函数

函数（function）被定义为：设 是非空实数集，如果对于 中的每一个 ，按照某个对应法则 ，都有确定的 与之对应，则称 是定义在 上的 的函数 。函数的三要素是定义域、值域和对应法则，它们是函数概念的核心组成部分。函数可以通过解析法、列表法、图示法和语言叙述法四种基本方法进行表示，且其具有奇偶性、单调性、有界性、周期性、连续性、凹凸性等基本性质 。基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数 。函数的关系包括互为反函数与函数的复合 。

函数（function）的概念是在1673年由德国数学家 戈特弗里德·莱布尼茨 （Gottfried Wilhelm Leibniz）提出并开始使用的 。中文数学书上使用的“函数”一词是转译词，最早是中国 清代 数学家 李善兰 在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。他给出的翻译理由是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。1697年,约翰·伯努利（Johann I Bernoulli ）给出了函数的第一个定义:一个按照任何方式用变量和常量构成的量 。1734年， 瑞士 数学家 莱昂哈德·欧拉 （Leonhard Paul Euler）引入了函数符号“ ”，首次将函数作为明确而主要的内容,而不是将曲线作为主要的研究对象,促进了几何的算术化 ，但是当时的概念仍然比较模糊 。直到1837年，德国数学家 狄利克雷 (Dirichlet)才比较清楚地说明了函数的内涵。19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数的概念得以用更加严谨的语言来描述。

函数是数学和计算机科学中的重要概念之一，在许多不同领域都具有广泛的用途。函数已广泛运用于计算机编程与软件开发、物理学、生物学、数据分析与 统计学 以及 经济学 和金融学等领域 。

基本概念

映射

设 和 是两个集合，所谓集合 到集合 的一个映射是指一个法则，这个法则使 中每一个元素 都有 中唯一一个 与之对应。如果映射 使元素 与 对应，则记 , 称为 在映射 的像，而 称为 在映射 的原像。例如：若 是全体整数的集合， 是全体偶数的集合，定义 则这是 到 的映射 。

函数的定义

设 是非空实数集，如果对于 中的每一个 ，按照某个对应法则 ，都有确定的 与之对应，则称 是定义在 上的 的函数，记作 ， 称为函数的定义域， 称为自变量， 称为因变量。如果 是函数 的定义域中的一个值，则称函数 在点 有定义。函数在点 的对应值称为函数在该点的函数值，记作 或 .   当自变量 在定义域内取每一个数值时，对应的函数值的全体称为函数的 值域 ，记作 。

需要注意的是在函数 的表达式中， 表示函数关系，而 表示对应于 的函数值，两者是有区别的 。函数 的定义域 是自变量 的取值范围，而函数值 则是由函数关系 确定的，即只有当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，两个函数才是相同的。例如函数 与函数y= 的定义域不同，因而为两个不同的函数 。

历史沿革

早期发展

在欧洲16、17世纪的工业繁荣和日益普及的工业生产推动了技术科学和数学的发展，为数学提出了新的问题。函数就是在这个思维爆炸的时代中逐渐被数学家们所理解和提出的。 函数这一数学术语最早由 戈特弗里德·莱布尼茨 （Gottfried-Wilhelm Leibniz）提出 ，最初被用来表示幂，后来则称为随着曲线上的点变动而变动的量。然而，这些定义并不完全符合后来函数的定义，仅仅表达了随着曲线上的点的变动而变动的纵坐标、 切线 、 法线 等长度等。 约翰·白努利 （Johann I Bernoulli ）在1697年给出了函数的第一个定义：一个按照任何方式用变量和常量构成的量。在1698年，他采用了 戈特弗里德·莱布尼茨 的说法，称这个量为“ 的函数”，并表示为 。

