稳定分布是一类无穷可分分布，称 随机变量 X的 概率分布 为稳定的，如果对于任意 实数 a₁>0，a₂>0，b₁和b₂，存在实数a>0和b，使其分布函数F(x)满足条件：F(a₁x+b₁)*F(a₂x+b₂)=F(ax+b)，其中“*”表示函数的卷积运算。直观上，如果同一类型分布的卷积分布仍为此种类型，则分布称做稳定的。稳定分布都是无穷可分分布，如退化分布、正态分布、柯西分布等。独立同分布随机变量和的极限分布是稳定分布，稳定分布都是某独立同分布随机变量和的极限分布。
稳定分布的定义
稳定分布有多种等价的定义方式，这里根据稳定性(Stability Property)、吸引域(Domain of Attraction)和特征函数(Characteristic 函数 )给出 稳定分布的三种定义。
稳定性定义
如果对于任意正数A和B，存在正数C和一个 实数 ，使得
成立，则称 随机变量 X是一个稳定分布。其中，随机变量 和 是 的独立样本：符号“ ”表示分布相同。如果X和-X具有相同的分布，则称稳定随机变量 为对称稳定的。如果当 时式(1)仍成立，则称 为严格稳定的。
此定义表明， 稳定随机变量的加法是封闭的，而且其概率密度函数的卷积也是封闭的。若 是相互独立的稳定随机变量，并且具有相同的 参数，则其线性组合 也服从稳定分布，并且具有相同的 参数。
定理 1 如果对任意稳定 随机变量 X，总均存在 数使得C满足
则称 为 稳定变量，其中 称为特征指数(Characteristic Exponent)或稳定系数(Indexof Stability)。
吸引域定义
如果随机变量 存在一个吸收域，即存在一个独立同分布的随机变量序列 以及序列 使得
则称 随机变量 X是一个稳定分布。此定义也称广义 中心极限定理 ，其中“ ”表示依分布收敛。特别地，如果 满足独立同分布且具有有限 方差 ，则高斯分布是其极限分布，式(3)便成为中心极限定理的原始表述。
特征函数定义
稳定分布并不存在统一、封闭的概率密度函数(Probability Density Function s，PDF)解析表达式，但它存在统一的特征函数(Characteristic Function，CF)。特征函数是表示 稳定分布最方便的方法，若 随机变量 X服从稳定分布规律，当且仅当其特征函数满足
式中： 为符号函数。可见， 稳定分布的特征函数完全由4个参数唯一确定。符合特征函数式(4)的4个参数称为标准参数系S，并记为 。
(1) 称为特征指数（Characteristic Exponent），它决定了稳定分布的概率密度函数拖尾厚度。它的值越小，分布的拖尾也就越厚，所以分布的冲击性越强，即偏离中值的样本个数越多：随着 值的不断增大，分布的拖尾将变浅，冲击强度降低，如图1和图2所示。特别说明， 稳定分布当 时退化为 高斯 ( Gauss )分布，当 并且 时为 奥古斯丁-路易·柯西 (Cauchy)分布，为此我们定义 为分数低阶 稳定分布，以区别于 的高斯分布。
(2) γ为尺度参数(Scale parameter)或分散系数(Dispersion)，它是关于分布样本偏离其均值的一种度量，其意义类似于高斯分布时的 方差 。实际上，在高斯分布情况下γ为方差的两倍。
(3) β为偏斜参数( 偏度 parameter)，它决定了分布的对称程度。当 时，该分布是对称的，通常称为对称α稳定(Symmetric α-Stable，SaS)分布。高斯分布和柯西分布都属于对称α稳定分布， 和好 分别对应分布的左偏和右偏。
(4) δ为位置参数(Location parameter)。考虑到特征函数与其概率密度函数互为 傅里叶变换 ，所以式4中的指数项 表征了概率密度函数在X轴的偏移。对于 分布而言，δ表示分布的均值 或中值 。当 且 时，则 稳定分布称为标准 稳定分布。
稳定分布的性质
α稳定分布具有以下基本性质：
性质1
若 和 均是独立的稳定 随机变量 ，那么其中
性质2
性质3
对于任意 ，有 。对于 ，称 是左偏斜的：对于
，称 是右偏斜的。当 和 时，分别对应完全左偏斜和完全右偏斜。
性质4
当且仅当 时， 关于δ对称的：当且仅当 且 时， 关于0对称。
性质5
若 ，并且 那么存在两个独立同分布的 随机变量 ，具有分布 使下式成立，即
性质6
当 并且γ取固定值时，如果 ，且有 则对于所有的x满足
性质7
若 ，且 则对任意 有
对于任意 有
这表明：当 时，分数低阶 稳定随机变肇没有有限的二阶矩，许多在 高斯 情况下有效的技术不能应用于这种场合，例如谱分析和最小二乘方法等；当 时，甚至没有有限的—阶矩，从而使数学期望的使用也受到影响。分数低阶统计量是用来研究 稳定分布的有力工具。