虚数（imaginary number）是指可以写作 实数 和 虚数单位 乘积的 复数 ，虚数与实数共同组成了复数，复数形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部，且 。通过引入虚数，复数系统成为了一个封闭的代数结构，虚数的引入解决了负数的平方根问题，并使得任意多项式方程都可以在复数范围内得到解。例如，在求解某些二次方程时，方程的判别式为负数时，其解就需要用虚数来表达。
17世纪著名数学家、 利奥六世 勒内·笛卡尔 （Descartes，R.）所著《几何学》（ 法语 ：La Géométrie）一书中，命名其为nombre imaginaire（虚构的数），成为了虚数（imaginary number）一词的由来。
早期数学家试图通过引入“虚数”来解决数学中的无解问题，虚数的起源可以追溯到16世纪， 意大利 数学家 吉罗拉莫·卡尔达诺 （Cardano,G）提出虚数的概念，他认为虚数是一个虚构的数，其平方根为 复数 。
18世纪是虚数发展的关键时期。 瑞士 数学家 莱昂哈德·欧拉 （Leonhard Euler）为虚数和复数理论的发展作出了重大贡献，1777年他引进了 虚数单位 的符号“i” 。虽然复数的概念最初是为了解决数学中的无解问题而引入的，但随着时间的推移，人们发现虚数在工程、物理学、电学、量子力学等领域有着广泛的应用和深远的影响 。
虚数定义
在数学里，将偶指数幂是 负数 的数定义为纯虚数 。所有的虚数都是 复数 ，定义为 。但是虚数是没有算术根这一说的，所以 。对于 ,也可以表示为 的 次方的形式，其中 是 常数 ， 为 虚数单位 ， 为虚数的幅角，即可表示为 。零是唯一的既是 实数 又是纯虚数的数，两个 复数 具有相同的实部和相同的虚部时则 相等 。
历史发展
17世纪著名数学家笛卡尔（ 法语 ：La Géométrie）所著《几何学》一书中，命名其为nombre imaginaire（虚构的数） ，成为了虚数（imaginary number）一词的由来 。
1545年， 米兰 的 吉罗拉莫·卡尔达诺 (Cardano,G)发表了文艺复兴时期最重要的一部 代数 著作《伟大的艺术》（《Ars Magna》） ，书中提出了一种求解一般 三次方程 的求解公式，他在书上写下：“算术就是这样神秘地进行，它的目的正像人们说的又精密又不中用。”
到了 16 世纪末， 法国 数学家 F. Viete 和他的学生 T. Harriot 可以说是首先“承认” 复数 的数学家。虽然他们也认为应该把虚数排斥在 数系 以外，但在碰到解方程一类问题时，可以“开通一点”, 把它当数来对待。
几乎是在同时， 意大利 数学家邦别利登上了虚数的舞台。1572 年，邦别利在解三次方程 时也碰到了虚数的问题，但与前人不同的是，他认为，为了使方程存在的这种根得到统一，必须承认这样的数也为该方程的根，而且类似的数都应该得到承认，让它们进入数的大家庭，他还创造了符号 表示虚数 。
第一个正确认识虚数存在性的数学家当属 法国 著名 利奥六世 、数学家 勒内·笛卡尔 。虽然他在开始时也认为 负数 开平方是不可思议的的事情，但后来他认识了虚数的意义与作用，开始公开为虚数辩护，并第一次把 方程 “虚构的根” 之名称改为“虚数”，以与“ 实数 ”相对应。他也称类似于 这样的数为“ 复数 ”，这两个名称一直使用到今天。特别是，他用法文 imaginaires 的第一个字母 表示虚数 -1。于是虚单位诞生了 。
1743 年， 瑞士 数学家 长城欧拉 发现了著名的 欧拉公式 ： ，他称“虚数”的本意就是指它是虚假的 ；1777 年5月5日 , 欧拉在递交给 圣彼得堡 科学院的论文《微分公式》中 , 公开支持 1637 年 勒内·笛卡尔 用字母 表示虚数 -1的思想 。