1718年，约翰·伯努利（Johann I Bernoulli ）在 莱布尼兹 函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和 常数 的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量 和常量构成的式子都叫做 的函数，并强调函数要用公式来表示 。1748年， 莱昂哈德·欧拉 （Leonhard Paul Euler）在其《 无穷分析引论 》一书中把函数定义为：“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。1755年， 欧拉 （Leonhard Paul Euler）在《微分学原理》中给出函数另一个定义：如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也变化，则称前一些量是后一些量的函数。 1797年 约瑟夫·拉格朗日 （Joseph-Louis Lagrange）在他的《 解析函数论 》中把一元或多元函数定义为：自变量在其中可以按任意形式出现并对计算有用的表达式 。

函数概念的确立

1821年，柯西（Cauchy sequence）提出现在中学教材中常用的函数定义：如果在一些变量之间存在一定关系，给定其中一个变量的值，其他变量的值也可以确定，那么最初的变量是自变量，其他变量是函数。这个函数定义比以前的定义更广泛 。

1834年， 俄罗斯 数学家 尼古拉·罗巴切夫斯基 （Никола́й Ива́нович Лобаче́вский）提出函数的新定义： 的函数是这样一个数，它对于每一个 都有确定的值，并随着 的变化而变化。他认为，“函数值可以通过解析式或条件给出，条件提供了一种寻找所有对应值的方法。函数的这种依赖关系可能存在，但仍然是未知的。”这个定义强调了对应关系的必要性 。

后来， 德国 数学家 狄利克雷 (Dirichlet)拓宽了函数概念，指出：“如果在某个区间上，对于每个确定的 值， 都有一个确定的值，那么 叫做 的函数。”这个定义通过 与 之间的关系来确定函数自变量与变量之间的关系。这个表述成为传统函数定义的原型 。

函数概念的推广

在数学发展的18世纪末到19世纪后半叶，函数概念逐渐变得严密。到19世纪70年代， 格奥尔格·康托尔 （Georg Cantor）开创了 集合论 理论，对函数概念的定义产生了影响。20世纪初，维布伦（Oswald Veblen）提出了近代函数定义，打破了“变量是数”的限制。 豪斯道夫 （ Hausdorff space）在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数 。

1930年，现代函数概念被定义为：对于变量 的每个值都存在一个确定的值 与之对应，那么变量 就是变量 的函数。这个定义在 高中 课本中被广泛使用。我们现在拥有比较完善、严密的函数概念，这归功于历 代数 学家的研究和努力 。

函数的表示法

解析法

用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系，必要时还可以注明函数的定义域、 值域 ，这种表示函数的方法称为解析法。例如 , 等 。在许多自然学科中，常常采用解析法表示函数关系，因为解析法直接指出了对自变量施行什么样的运算（如算术运算、乘方、开方、取 对数 、取 三角函数 等等），以及按照怎样的次序运算就可以求对应的函数值 。需要注意，用解析表示法表示函数时,不一定只用一个解析式子表示，自变量在不同范围内变化时，可能需要采用几个式子表示函数 。解析法是函数的精确的描述，其优点是便于进行理论分析和研究，缺点是不直观，而且有些实际问题中的函数关系往往难以用解析法来表示 。

分段函数的解析式

列表表示法

将自变量的一系列的值和它所对应的函数值列成表格来表示函数的方法，称为函数的列表表示法。例如 三角函数 表、 对数表 、三角函数对数表等等，都是用列表法表示函数的例子。在物理学、 化学 以及各种实验科学中，也常把实验所得的（具有函数关系的变量的）数据列成表格，用以表示变量间的函数关系。列表表示法的优点是，由表中的自变量值可以不通过运算直接查出对应的函数值，特别是列表法可以用来表示还不知道解析式子的函数，这在许多 自然科学 中是最常用的。缺点是不完备，一般不能在表中把函数关系完全表达出来 。例如：某国1980-1985年人口估计数字如下表所示：

以上内容来源于 。

图示法

图示法是用某 坐标系 下的一条曲线反映自变量与因变量的对应关系的方法 。比如，气象台自动温度计记录了某地区的一昼夜气温的变化情况，这条曲线在直角坐标系下反映出来的就是一个函数关系 。图形表示法优点是，它把自变量与函数间的关系通过图形明显地表示出来。缺点是从图形上得到的自变量与函数的对应值不够准确，并且不能直接运用高等数学方法进行计算 。如果函数 是由解析法给出的，那么作图形时就要在直角 坐标系 中把自变量 的值作为点的横坐标，对应的函数值 作为点的纵坐标，由 、 所描出的点的全体组成的 几何图形 ，就是所给函数的图形 。

