随机积分，是对某些随机过程类适当定义的各种积分的总称。
简介
对某些随机过程类适当定义的各种积分的总称。它们在随机过程与随机微分方程的研究和应用中各有其重要的作用。
伊藤积分 这是对 布朗运动 定义的一种随机积分。布朗运动的样本函数虽然连续，但几乎所有的样本函数非有界变差，甚至处处不可微，因而无法按样本函数来定义通常的黎曼－斯蒂尔杰斯积分（简称 RS 积分）或 亨利·勒贝格 斯蒂尔杰斯积分（简称 LS 积分）。一般来说, RS 积分定义中的达布和不会以概率1收敛到一定的极限，但在适当的条件下，达布和的均方极限存在。 伊藤清 正是利用这一性质定义了对布朗运动的随机积分。设 是一族上升的子 σ 域， 布朗运动 是鞅。如果样本连续的有界随机过程 是适应的，那么当有限区间 R +的分割PI噬菌体共转导频率 的直径趋于零时，达布和 的均方极限存在，记作 ,它称为 φ 在区间 上对 W 的伊藤积分。值得注意的是，在达布和的构造中，被积过程在 上的取值点不是随意一点，而只能是它的左端点 。这是一个严格的限制。完全不加限制时其极限不存在，如作其他的限制，则可能得到另外的极限，从而定义出另外的积分，但最有用的是这种限制。伊藤积分最重要的性质是著名的伊藤公式：设 F 是二次连续可微的实函数，则这一公式及其各种推广在理论上和应用上都有重要的作用。例如，
可以用来证明关于 布朗运动 的鞅刻画的 莱维 定理 ：一个从零出发的样本连续过程 为布朗运动的充要条件，是 W 和 都为鞅。
对平方可积鞅的随机积分 使 的鞅 称为平方可积鞅，其中 x (∞)是当 时， x ( t )以概率1 收敛的极限。对一个平方可积鞅 x , - x 2是类( D )上鞅，因此根据上鞅分解定理, x 2可惟一地表成一致可积鞅 M 和可料增过程 A 之和, 。由此，对任何样本连续的有界适应过程 φ ，当［ α ， b )］的分割 的直径 δ ( )趋于零时，达布和 的均方极限存在，这个极限就称为 φ 在【 α , b )】上对 x 的随机积分 。这种积分也有相应的伊藤公式：对二次连续可微的函数 F ，
右边最后一项是按轨道的 LS 积分，可料增过程 A 的轨道是右连续增函数。这种随机积分还可以进一步推广到对局部鞅以至半鞅的积分。
斯特拉托诺维奇积分 在伊藤积分定义的达布和中，如果用在小区间 中点的被积过程值 φ (或者等价地，用在两个区间端点的过程值的算术平均 代替左端点的过程值 ，则均方极限也存在，但此极限与伊藤积分不相同，它定义了用斯特拉托诺维奇命名的另一种积分，记作 这种积分的一个优点是，对一个三次连续可微的函数 F ， ,它保持了普通微积分中牛顿-莱布尼茨公式的形式。
其他类型的随机积分 常见的还有均方随机积分和对正交增量过程的积分。对一个均方连续的随机过程 x ，即对一切 满足 的 x ，达布和 的均方极限存在，它定义了 x 在区间【 α , b )】上的均方随机积分，记作 其中 是【 α , b 】的分割，sk可在 上任取，均方极限是在 δ (墹)趋于零的条件下取的。设Z 是一个正交增量过程，即对一切 那么对任一［ α ， b ］上的连续函数 ƒ ，达布和 的均方极限定义了 ƒ 在［ α , b ］上对Z的积分，记作 。这种对正交增量过程积分的最重要的应用是宽平稳过程的谱表示（见平稳过程）。
随机微分方程 形如 的方程称为伊藤方程，其中 是一次连续可微的二元函数, W 是布朗运动,X是待求的半鞅。由于形式上还可以将方程改写为 这种微分表示，习惯上常称为(伊藤)随机微分方程。理论上对它已有很多研究，解的存在惟一性问题已经解决，并且有各种形式的推广，如用半鞅代替布朗运动等。但能把解明确表达出来的还只有少数简单的特例，如对 , ， ,方程 有惟一解 它是一个样本连续鞅。
此外，对于均值函数为零的实二阶过程 x (见随机过程),可定义其各阶均方导数。若 x 的协方差函数 二次连续可微，则差商 当 时的均方极限总存在，它定义了 x 的一阶均方导数 。一般地，若 Г(s, t )2 n 次连续可微，则 x 的 n 阶均方导数存在。联系着一个二阶过程 x 及其各阶均方导数之间的方程，如 等，称为均方随机微分方程。求解它，就是要找出满足该关系式的二阶过程 x 。例如 在初值 下的 惟一 解是 其中 α 是实常数，ξ为已知的随机变量， Y 为已知的均方连续随机过程，而积分是均方随机积分。
参考书目
J.L.Doob, Stochastic Processes ,John Wiley & Sons.New York, 1953.
严加安 编著：《 鞅与随机积分引论 》， 上海科学技术出版社 ，上海，1981。