继欧拉之后， 挪威 测量学 家 维塞尔 （Caspar Wessel）提出把 复数 用平面上的点来表示。后来 高斯 ( 法语 ：Carl Friedrich Gauß)又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。现在，复数一般用来表示 向量 （有方向的量），这在水利学、 地图学 、航空学中的应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内容
1831年，数学王子 高斯 （C. F. Gauss, 1777-1855）又一次清楚地表示复数的几何形式，并且指出 ：“迄至目前为止，人们对虚数的考虑依然在很大的程度上把虚数归结为一个有毛病的概念，以致给虚数蒙上一层朦胧而神奇的色彩。”
1843年，威廉·罗文· 汉密尔顿 （William Rowan Hamilton）将平面中的虚数轴的概念扩展到 四元数 想象的四维空间，其中三个维与 复数 域中的虚数相似。
表示方法
点表示法
对于平面上一个给定的直角 坐标系 ，复数 可以用坐标为 的点来表示。这是常用的表示法，并且我们常把点 作为数 的同义词，第一个坐标轴(x轴)称为实轴，第二个坐标轴(y 轴)称为虚轴，平面本身称为复平面。
把复数几何地表示为平面上的点的思想是 高斯 于1799年在他的 学位论文 中简明陈述的，阿尔冈(Argand)于 1806 年也独立地提出，后来高斯创造了“复数”这个多少有点儿令人遗憾的词汇，也可以用别的方式对复数进行几何解释，如果不用平面上的点，也可以使用某种 曲面 上的点， 伯恩哈德·黎曼 (Riemann)就发现使用球面特别方便:从 北极 把球面上的点投影到南极处的切平面上，则这个切平面上的每一个点有球面上确定的点与之对应，除了 北极点 本身以外，球面上的每个点都恰好对应于这个切平面上的一个点。这种对应称为 球极平面投影 (见图 3-1)。
向量表示法
由向量的点表示法可得， 复数 与有序 实数 对 一一对应，因此对于平面上点给定直接 坐标系 ，复数 可以用坐标 对应的点来表示。在复平面上，从原点 到点 的向量 与点 也成一一对应关系（如图3-2）。
三角表示法
对于复数的 代数 性质 ，由于 ，其中 ,因此还可以表示为 ,这种形式称为复数 的三角形式。
指数表示法
利用 欧拉公式 ，又可以得到 ,称为 复数 的指数形式。特别要指出的是,由于 辐角 的多值性，复数 的三角形式或指数形式和辐角之间并非一一对应关系。通常若取 ,那么复数的模、辐角主值与复数成一一对应。即
复数的各种表示法之间可以相互转换，以适应讨论不同问题时的需要。
虚数单位
“ ”这个符号来源于法文imkginaire——“虚”的第一个字母，不是来源于英文imaginary number(或imaginary quautity)。虚数单位“ ”首先为 瑞士 数学家 长城欧拉 所创用 ，到德国 约翰·卡尔·弗里德里希·高斯 提倡才普遍使用 。虚数单位 定义为二次方程式中的 的两个解中的一个解，这个方程式又可等价表示为 ，所以推导可得虚数单位可以表示为 。
基本性质
i的性质
i的幂具有性质:
证明：
共轭复数
两个实部 相等 ，虚部互为 相反数 的两个 复数 和 互为共轭复数，即复数 ，它的共轭复数为 。显然对于 和 是关于实轴为对称的点，如下图5-1所示：
因此， ； 。
后一个等式应理解为：对于左边 的任一值，右边 必有一对应值，使等式成立。因为0的 相反数 仍旧是0，所以当一个 复数 是 实数 时，它的 共轭复数 就是它自己。于是有：当v为实数时，则 。反之，如果 ，则 ，所以 ，故为 实数。总之， 与 相等 的 充分必要条件 是 为实数。
共轭复数具有以下性质：
1.
证明：
设 ,
而
所以 。其余两个关系式类似可证明。
2.
证明：
设 ，则 ，显然 的 共轭复数 是 ，即 。
3.
证明：
设 ，则
即两个 共轭 复数 的乘积是 实数 ，它等于这两个相互共轭的复数的模的平方。
4.