函数的性质

奇偶性

如果函数 的定义域 关于坐标原点对称（即若 ，则 ）,若对于任意的 都有 ，则称 为 偶函数 ；若对于任意的 ，都有 ,则称 为奇函数。偶函数图像关于 轴对称，奇函数的图像关于原点对称。例如： 、 在定义区间上都是偶函数；而 、 在定义区间上都是奇函数 。

单调性

设函数 在 内有定义，若对 内的任意两点 ，当 时，恒有 ,则称 在 内单调增加；若当 时，恒有 ,则称 在 内单调减少，区间 称为单调区间 。单调增加函数的图像是沿 轴正向上升的曲线，单调减少函数的图像是沿 轴正向下降的曲线，单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数 。例如 在区间 内是单调减少的，在区间 内是单调增加的 。

导数与导函数

设函数 在点 的某 邻域 内有定义，当自变量 在 处有增量 时，函数有相应的增量 ,如果极限 存在，则称此极限值为函数 在点 处的 导数 ，记作 , , 或 即 ,此时称函数 在点 处可导；若上述极限不存在，则称函数 在点 处不可导 。

若函数 在开区间 内每一点处都可导，则称函数 在开区间 内可导。对于区间 内的每一个 ,都有一个确定的 导数 值与之对应，这样就构成了 的一个新函数，这个新函数称为原来函数 的导函数，记为 , , 或 ,即 ,函数 在点 处的 导数 就是导函数 在点 的导数值 。

导数与单调性的关系

设函数 在 上连续，在 内可导 ，则：

（1）如果在 内， ,那么函数 在区间 上单调增加 。

（2）如果在 内， ,那么函数 在区间 上单调减少 。

有界性

设函数 在区间 上有定义，如果存在一个 正数 ，使得与任一 所对应的函数值 都满足 不等式 ,就称函数 在 内有界。若不存在这样的 ，就称 在 内无界 。例如函数 在 内有界，因为对于一切的 时，恒有 成立，这里的 =1 。

周期性

设函数 在 上有定义，若存在 常数 ,对于任意的 ,恒有 ,则称 是以 为周期的周期函数 。一个周期为 的周期函数，它的图像在定义域内每隔长度为 的相同区间上，都有相同的形状，若函数以某值为周期，则其正整数倍均为该函数的周期，因此周期函数必定有无数个周期，通常所说的周期函数的周期是指它们的最小正周期。例如三角函数 都是以 为周期的周期函数 。

连续性

极限

设函数 在 内有定义， 是常数。若对任意给定的 正数 （无论多小），总存在正数 ，使得对于适合 不等式 的一切 ,对应的函数值 都满足不等式 ,那么这个 常数 就叫做函数 当 时的极限，记作 或 。

定义

设函数 在点 的某个 邻域 内有定义，当自变量 在 处有增量 时，相应地函数有增量 ,如果 ,则称 在点 处连续 。例如函数 在点 处连续，因为 。

间断点

函数 在点 的某 邻域 内（至多除了点 本身）有定义，由函数 在点 连续的定义可知，如果函数 存在下列三种情形之一 ：

（1）在点 处没有定义，即 不存在；

（2） 不存在；

（3）虽然 和 都存在，但是 ,则 在点 处不连续，这时点 称为函数 的不连续点或间断点 。

间断点通常分为两类，即 第一类间断点 和 第二类间断点 。设 是函数 的间断点，但是在 处左右极限都存在，则点 为函数 的第一类间断点 。在第一类间断点中，左右极限不 相等 的称为跳跃间断点，左右极限相等的称为可去间断点。此外，凡不属于第一类间断点的都称为第二类间断点 。

