， 对数函数 通常会取超越数，即“比较难算”的值。
对数的计算
在某些情况下，对数的计算很容易，比如 。通常，对数可以通过 幂级数 展开或求 算术-几何 平均值来计算，或者从预先计算的 对数表 中检索，该表提供固定的精度。 牛顿法 ，一种用于近似解方程的迭代方法，也可以用于计算对数，因为它的 反函数 —— 指数函数 可以更加高效地计算。使用查找表，类似 CORDIC 的方法可以使用加法和位移操作来计算对数。此外， 二进制 对数算法通过对x重复平方的方式，递归地计算 ，这个过程中利用了以下关系：
。
泰勒级数
对于任意满足 的 实数 ，下列公式成立：
下面是一种简便的表述，表明 可以通过以下表达式逐渐逼近更加精确的值：
例如，对于 ，第三个近似值是 ，比 大约 。只要求和项的数量足够大，这个 级数 就能任意精确地逼近 。在 微积分 基础中， 就是这个级数的极限。这是 自然对数 在 处的 泰勒级数 。当 很小， 时， 的 泰勒级数 对 的逼近特别有用，因为此时：
例如，当 ，一阶近似的值为 ，这与实际结果0.0953仅有不到 的偏差。
反双曲正切函数
，
为满足 的任意 实数 。上述关系也可以写成求和的形式：
此 级数 可以通过上述 泰勒级数 得到。相比泰勒级数，它可以更快收敛，尤其是当 的取值趋近于1时。例如，当 ，第二个级数展开方法的前三项给出的近似结果与 的实际结果相比，误差大概是 。这种在 趋近于1时快速收敛的特性可以用于如下这个方面：已知一个低精度的近似 ，设
，
则 的对数为
最初的近似越精确，则 的取值就会越接近1，因此可以有效计算其对数值。 可以通过指数 级数 计算，而由于 并不是特别大，这个级数收敛的很快。对更大的 值的对数的计算可以被约化，因为存在关系 ，于是有 。
在计算整数的对数时，存在一个和上式紧密相关的方法。令上述级数中 ，则有
。
若已经知道了大整数 的对数值，则我们可以通过这个 级数 给出 的一个快速收敛的级数，其收敛 速率 为 。
算数-几何平均值近似
算数-几何平均值可以得到 自然对数 的高精度近似。 佐佐木 和 卡纳达 (Kanada)在1982年的研究结果给出这类方法在 小数 位400到1000位时非常快，而Taylor级数方法则通常在需要更低精确度时更快。 在文章中 通过以下方法被近似到 的精度：
这里的 表示 和 的 算术-几何平均数 。算术- 几何平均数 的计算方法是，反复计算 和 的 算术平均数 (即 )和 几何平均数 ，然后将这两个数作为下一次迭代的 和 值进行计算。通过这样的 迭代计算 ， 和 会很快收敛到一个共同的极限值，这个极限值就是 的值。在计算中，常常需要选择一个适当的初始值 ，使得
从而确保所需要的精度。选取较大的初始值 会使得计算 需要更多的迭代步骤（由于初始 和 相差较大，所以需要更多的迭代才能达到收敛），但会得到更高的计算精度。 常数 和 可以通过使用快速收敛的 级数 进行计算。
Feynman算法
物理学家理 理查德·费曼 （英文：Richard Feynman ）在 曼哈顿计划 期间在 洛斯阿拉莫斯国家实验室 开发了一种 比特处理算法 ，用于计算对数，类似于 长除法 。该算法利用了每个介于1和2之间的 实数 可以表示为形如 的不同因子的乘积的事实。 该算法顺序构建乘积P，从 和 开始：如果 ，则将 更改为 。然后无论如何都要增加k。当k足够大以提供所需的精度时，计算终止。因为 是与那些包含因子 的 相对应的形式为 的项的总和，所以可以通过简单的加法计算 ，并使用所有 的 的表。任何 底数 都可以用于 对数表 。
应用范围
概率论与统计