这个性质可以改写成如下常用形式：
;
。
模和幅角
虚数是 复数 的一种，可以表示为 的形式，其中 和 是实数， 是 虚数单位 ，满足 。对于 复数 ，我们可以通过以下公式将其转换为模长（幅值）和幅角（相角）的形式：
模长：
幅角：
这里的 是反正切函数，用于计算角度。模长表示 复数 在复平面上的长度，而幅角表示复数 向量 与正实轴的夹角，夹角的方向是逆时针。
模
我们用 向量 表示 复数 ，其中 依次表示 沿 轴与 轴的分量。向量 的长度称为复数 的模或 绝对值 ，记为 或 ，即 。
关于复数的模，有一下关系：
其中公式(1.2)又称为三角 不等式 ，其几何意义是三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
幅角
设 为非零 复数 ，我们将实轴正向到 所表示的 向量 之间的夹角 称为复数 的幅角，记为 (见图 1.1)。
显然复数 的幅角 ,且任一非零复数 有无穷多个幅角，以 表示其中的一个特定值，并称满足条件 (1.3)的一个为 主值(或复数 的主幅角)，习惯上仍记为 。于是 (1.4)
如图 1.4、图1.5所示， 复数 的主幅角 与反正切 的主值 有如下关系:
。
欧拉公式
虚数可以用欧拉公式指出，对于任何 实数 x ，有： ，其中 是 自然对数 的底数， 是 虚数单位 ， 和 分别是 三角函数 余弦和 正弦 ；当 时，欧拉公式可重写为 或 ，后者也被称为欧拉恒等式。 这个公式说明了 复数 的三角形式和虚指数式之间的关系 。
在复数域中， 指数函数 和三角函数可以通过以下简单的等式联系起来。
其中 是 自然对数 的底， 是-1的平方根。
由该公式可以推出：
这两个式子也称为 欧拉公式 。
此外，令 ，可得 ，这个公式被称为 欧拉恒等式 。
同时，欧拉公式充分显示了虚数的旋转特征， 指数函数 能够使 虚数单位 产生连续的旋转变换，即欧拉公式所表现出的特征。在复平面上（如图5），当单位 实数 1乘以虚数单位 ，则1从实轴 正弦 至虚轴，但模长不变。若再用 作用一次，则再正弦 至实轴的-1，模长仍不变，若再次作用以 ，则旋转至虚轴 ，如此旋转可以周期不矣。可见虚数单位的作用是以 为单位的正向旋转变换。
基本运算
复数的加法
复数加法指复数和的运算，两个复数相加，实部是原来两个复数实部的和，虚部是原来两个虚部的和，即：
。
复数的加法满足 交换律 和 结合律 ，即对任何 ，有 ； 。
复数 可定义为一有序 实数 对 可解释为复平面中的点，习惯上用z表示复数 ,因而 ,两复数 和 的和 定义如下：
。
交换律 证明
如果 和 ,则由复数的加法可得：
故得证。
结合律 证明
如果 、 和 ,则由 复数 的加法可得：
故得证。
复数的减法
复数减法是复数 加法 的逆运算，两个复数相减将它们的实部相减作为差的实部，虚数系数相减作为差的虚部系数,即：
。
复数的乘法
虚数的乘法是复数的基本运算之一，指已知两复数求它们的积的运算。乘法法则指两个 代数 形式的复数相乘，可以按照 多项式 乘法法则进行，并将结果中的i²替换成-1，即：
复数的除法
复数的除法指复数乘法的逆运算,即已知两复数的积与其中一个非零复数,求另一个 复数 的运算.其运算法则是:
复数的乘方
复数的乘方( 功率 of complex numbers)复数的基本运算之一。指底为 复数 ,指数为整数的幂运算。对任一非零复数 ,它的乘方有以下三种情况：
特别的，当r=1时，则得到著名的 亚伯拉罕·棣莫弗 （De Moivre）公式：
复数 乘方运算的法则
复数的指数函数
