分部积分法是 微积分学 中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由 导数 的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是通过交换被积表达式和积分变量，将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函数： 反三角函数 、 对数函数 、 幂函数 、 指数函数 、三角函数的积分。
公式推导
分部积分法 ：设 及 是两个关于x的函数，各自具有连续 导数 及 ，且 不定积分 存在，按照乘积函数求微分法则，则有 存在，且得 分部积分公式 如下
证明 ：由
或
对上式两边求 不定积分 ，即得 分部积分公式 ，也将其简写为
如果将dv和du用 微分形式 写出，则亦可得出
上两式就把 的积分转化为 的积分，即将复杂的被积函数简单化。
例如 ，要求 ，则依分部积分法则，令
如此
则按上述公式有
四种典型模式
一般地，从要求的积分式 中将 凑成dv是容易的，但通常有原则可依，也就是说不当的分部变换不仅不会使被积分式得到精简，而且可能会更麻烦。分部积分法最重要之处就在于准确地选取dv，因为一旦dv确定，则公式中右边第二项 中的du也随之确定，但为了使式子得到精简，如何选取dv则要依du的复杂程度决定，也就是说，选取的dv一定要使v du比之前的形式更简单或更有利于求得积分。依照经验，可以得到下面四种典型的模式。记忆模式口诀：反（函数）对（数函数）幂（函数）三（角函数）指（数函数）。
模式一
通过对 求 导数 后， 中的 比u更加简洁，而 与v的类型相似或复杂程度相当。
例如 ，对于形如 、 、 的 不定积分 （其中 为m次 多项式 ），由于对多项式求微分可以降次，且 三角函数 或指函数的积分则较容易求得，所以可以令 ，而将另一个函数看成 通过分部求得积分。
例如 求
首先，
对该式第二项再按此模式进行分部积分，得
故原式
模式二
通过对 求 导数 使得它的类型与 的类型相同或相近，然后将它们作为一个统一的函数来处理。例如对形如 ， ， ， ， 等的积分，总是令 ，则 则为一个 次的 多项式 ，另一个函数（ 等）看成 。通过分部积分，很容易求出 不定积分 。
例如 ，求
而该式第二项为
故原积分式
模式三
利用有些函数经一次或二次求 导数 后不变的性质，通过一次或二次分部积分后，使等式右端再次产生 ，只要它的系数不为1，就可以利用 解方程 的方法求出原积分 。
例如 ，对于积分 和
按法则对他们进行分部积分得
这样，所求积分均由另一个积分所表示出来，将这两式相加和相减（即解方程）得到所求积分表达式
以及
这两个通用表达式就可以求出该类型的所有积分式，比如
模式四
对某些形如 的 不定积分 ，利用分部积分可降低 的次数，求得递推公式，然后再次利用递推公式，求出 。
例如 ，对于积分
当 时，
当 时，
而该式的第二项又可变换为
将其带入上式，则得到
故
最后，得到统一的 递推关系式
定积分
与 不定积分 的分部积分法一样，可得
简写为
例如
示例
例1 ：
例2：
回代即可得到 的值。