对数也出现在 概率论 中： 大数定律 规定，对于一枚公平的硬币，随着抛硬币次数增加到 无穷大 ，观察到的正面朝上的比例接近二分之一。这个比例实际的测量值相对于二分之一的波动（或涨落），可以用重对数率来描述。
对数也出现在 对数正态分布 中。当 随机变量 的对数服从 正态分布 时，称该变量服从对数正态分布。对数正态分布在湍流研究等许多领域都会出现，相关场景下一个变量是许多独立的正随机变量的乘积。
对数用于参数 统计模型 的 最大似然估计 。对于这样的模型， 似然函数 取决于至少一个必须被估计的参数。似然函数的最大值出现在与 似然对数 （“对数似然”）的最大值相同的参数值处，因为对数是 递增函数 。对数似然更容易最大化，尤其是对于独立随机变量的乘法似然。
本福德定律 描述了许多数据集中首位数字的出现频率。根据本福德定律，无论测量单位如何，数据样本中某项的第一个 十进制 数字为d（从1到9）的概率等于 。因此，大约30%的数据可以预期以1作为第一位数字，18%的数字以2开头，以此类推。审计员可以检查对本福德定律的偏差，以检测财务造假。
对数变换是一种数据变换，用于使经验分布更接近假设分布。
分形
分形是具有 自相似 的几何对象，从某种意义上说，每个小部分粗略近似于整体结构。 谢尔宾斯基三角形 可以被自身的三个副本覆盖，每个副本的边长都是原始长度的一半。这使得该结构的 豪斯多夫维数 。另一种基于对数的维数概念是通过计算覆盖所讨论的分形所需的框数获得的。 鹦鹉螺科 壳的每个腔室都是下一个腔室的近似复制品，按 常数因子 缩放。这会产生 对数螺线 。
数论
自然对数 与 数论 中的一个重要问题—— 素数计数 （2，3，5，7，11，...）密切相关。对于任意整数 ，小于或等于 素数数量用 表示。 素数计数函数 是一个经典的 数论函数 ，其性质一直是数学家研究的重要课题之一。 素数定理 是关于素数计数函数的一个基本定理，它断言 可以近似为 ，这是由于当 趋近于无穷大时， 与这个分数的比值趋近于1。由此可以推出，在区间 中随机选择一个数是素数的概率与 的 十进制 位数成反比。更好的估计 的方法是使用偏移 对数积分函数 ，其定义如下：
黎曼假设 是数学界最古老的公开数学猜想之一，它涉及比较 素数计数函数 和 偏移对数积分函数 的大小关系。 厄多斯-卡茨定理 描述了不同质因子的数量，也涉及到 自然对数 。
对于正整数 ，其阶乘 的对数可以表示为： 。这个关系可以被用来得出 斯特林 （Stirling）公式，从而近似得到大 情况下 的数值。
用对数来描述尺度
科学量通常使用对数标度。例如，分贝是与对数标度量相关的测量单位。还有基于比值的 常用对数 ——功率比：常用对数的10倍或电压比： 常用对数 的20倍。用于量化传输电信号时电压水平的损失，描述 声学 中声音的功率水平，以及光谱和光学领域中光的吸收率。描述相对于更有意义的信号时，不需要的噪声量的 信噪比 也以分贝为单位进行测量。同样，峰值信噪比通常用于评估声音质量，使用对数的声音，还可以用于使用对数的图像压缩方法。
地震 的强度是通过取地震时释放的能量的常用对数来衡量的。这用于 矩震级 或 里氏震级 。例如，5.0级地震释放的能量是4.0级的32倍( ），而6.0级地震释放的能量是4.0级的1000倍( )。 视星等 以对数方式测量 恒星 的亮度。 在 化学 中 十进制 对数的 负数 ， 小数 余对数,由字母p表示。例如，pH值水合氢活性的十进制余对数 氢离子 形式 吸水。 水合氢离子 在中性水中的活性为 ，因此 pH值 为7。 醋 的pH值通常约为3。差值为4相当于浓度相差 ，即醋的水合氢离子活度约为 。