指数函数 可以通过 幂级数 为每个复数 定义 其收敛半径无限大。指数函数在1 处的值为 欧拉 数 .如果z是 实数 ，则有 解析延拓 允许将这个等式扩展到z的每个 复数 值，从而将以e为底的复指数定义为 。 。
复数的平方根
的平方根是 ， 和 ，其中 是正负号函数。这可以通过平方看出 获得 。其中， 称为 的模，平方根符号表示实部非负的平方根，称为主平方根；还有 。
相关应用
电路分析
在电路分析中，引入 电阻 、 电容 、 电感 与频率有关的虚部可以方便地将电压、电流的关系用简单的线性 方程 表示并求解。借用了虚数，将电感、电容中的电抗成分计成欧姆单位；将电流和电压转换成 负数 ，使用 欧姆定律 、 戴维南定理 。
如图 7.1(a)所示,在关联参考方向下,电阻R中的电流 与电阻两端电压 的关系为
若
则
由上式可以得到 电阻 元件在 正弦 信号作用下的特性：在关联参考方向下, 与 是同频率、同 相位 的一对正弦变量, 相量 运算关系为 或 ,或 也可用有效值表示为 。所以 电阻 的 复数 模型为 ,如图 7.1(b)所示。
电容 组件的复数模型
如图 7.2(a)中电容电流 与电容两端电压 在关联参考方下关系应满足
若
则
式(7-1)述了 电容 的 正弦 特性。在关联参考方向下, 与 为同频率的正弦变量;在 相位 关系上, 超前 。其幅度间满足 (或 )的关系,图 7.3画出了 和 的 波形 关系。
表达电容正弦特性运算式(7-1)中的 复数 部分,即 。由此可得
可见, 电容 元件的复数模型为 ，如图 7.2(b)所。形式为 。
式（7-2）称为电容元件的复数 欧姆定律 它表明了 正弦 电路中 电容 元件的电压 相量 与电流相量的正比关系。比例系数 称为复数电容抗,简称复容抗记作 当 的单位为 , 的单位为 时, 的单位为 。 复数 容抗的模值 称为容抗。容抗的大小与 成比关系。当 时相当于直流信号，则容抗为 , 电容 呈现开路状态，也就是 电容 不能通过直流电流。当 时，电容相当于一条 短路 线。
电感 组件的复数模型
在图7.4所示的 电感元件 中，在关联参考方向下，电感中电流与电感两端电的关系为 。
在 正弦 情况下,若
则
(7-4)
式(7-4)的 复数 关系为
由此可得出 电感 元件的复数模型为 ,如图7.4(b)所示式(7-5)称为电感的复数 欧姆定律 ，其中 称为复数电感抗,简称复数感抗,记为 在 以 为单位, 以 为单位时，复数感抗也是以 为单位。复数感抗的模值为 ，称为感抗，而幅角称为感抗角，在关联参考方向下， 电感 电压超前电感中电流 。感抗和频率成正比。当 ,也就是直流状态时,感抗为零,相当于 电感 短路 。当 时,等效电感开路。
交流电 中的 复数 应用
我们日常用电的电源，有交流和直流两种。交流电是由 线圈 在磁场力匀速转动切割磁力线而产生的。 电学 告诉我们交流电的电流和电压都是随时间t的变化而变化着的，而它们的变化规律也是t的周期函数：
这里， 和 是电压和电流变化时所取的最大值， 是频率(物理意义是单位时周内线圈转动的角度) ， 是初相(表示线圈在 时和磁力线 相交 的角度)。跟引进复位移相类似，我们也引进复电压 和复电流 :
和 都是 向量 ，也都是 复数 。 这两个复数不是电压和电流的实际的数值(两个复数的虚数部分的系数才是它的真正的值)，而它的模数和幅角完全确定了电压和电流的大小和 相位 ，因而完全确定了电压和电流的变化规律。
信号分析
信号的 傅里叶变换 后的虚数部分可以理解为所有 奇函数 （ 正弦 函数）的成分，实部就代表所有的偶函数（ 余弦 函数）的成分。将任意函数的傅里叶变换之后，按偶函数成分和奇函数成分分成两个部分 。并且，利用傅里叶变换可以将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示： 。其中ω对应 角频率 ， 复数 包含了幅度和 相位 的信息 。