基本初等函数

常数函数、 幂函数 、 指数函数 、 对数函数 、 三角函数 与 反三角函数 被统称为基本初等函数 。

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函数的关系

互为反函数

设函数 的定义域为 ， 值域 为 ，如果对于 中的每个数 ,在 中都有一个唯一确定的数 与之对应，且使得 成立，则确定了一个 上的以 为自变量， 为因变量的函数，称为 的反函数，记作 ,其定义域为 ， 值域 为 。通常习惯用 表示自变量， 表示因变量，因此往往将反函数中的 与 互换位置，记作 , 。并称 为 的常规 反函数 ，而称 为 直接反函数 。

在同一 坐标系 中，函数 与 表示变量 与 之间的同一关系，它们的图像是同一条曲线；函数 与其反函数 的图形关于直线 对称。需要注意的是，只有自变量与因变量一一对应的函数才有反函数 。

函数的复合

在同一个现象中，有时两个变量之间的联系并不是直接的，而是通过另一个变量间接取得联系，即由两个函数结合成为一个函数的情形。例如 , , 是 的函数， 是 的函数， 最终是 的函数 ,此时称 是由 ， 复合而来的复合函数 。

复合函数的一般定义为：设 , ;且函数 的 值域 的全部或部分包含在函数 的定义域内，则称 为由 与 复合而成的复合函数，其中 叫做中间变量 。

常用函数

隐函数

一般地，如果 和 的函数关系由 方程 所确定，那么称这种函数为 隐函数 。例如： , 等，而称形如 的函数为 显函数 。把一个隐函数化为显函数，叫做隐函数的显化。例如由 换化成为 。

多项式函数

将 作为自变量， 多项式 作为因变量，就得到一个从 到 的函数，称为n元多项式函数，简称多项式函数，当n=1时就是一元多项式函数，当n>1时就是多元多项式函数。多元多项式函数的和，差，积运算的结果就定义为相应的多元多项式函数作和，差，积运算所得到的多元多项式函数，而不把积运算看作是两个函数的复合函数 。

分段函数

在自变量的不同变化范围内，用不同的式子来表示其对应法则的函数成为分段函数，例如 ,符号函数 ，此外分段函数中较为常用的函数还有 绝对值 函数、脉冲函数和阶梯函数。

绝对值函数

绝对值函数，是指定义域是一切实数， 值域 是一切非负数的函数，例如 。在 计算机 语言或 计算器 中，绝对值函数常记作abs(x) 。绝对值函数是 偶函数 ，其图形关于y轴对称 。

脉冲函数

脉冲函数是 英国 物理学家 保罗·狄拉克 (Dirac)在20世纪20年代引入的，用于描述瞬间或空间几何点上的 物理量 。脉冲函数的定义是： ,其中 是很大的 正数 ， ,而 是很小的正数。这类函数出现在实际应用中，例如一个很大的力作用在一段很短的时间内 。

阶梯函数

单位阶梯函数的定义为

复变函数

定义

设 为复平面上的非空集合，若有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于 内的每一个 复数 ,都有确定的复数 与之对应，则称 复变数 为 的复变函数，记作 。其中 自变量， 为因变量，集合 称为 的定义域，与 中所有复数 对应的 值的集合 称为 的 值域 。集合 是 的 子集 。若对于 中的每个值 都有 中唯一确定的复数 与之对应，则称 为 单值函数 ；若 中的每个值 对应着 中的几个或无穷多个值，则称 为多值函数 。

几何表示

对一个复变函数来说，它反映了两对变量 和 之间的对应关系，因而无法借助同一个平面或同一个 三维空间 中的 几何图形 表示出来，复变函数中有4个变量，可通过四维空间来描述，但从直观上不易于理解，因此借助两个复平面来表示点集之间的对应关系。如下图所示：取两张复平面，分别为 平面和 平面，若以 平面上的点集 表示自变量 的取值范围，以 平面上的点集 表示函数值 的取值范围，则 确定了点集 和点集 之间的一个对应关系 。

在几何上，复变函数 直观地给出了从 平面上的点集 到 上的点集 的一个对应关系，也称为这两个复平面上的点集之间的对应关系为点集 到 的一个 映射 或变换。这个映射通常简称为由函数 所构成的映射。点集 中的点 通过 所对应的 中的点 称为 在映射下的象，而 称为 的原象 。