半对数 （对数线性）图使用对数尺标度概念进行 可视化 ：一个轴，通常是垂直轴，按对数比标度。例如，右侧的图表将从从100万到1万亿的急剧增长压缩到与从1到100万的增长相同的空间（在垂直轴上）。在此类图中，形式为 的 指数函数 显示为 斜率 等于 的对数的直线。双对数图以对数方式缩放两个轴，这导致 形式的 函数 被描述为斜率等于指数 的直线。这适用于幂律的可视化和分析。
心理学
心理学研究发现，几乎没有接受过 数学教育 的人倾向于以对数方式估计数量，也就是说，让他们标记10与100之间的距离，可能会和100和1000之间的距离一样。在某些情况下，教育程度的提高将会改变这种情况，将其转变为 线性估计 （对应刚才的例子，100和1000之间的距离会是10和100之间的距离的10倍远），仅仅在目标数字很难进行线性标记时，才使用对数方法。
计算复杂度
算法分析是 计算机科学 的一个分支，研究算法（解决某特定问题的 计算机程序 ）的性能。对数对于描述将问题分成更小的问题并加入子问题的解决方案的算法很有价值。
例如，要在排序列表中查找一个数字， 二分搜索法 会检查中间条目，如果仍未找到该数字，则继续查找中间条目之前或之后的那一半。该算法平均需要 次比较，其中 是列表的长度。类似地， 合并排序算法 通过将列表分成两半并在合并结果首先对未排序的列表进行排序。合并排序算法通常需要大约与 成正比的时间。此处没有指定对数的 底数 ，因为当使用另一个底数时，结果只会改变一个 常数 因子。在标准统一成本模型下的算法分析中，常数因子通常被忽略。
如果函数 与 对数（精确或近似）成正比，则称函数 呈对数增长。例如，任何 自然数 都可以用不超过 位的 二进制 形式表示。换句话说，存储 所需的内存量随 呈对数增长。
此外，由于 对数函数 相对于x的增长非常缓慢，因此可以使用对数标度来压缩大规模科学数据。对数也出现在许多科学公式中，例如 齐奥尔科夫斯基 （Tsiolkovsky）火箭 方程 、芬斯克（Fenske）方程或 能斯特 （Nernst）方程。
熵与混沌
熵 广泛地衡量了某些系统的混乱程度。在统计 热力学 中，一些 物理系统 的 被定义为
这个和是关于所讨论系统的所有可能状态 的，例如容器中气体粒子的位置。此外， 是达到状态 的概率， 是 玻尔兹曼常数 。 同样， 信息论 中的熵度量的是信息量。如果消息接收者可能期望 个可能消息中的任何一个具有相同的可能性，那么任何一个这样的消息所传达的信息量被量化为 比特。
李亚普诺夫指数 （Lyapunov exponent）使用对数来衡量一个 动力系统 的混乱程度。例如，对于在椭圆 台球桌 上运动的粒子，即使 初始条件 有微小的变化，也会导致粒子的路径大不相同。这样的系统在确定性方面是 混沌 的，因为初始状态的小 测量误差 可预见地导致了最终状态大不相同。确定性混沌系统的至少一个李亚普诺夫指数是正的。
音乐
对数与 音调 和 音程 有关。在同等音律中，频率比仅取决于两个音调之间的音程，而不取决于单个音调的特定频率或音高。例如，音符A的 频率 为440 赫兹 ，降B的频率为466Hz。A和降B之间的音程是一个 半音 ，降B和B（频率493Hz）之间的音程也是半音。因此，频率比一致：
因此，可以使用对数来描述音程：半音的音程是通过取频率比的以 为底的对数来划分的，而频率比 为底的对数划分的音程，则称为 音分 ，即百分之一半音。后者用于更精细的编码，因为它是非等律分音所需要的。
相关概念
复对数
