直角三角形是一个几何图形，是有一个角为直角的三角形，有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种。其符合 勾股定理 ，具有一些特殊性质和判定方法。其固定边长比例结合三角函数（SohCahToa）可求解未知变量，并涉及等腰直角三角形分割正方形等几何场景。
图示
直角三角形如图所示：分为两种情况，有普通的直角三角形，还有等腰直角三角形（特殊情况)在直角三角形中，与直角相邻的两条边称为直角边，直角所对的边称为 斜边 。直角三角形直角所对的边也叫作“弦”。若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“勾”，长的那条边叫作“股”。
判定定理
等腰直角三角形是一种特殊的三角形
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：具有稳定性、 内角 和为180°。两直角边相等，两 锐角 为45°，斜边上中线、角平分线、垂线三线合一， 等腰直角三角形 斜边上的高为此三角形 外接圆 的半径R。
特殊性质
它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质 ：
1、 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图， （ 勾股定理 )
2、在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若
3、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。该性质称为直角三角形斜边中线定理。
4、直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。例如有些三角形的内角有一些简单的关系，例如45–45–90度三角形，这是各角有特殊关系的直角三角形。也有些直角三角形的各边有特殊关系，例如各边的比例可以用自然数表示，例如3:4:5，或是可以用黄金比例表示等。若在处理这些三角形时知道其特殊的边关系或角关系，可以快速计算一些几何问题而不需用到较复杂的公式。
5、如图，Rt△ABC中， ，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
（1） 。
（2） 。
（3） 。
射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。是数学图形计算的重要 定理 。
6、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
证明方法多种，下面采取较简单的几何证法。
先证明定理的前半部分，Rt△ABC中，
∵
∴ （直角三角形两锐角互余）
取AB中点D，连接CD，根据直角三角形斜边中线定理可知
∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的 等腰三角形 是等边三角形）
∴
再证明 定理 的后半部分，Rt△ABC中，
取AB中点D，连接CD,那么 （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
又∵
∴
∴
∴
7、如图，
在Rt△ABC中 ，AD是斜边上的高，则：
证明：
两边乘以2，再平方得
运用 勾股定理 ，再两边除以,最终化简即得
性质8 :直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
判定方法
判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：若，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30° 内角 所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个 锐角 互为 余角 （两角相加等于 90° ）的三角形是直角三角形。
判定5：若两直线 相交 且它们的 斜率 之积互为 负倒数 ，则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。
判定6：若在一个三角形中一边上的 中线等于其所在边的一半 ，那么这个三角形为直角三角形。参考直角三角形 斜边 中线定理
判定7：一个三角形 30°角 所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。
判定3和7的证明：
已知△ABC中， ，∠A，∠C对的边分别为a，c，且
证法1：
正弦定理 ，在△ABC中，有
将a与c的关系及∠A的度数代入之后化简得
又∵
∴
证法2
反证法 ，假设 ，过B作 于D
在Rt△ABD中,∵
∴ （30°的直角边等于 斜边 的一半）
又∵
∴
但BD是B到直线AC的垂线段，根据垂线段最短可知 ，从而出现矛盾。
（或从 得 ，那么△ ABC 中就有两个直角，这是不可能的事情）
∴假设不成立，
证法3
利用三角形的 外接圆 证明
作△ABC的外接圆，设圆心为O，连接OC,OB
∵ ，A在圆上
∴
∵
∴△ BOC 是 等边三角形 ,
又∵
∴AB是直径
∴ (直径所对的 圆周角 是直角)
基本简介
等腰直角三角形 的边角之间的关系：
（1） 三角形三 内角 和等于180°；
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；
（3）三角形的一外角大于任何一个和它不相邻的内角；
（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.
等腰直角三角形中的四条特殊的 线段 ：角平分线，中线，高， 中位线.
（1）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形 内切圆 的圆心，它到各边的距离 相等.
（三角形的 外接圆 圆心，即外心，是三角形三边的 垂直平分线 的交点，它到三个顶点的距离相等）.
（2）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边 中点 的距离的2倍。
（3）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
（4）三角形的 中位线 平行于第三边且等于第三边的二分之一。
（5）三角形的一条 内角 平分线与两条外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
注意：
①任意三角形的内心、重心都在三角形的内部 .
② 钝角三角形 垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。
（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为 斜边 中点 。）
④ 锐角 三角形垂心、外心在三角形内部。
⑤任意三角形的旁心一定在三角形的外部。
相关线段
中线 ：顶点与对边 中点 的连线，平分三角形。
角平分线 ：平分三角形一内角的线段。
高线 ：三角形中一顶点向对边作的垂线
勾股定理
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果三角形的三条边A，B，C满足 ;，还有变形公式： ，如：一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于 斜边 c的平方那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理） 由 毕达哥拉斯 在公元前550年提出。
应用举例
如图1，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的 中点
立柱为BC，DE垂直于横梁AC， ，求BC、DE要多长？
解：∵
又
∵点D是AB的 中点 ,
斜边公式
（一）已知两条直角边的长度，可按公式：计算斜边。
（二）如已知一条直角边和一个 锐角 ，可用直角 三角函数 计算斜边。
直角三角形ABC的六个元素中除直角C外，其余五个元素有如下关系：
例：角A等于30 ° ，角A的对边是4米，计算斜边C是多少？
查表
三角函数
三角函数值 除了查表，也可以用电脑系统自带的 计算器 ，计算。
开始——程序——附件——计算器。这个计算器有两种模式，点‘查看’有一个下拉菜单，有标准型和科学型，选择科学型，输入度数后 正弦 点sin， 余弦 点cos， 正切 点tan，值就直接显示出来了。
这里有一个度和度分秒转换的问题。如 18.69度，其中整数18就是18 ° ，那么 ，用 这里整数41就是41分，再
再用 这个24就是秒。
也可以用 计算器 直接转换：输入度数18.69——钩上Hyp——再点dms
就显示出18.4124，这就是18度41分24秒。
如要转换回去就输入18.4124——钩上Inv——再点dms,就转换了。
有一点请注意，显示度分秒时， 小数点 后面是一位数或三位数如：
15.3； 15.302，应读作15度30分；和15度30分20秒。
解直角三角形
含义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即3条边和2个 锐角 ，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
1.三条边的关系：
2.归纳
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：