三角函数 的 反函数 称为反三角函数（Inverse trigonometric 函数 ），反三角函数是基本初等函数之一 。
根据反函数存在 定理 ，如果将三角函数限定在某个单调区间内，那么可以建立起它们各自的反函数，即反三角函数 。在复数域中，反三角函数可推广为复变函数；常见的反三角函数有反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）、反正切函数（arctan）、反余切函数（arccot） 、反正割函数（arcsec）、反余割函数（arccsc） ，这些函数具有一系列重要的数学性质与运算规则，包括负数关系、倒数关系等；反三角函数是超越函数 ，在实数域、 复数 域中有很多基本运算公式 。
反三角函数的历史可以追溯到古希腊时期。在古希腊，数学家们开始研究 三角函数 和角度的概念。然而，反三角函数并没有在这个时期被广泛研究和应用。直到17世纪， 伽利略·伽利莱 、 戈特弗里德·莱布尼茨 等人开始对三角函数进行深入研究 。在17世纪末至19世纪初的时期，著名的数学家 莱昂哈德·欧拉 、 约瑟夫·拉格朗日 和 高斯 等人也参与了进来。在这一时期，反三角函数的研究也与微积分和复变函数等数学分支产生了密切的联系 。从19世纪开始，随着复变函数论、泛函分析和数值计算等数学分支的兴起，反三角函数的性质和应用得到了更加深入和广泛的研究 。现在反三角函数被广泛应用于物理学领域、 计算机 编程与软件开发以及工程学领域，是一类重要的数学工具 。
定义
三角函数 、 、 、 都是周期函数，对于 值域 内的每个 值， 有无穷多个值与之对应。例如 正弦 函数 ，对于 , 有 无穷多个值与之对应。因此，三角函数 、 、 、 在它们各自的定义域内，并不存在 反函数 。但是根据反函数存在 定理 ，如果将这些 三角函数 限定在某个单调区间内，那么可以建立起它们各自的反函数，即 反三角函数 ，反三角函数是基本初等函数之一 。
反正弦函数
（1函数 在区间 内的反函数，叫做反正弦函数的主值，简称为反正弦，记作 ,习惯上写作 ；其中 , 。注意此处“-1”记法意为“逆”，可能与取“倒数”产生混淆，建议采用“arc”的记法以明确区分。
反余弦函数
函数 在区间 内的 反函数 ，叫做反余弦函数的主值，简称反余弦，记作 ,习惯上写作 ，其中 ， 。
反正切函数
函数 在区间 内的反函数，叫做反正切函数的主值，简称为反正切，记作 ,习惯上写作 ,其中 ， 。
反余切函数
函数 在区间 内的 反函数 称为反余切函数，简称反余切，记作 ,习惯上写作 ,其中 ， 。
反正割函数
函数 ,在区间 内的反函数称为反正割函数，简称为反正割，记作 ,其中 , 。
反余割函数
函数 ,在区间 内的 反函数 称为反余割函数，简称为反余割，记作 ,其中 , 。
历史沿革
古代至17世纪
反三角函数 的历史可以追溯到古希腊时期。在 古希腊 ，数学家们开始研究 三角函数 和角度的概念。在这个时期，人们已经开始使用 正弦 、 余弦 和 正切 等三角函数来解决实际问题。然而，反三角函数并没有在这个时期被广泛研究和应用。直到17世纪，反三角函数才开始得到更深入的研究。 伽利略·伽利莱 和 戈特弗里德·莱布尼茨 等数学家开始研究 反三角函数 的性质和应用。他们发现了反正弦、反余弦和反正切等函数的定义和性质，并开始将其应用于解决各种实际问题。这一时期标志着 反三角函数 开始成为独立的数学概念，并为后来的研究奠定了基础 。
17世纪至19世纪
在17世纪末至19世纪初的时期，著名的数学家 欧拉 、 约瑟夫·拉格朗日 和 高斯 等人开始深入研究反三角函数的性质和应用。他们提出了更多的反三角函数的性质和公式，并将其应用于解决更加复杂的数学和物理问题。在这一时期， 反三角函数 的研究也与微积分和复变函数等数学分支产生了密切的联系。数学家们开始研究反三角函数的 导数 和积分，从而为后来的 微积分学 的发展奠定了基础。同时， 反三角函数 也被广泛应用于解决物理学、工程学和 天文学 等领域的问题，成为了这些学科中不可或缺的数学工具 。
19世纪至今
从19世纪开始，随着数学和科学的发展，反三角函数的研究和应用继续得到了进一步的发展。在这一时期，随着复变函数论、 泛函分析 和数值计算等数学分支的兴起， 反三角函数 的性质和应用得到了更加深入和广泛的研究。同时，随着 计算机 技术的发展，反三角函数也被广泛应用于数值计算和科学工程计算中。数学家们提出了更多的数值计算方法和算法，以解决复杂的数学和工程问题。 反三角函数 也成为了这些数值计算方法和算法中不可或缺的一部分 。
基本概念
反函数