当 为 复数 时， 方程 的所有复数根 ，称为 的 复对数 。复数通常表示为 ，其中 和 是 实数 ， 是 虚数单位 ，其平方为−1。这样的数字可以通过复平面中的一个点来表示。 极坐标 可以通过 的 绝对值 来表示非零复数 ，即到原点的（正实数）距离 和实轴( ) 和同时穿过原点和z的直线。这个角度称为z的 自角 。
的绝对值 由下式给出：
使用 正弦 和 余弦 的几何解释及其在 中的 周期性 ，任何 复数 都可以表示为：
可取任何整数。显然， 的自变量不是唯一指定的：对于所有整数 ， 和 都是 的有效自变量，因为将 弧度或 加到 上，其实就相当于从原点逆时针绕 圈。得到的复数始终为 ，如右边 所示。通过要求 属于一个方便选择的圈数，可以选择 的一个可能自变量作为所谓的主自变量，记为 ，大写为A，例如 或 。 的自变量被唯一确定的这些区域就称为 自变量函数 的分支。
欧拉公式 将 三角函数 中的 正弦 与 余弦 函数与 复指数函数 联系起来：
。
使用这个公式，再次使用 周期性 ，以下 恒等式 成立：
其中 是唯一 实数 自然对数 ， 表示 的复对数， 是任意整数。因此， 的 复数 对数（即所有那些复数 的 的 次方等于 的复数对数是无穷多个值：
取 使得 在主自变量的定义区间内，然后将 称为对数的主值，表示为 ，同样大写L。任何正实数 的主自变量为0；因此 是实数并且等于实（自然）对数。但是，上述乘积和幂的对数公式并不能推广到复对数的主值。
下图描绘了 ，将 的自变量限制在区间 内。这样， 复数 对数的相应分支沿着负 实数 轴具有不连续性，在图中表示为色调的跳跃。当跨越边界时，这种不连续性是由于跳到同一分支中的另一个边界而引起的，即没有改变到连续相邻分支的相应 值。这样的轨迹称为 分支切割 。取消对自变量的范围限制，会使关系成为“ 的自变量”，因此使“ 的对数”成为多值函数。
其他指数函数的反函数
指数运算出现在数学的许多领域，其反函数通常称为对数。例如， 矩阵 的对数是 矩阵指数 的（多值）反函数。另一个例子是p-aidc对数，p-adic的反函数。两者都是通过类似于真实情况的 泰勒级数 定义的。在 微分几何 的背景下，指数函数图将 流形 的一点处的 切空间 映射 到该点 邻域 。它的逆也称为 对数映射 。
在 有限群 的上下文中，幂是通过重复将一个群元素 与自身相乘来给出的。 离散对数 为整数 解方程：
其中 是群中的一个元素。可以高效地完成 幂运算 ，但在某些组中，离散对数被认为很难计算的。这种不对称性在 公钥密码学 中有重要应用，例如在 迪菲-赫尔曼密钥交换 中，这是一种允许在不安全的信息通道上安全交换密钥的例程。Zech的对数与 有限域 的非零元素的乘法群中的离散对数有关。
其他类似对数的 反函数 包括 双对数 、 超对数 或 超4对数 （在 计算机科学 中它的轻微变化称为 迭代对数 ）、 Lambert W函数 和 logit 它们分别是 双指数函数 ， 超阶函数 ， ，以及 logistic函数 的反函数。
群论
从 群论 的角度看， 恒等式 表示了乘法下的正 实数 与加法下的 实数 之间的一种 群同构 。 对数函数 是这些群之间唯一的连续 同构 。通过这种同构，实数上的 哈尔测度 （ 勒贝格测度 ） 对应于正实数上的哈尔测度 。非负实数既有乘法又有加法，形成一个半环，称为 概率半环 ；这实际上是一个半域。然后对数以乘法对加法（对数乘法），以加法对对数加法（LogSumExp），给出概率半环和 对数半环 之间的半环同构。
对数一型
对数一型 在 复分析 和 代数几何 中作为具有对数极点的 微分 形式出现。
多元对数
多元对数是由下式定义的 函数 ：
它与 的 自然对数 有关。此外， 等于 黎曼zeta函数 。