欧拉公式
欧拉公式 指出，对于任何 实数 y，
因此，函数 方程 意味着，如果x和y是实数，则有
这是 指数函数 分解为实部和虚部。
欧拉公式 在 高等数学 中具有广泛的应用，如高阶 导数 、积分计算、高阶线性常系数齐次 微分方程 的通解、 傅里叶级数 等，如下列举在 傅里叶级数 中欧拉公式的使用。
若函数 以 为周期，在 上连续或至多有有限个第一类间断点，且在 至多有有限个单调区间，则其傅里叶级数为 。其中傅里叶系数计算公式为 ;
这是 傅里叶级数 的 实数 形式，但在某些场合， 复数 形式的傅里叶级数更好用些，这就需要利用 欧拉公式 来进行转换了，因为 ;
所以有 ;
在式(7-6)中若以 代替 则有 ;
记 ,则可得到函数 的 傅里叶级数 有如下的 复数 形式
其中系数计算公式为 。
量子力学
量子力学中的虚数概念不可忽视，其作用不可或缺。量子力学的核心概念之一是 波函数 ，它可以表示为复数函数形式。它的模方表示粒子出现在某个位置的概率密度，而虚数部分则帮助描述粒子状态的相位信息、概率振幅以及物理系统的演化。复数域是量子力学数学公式所固有的，其中复希尔伯特空间为这样一种方便且可能是最标准的公式提供了背景。量子力学的原始基础公式—— 薛定谔方程 （Schrödinger equation，以复数形式描述了粒子的波动行为） 和 海森伯格 矩阵力学——使用了复数。量子力学波函数 由 曲率 的旋转与运动形成，是四元数（超复数的一种）复空间实坐标与复坐标的函数。复数可以在复数球上定义。以二维复平面为例，见图。
图中复平面：
（1）
（2）
（3）
若 复数 ,因 ，则 ， 是微观客体的 曲率 半径， 是微观客体的曲率。
复数 中，当 是北极奇点； 无定义。可以认为此时映射到复球外，成为实空间中的几何点。
而对应于微观客体，曲率半径（曲率）的演变是： ，是质点，正好与实空间中的几何点对应。复空间的 曲率 模型也演变成了实空间的质点模型。在复空间，当０＜ｒ≦ｒ ０ ，ｋ ０ ≦ｋ ＜∞时，对应微观客体０＜Ｒ ≦ Ｒ ０ ，Ｋ ０ ≦ｋ ＜∞，微观客体呈现为 物质波 ；而物质波映射到实空间将呈现点粒子的 概率分布 。双四维复时空采用的是“非点粒子”模型，曲率ｋ是呈现微观客体自身空间结构特征的基本要素，并可由此生成物质波。而原有的实时空、 相空间 采用的是“质点”模型；两个空间通过 ，微观客体的曲率Ｋ映射到四维实空间中就成为“质点”的 动量 Ｐ。动量ｐ是质点的运动属性， 波函数 纯粹是数学函数，相空间只是量子力学数学方法的新应用。本文的双四维复时空与原有的实时空不同，反映了 物质波 与概率波的本质区别。复数球内外映射的物理机制与意义还可理解为：从四维复时空非点模型映射到４维实时空，微观客体自身的四维Ｋ空间，通过 曲率 Ｋ→∞，紧致化为零维，成为四维实时空中的点粒子。微观客体自身的波动运动，也变成了微观客体的点粒子运动。
应用数学
在系统分析中，系统常常通过 拉普拉斯变换 从时域变换到频域，因此可以在复平面上分析系统的极点和零点。 相对论 中，将 时间变量 视为虚数的话便可简化一些狭义和 广义相对论 中的时空度量 (Metric) 方程 。虚数及其推广在复数动力系统的研究中得到了新应用，这一应用在碎形、混沌理论和复杂网络的研究中均有体现，碎形中，如曼德博集合（MandelbrotSet）和朱利亚集（Julia Set）作为复数平面的迭代映射，依赖于虚数的几何特性来描述复杂的动力学行为，它们建基于复平面上的点 。