高斯函数

一维 高斯函数 定义为： ( ),指数中加入因子 是为了高斯函数曲线的中央高度具有最大值1，曲线下的面积等于 。

二维高斯函数定义为： (其中 )。如下图所示：函数曲线下的体积为ab，若a=b=1，则二维 高斯函数 可表示为 ;若用极坐标表示，则令 便有 。

补充：高斯函数是光滑函数，且其各阶 导数 都是连续的，高斯函数的 傅里叶变换 也是高斯函数 。

应用领域

计算机编程与软件开发

无论是面向对象的编程还是 过去式 程序设计 ，函数都是实现结构化编程的重要手段。通过函数的定义，可以实现功能的模块化和代码的重用 。对函数进行定义后，可以进行函数的调用。函数的调用是指在程序使用一个函数完成一些计算或者数据处理 。

物理学

函数在物理学中的运用十分广泛，包括 运动学 、力学、 电磁学 等都涉及到数学函数的应用 。例如，在物理学中，物体运动的速度和距离均可表示为时间的函数（即 和 ）以及 自由落体 现象可以被 二次函数 所描述（如自由落体位移公式 ）等 。

生物学

在 生物科学 的研究中，运用函数关系来表示生命现象及其生存环境的数量关系的规律方面已经有了大量的实例 。例如：一个母 细胞 分裂成2个子细胞后死亡，然后由子细胞再进行分裂。这种生命现象的繁殖，可用函数关系 表示，其中 表示开始时 细胞 群的大小，即细胞总数； 表示繁殖的代数， 表示 代数时的细胞总数 。

数据分析和统计学

在数据分析和 统计学 中，函数可用于描述数据之间的关系（如概率密度函数可描述随机变量的分布特征）、进行数据转换和计算统计指标。常见的统计函数包括均值、 方差 和相关系数等 。

均值

表示样本的测量数据集中地趋向某一个值，该值称为平均值，简称均值。均值是描述测量数据位置特征的值，可以用来衡量一定条件下的测量水平和概括地表现测量数据的集中情况。对有 个样本的测量值 ,其均值为： 。

方差

描述测量数据在中心位置（均值）上下波动的程度差异的值称为均方差，通常称为方差。方差表明样本的测量值是变量，既趋向于均值而又在一定范围内波动。对于均值为 个样本的测量值 ，其方差 的定义为： 。

经济学和金融学

在经济分析中，对于成本、价格、收益等经济量的关系研究十分重要，函数在经济学用于建立经济模型、分析市场趋势和计算财务指标等 。在经济学中常用的函数有 需求函数 、 供给函数 、 总成本函数 、总收益函数和利润函数等 。而在金融学领域，利率、股票价格、货币汇率等都可以用数学函数来描述和计算。例如某种股票的成交额 与该股票的成交量 、成交价 之间的关系可用函数 来表示 。

需求函数

商品的需求量 对价格 的函数，称为需求函数，记作 ，一般地，当商品价格增加时，商品的需求量将会减少，因此需求函数是单调递减函数 。

供给函数

商品的供给量 对价格 的函数，称为供给函数，记作 ，一般地，商品的价格越高，市场供给量越多。因此，供给函数是单调增加函数 。若市场上某商品的需求量刚好等于供给量，则称市场处于均衡状态，此时商品的价格称为均衡价格，商品的需求量（或者供给量）称为均衡商品量 。

总成本函数

设总成本为 ， 固定成本 为 ，可变成本为 ,平均成本为 ，产量为 ，则总成本函数为： ,平均成本函数为 。

总收益函数

设 表示总收益， 表示销售量, 表示商品的销售价格，则总收益为销售量与价格的乘积，总收益函数为 ;平均收益为总收益与销售量之比，平均收益函数为 。

总利润函数

设 为总利润， 为总收益， 为总成本， 为产量（或销售量），则总利润为总收益与总成本之差，总利润函数为 ,当总收益等于总成本时，即 时，此时的产量称为盈亏两平点或保本点 。