设函数 的定义域为 ， 值域 为 ，如果对于 中的每个数 ,在 中都有一个唯一确定的数 与之对应，且使得 成立，则确定了一个 上的以 为自变量， 为因变量的函数，称为 的 反函数 ，记作 ,其定义域为 ，值域为 。通常习惯用 表示自变量， 表示因变量，因此往往将反函数中的 与 互换位置，记作 , 。
三角函数
三角函数 （Trigonometric functions），又叫圆函数、角函数或测角函数 ，基本初等函数之一，三角函数建立在三角形的边和角之间关系的基础上，将 直角三角形 的 内角 和它的两边的比值相关联 。在 中， ，则 的定义如下表 ：
以上内容来源于 。
性质
基本性质
以上内容来源于 。
超越性
超越函数
设有二元 代数方程 ,其中 为正整数，系数 都是 的 多项式 ，且 ，若一个函数能够满足这个 方程 ，则这个函数叫做代数函数，非代数函数叫做超越函数 。
反三角函数的超越性
利用 反证法 可以证明：反三角函数为超越函数。由于反三角函数不满足 方程 ，故反三角函数为超越函数 。
证明 ：以 为超越函数证明为例，若 为代数函数，则 ,由 即 ，故有 ,即 ,由于 是 的 多项式 ，因此可变形为 ,其中 是 的多项式，即 满足 代数方程 为代数函数，该结论与 定理 三角函数 为超越函数矛盾，故 为超越函数，同理可证其他 反三角函数 为超越函数 。
基本运算
三角函数对反三角函数的运算
以上内容来源于 。
反三角函数间的关系
互余关系
（1）反正弦函数与反余弦函数的和恒为 ，即 ,其中 。
（2）反正切函数与反 余切 函数的和恒为 ，即 ,其中 。
（3）反正割函数与反余割函数的和恒为 ，即 ,其中 。
互表关系
以上内容来源于
反三角函数和差倍的运算
反正弦函数和差倍的运算
（1）
(2)
(3)
反余弦函数和差倍的运算
（1）
（2）
（3）
反正切函数和差倍的运算
（1）
(2)
(3)
微积分学运算
求导
（1）反 正弦 函数 的 导数 为 。
（2）反 余弦 函数 的导数为 。
（3）反正切函数 的导数为 。
(4)反 余切 函数 的导数为 。
（5）反正割函数 的 导数 为 。
（6）反余割函数 的导数为 。
求积分
分部积分公式
若 于 可导， 不定积分 存在，则 也存在，则
。
反三角函数的不定积分
利用 分部积分法 可以算出反三角函数的不定积分：
（1）反 正弦 函数的不定积分为 。
（2）反 余弦 函数的 不定积分 为 。
（3）反正切函数的不定积分为 。
（4）反 余切 函数的不定积分为 。
（5）反正割函数的不定积分为 。
（6）反正割函数的 不定积分 为 。
求级数
下面只给出反正弦函数、反正切函数、反余割函数的幂 级数 展开式，其余可由它们计算得出 。
（1）反正弦函数的幂级展开式为 ,其中 。
（2）反正切函数的幂级展开式为 ,其中 。
（3）反余割函数的幂级展开式为 。
推广
设 ,则称 为 的反正弦函数，记作 ,由于 ,可得 ,解之得 ,于是有 。
同理可得：（1）反余弦函数 ,
(2)反正切函数 ,其中 ,
(3)反余切函数 其中 ,
(4)反正割函数 ,
(5)反余割函数 。
应用领域
物理学领域
在描述波动、振动和 周期性 现象方面有广泛应用，如光学、 声学 和 天文学 等。在天文学中， 反三角函数 经常用于解决问题，特别是在测量和计算 天体 位置和运动方面。例如，当观测者知道天体的视向速度，但不知道其实际速度时，反正切函数可以用来计算出实际速度。同样地，当需要确定天体的角度或距离时，反正弦和反余弦函数也经常被用于计算 。
计算机编程与软件开发
反三角函数在 计算机科学 和 信息技术 具有广泛的应用，例如在在计算机图形学中，反三角函数被用于处理旋转、变换和动画等问题。在计算机图形学中，经常需要处理旋转变换，例如将对象围绕特定点或轴旋转。这时就会用到 反三角函数 ，特别是反正弦和反余弦函数，来计算旋转角度。此外，在 Flash 交互动画 编程中,使用较多的是 正弦曲线 函数、 余弦 函数和反正切函数。正弦函数或余弦函数主要用于往复的波动动画;正弦函数和余弦函数配合一起使用可以模拟圆和椭圆的运动轨迹;反正切函数多用于将弧度值转换为角度值以控制对象的旋转 。
工程学
反三角函数 被广泛用于解决控制系统、 信号处理 和 电路分析 等问题，同时也在工程设计和 建模 中扮演重要角色。在控制系统工程中， 反三角函数 经常用于处理角度和 相位 的计算。此外，在 机械工程 和航空航天领域中， 反三角函数 也被用于姿态控制和导航系统中，帮助确定物体的旋转角度和方向。通过反三角函数，工程师能够更好地理解和处理控制系统中的角度和相位问题，从而提高系统的性能和稳定性 。在工程测量，例如想要确定直线上的坐标 方位角 ，就需要采用反正切函数，如可利用反正切函数确定直线 的坐标方位角，即 。