多项式（英文：polynomial）是 代数 的基本研究对象之一。设P是一个 数域 ，x是一个文字，形式表达式a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0 称为系数在数域P上x的一元多项式，多元多项式是一元多项式的推广，是数域P上有限个n元 单项式 的和。
多项式论是 代数 学的一个古老分支，公元前3世纪 古希腊 数学家 欧几里得 （Euclid）所著《 几何原本 》一书有对代数方面的文字叙述。在中国的《 九章算术 》(成书不晚于公元1世纪）中，有记载并介绍一次 方程 组的解法，在 李冶 的《益古演段》和 秦九韶 的相关著作中，以可见到用 筹算 的方法来表示一个方程或 多项式 ，并在之后逐步地建立了多项式运算。 16世纪， 意大利 代数学家求得了三次和四次方程的相应求解公式。后来，越来越多的数学家参与到 方程 问题的研究中，如 勒内·笛卡尔 （Descartes）、 约瑟夫·拉格朗日 （Lagrange）和 尼尔斯·亨利克·阿贝尔 （Abel）等人，发展了许多有关多项式的 复杂理论 。
多项式与数一样，也可以进行相应的 四则运算 ，但多项式的除法与整除理论密切相关。 其他的运算包括求最大公因式以及 因式分解 ，分别应用了辗转相除法以及分解重因式法。 多项式在工程学、 计算机科学 和电信技术 等领域应用广泛，如在工程学领域，可应用多项式插值法是寻求 太阳 帆板展开关节运动的最优轨迹；在计算机科学中，多项式函数可用于优化 三角函数 的计算方法。
定义
一元多项式
定义： 设 是一个 数域 , 是一个文字，形式表达式 称为系数在数域 上 的一元多项式，或称数域 上的一元多项式，其中 是一个 自然数 , 是数域 中的数， 称为系数域或基域。在多项式中, 称为 次项, 称为常数项, 称为 次项的系数，常用 等表示 的多项式。
例如: 是 有理数 域上的多项式; 是 复数 域上的多项式。
多元多项式
多元 单项式 的定义： 设 是一个 数域 , 形如 的表达式，称为 上的一个 元单项式，式中 为 个文字, 为 自然数 。
多元多项式的定义： 一般地，数域 上有限个 元单项式的和 称为 上的一个 元多项式，亦称多元多项式, 元多项式常用 等来表示。
例如：三元四次多项式
简史
起源
多项式论是 代数 学的一个古老分支，早在公元前3世纪， 古希腊 数学家 欧几里得 （Euclid）所著《 几何原本 》一书中有对代数方面的文字叙述。在中国的《 九章算术 》(成书不晚于公元1世纪）中，有记载并介绍一次 方程 组的解法，后来在 李冶 的《益古演段》和 秦九韶 的相关著作中，介绍了用 筹算 的方法来表示一个方程或 多项式 ，并在之后逐步地建立了多项式的相关运算。
发展
16世纪， 意大利 代数学家求得了三次和四次方程的相应求解公式。后来，越来越多的数学家参与到 方程 问题的研究中，如 勒内·笛卡尔 （Descartes）、 约瑟夫·拉格朗日 （Lagrange）和 尼尔斯·亨利克·阿贝尔 （Abel）等人，发展了许多有关多项式的 复杂理论 。 多项式论以 数域 上一元多项式的 因式分解 理论为中心内容，讨论 复数 域、实数域和 有理数 域上的一元多项式以及多元多项式中的基础知识和基本理论，并借助多项式的性质来讨论 代数方程 的根的计算和分布，包括整除性理论、最大公因式、因式分解 定理 、重因式等内容。
四则运算
加法
设数域 上 元多项式 和 将多项式中对应的同类项的系数相加得到的 元多项式，称为 与 的加法，简记为
减法
同多项式的加法类似，若 是 数域 上的任意多项式，用 表示把 的每一个系数都变号后所得的多项式，数域 上的多项式 称为 上的多项式 与 的差，记为
乘法
设数域 上的两个 元多项式，把 的每一项分别与 的每一项相乘，再把乘积相加（合并同类项）得到一个 元多项式，称为 与 的乘积，记为
多元多项式的加法和乘法运算是一元多项式运算概念的推广，其加法和乘法运算满足 交换律 和 结合律 ；乘法对加法满足 分配律 。
除法
在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算——除法，并不是普遍可以做的。因此整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系。
整除
如果有数城 上的多项式 使等式 成立，那么称多项式 整除 记为 如果 不能整除 则记为
当 时, 就称为 的因式, 称为 的倍式。
带余除法
对于一元 多项式环 中任意两个多项式 与 其中 一定有 中的多项式 存在，使 成立，其中 的次数小于 或者 并且这样的 是唯一决定的。带余除法中所得的 通常称为 除 的商, 称为 除 的余式。
例如: 除 商式为 余式为
其他运算
求最大公因式
最大公因式的定义： 设多项式 如果多项式 满足：
1.
2. 与 的任一公因式都是 的因式，
则称 为 与 的最大公因式。
特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是
辗转相除法 亦称欧几里得 算法 ，是求多项式最大公因式的一种方法。
方法： 设 是 中不全为零的多项式，
因式分解
重因式的定义： 如果 数域 上的 不可约多项式 的 次幂 整除 且 不整除 则称 是 的一个 重因式，当 那么 不是 的因式；当 时, 称为 的重因式；当 时, 称为 的单因式。
分离重因式法： 设 是 的标准分解式，且其中不可约因式的最高重数
令 为 的一切 重因式之积，如果 中没有 重因式，那么令
于是由 的标准分解式得
再令
则
可得
按以上方法和步骤求出 的方法即为分离重因式法。
特殊多项式
不可约多项式
如果 数域 上次数大于零的多项式 不能表示成数域 上两个次数比它低的多项式的乘积，则称 是数域 上的不可约多项式。
本原多项式
如果非零的整系数多项式 的各项系数 的 最大公约数 为 (即 互质 )，则称 是一个本原多项式。
矩阵的多项式
设 是 数域 上的多项式, 是 上的 阶矩阵，
则 称为矩阵 的多项式。
设 与 是 上的两个多项式，令
则
若 是 中的数，则
因此， 数域 上矩阵 的多项式集合，对上述的加法、数乘与乘法构成一个 交换代数 。
相关定理
唯一分解定理
数域 上的每个次数大于零的多项式 都可以分解为数域 上的 不可约多项式 的乘积。若
式中 与 都是 数域 上的不可约多项式，则 并且适当调整 的次序后，可使 式中 是 中不为零的数。即如果不计次序与零次因式的差异，多项式 分解为不可约因式乘积的分解式是唯一的。
高斯引理
两个本原多项式的乘积还是本原多项式。由高斯引理可知，如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。
推广
环
定义： 在非空集合 中定义加法加法“ ”和乘法“ ”运算，使得 中任意元 适合条件：
则称 为结合环，简称环。
多项式环
一元多项式环
设 是有 单位元 的 交换环 , 是 上的未定元（或称 是变量）, 上一切多项式
的集合记为 规定 的加法是同次项的系数相加，乘法是分配相乘，即 其中
对多项式的加法和乘法构成一个环，称为环 上一元 多项式环 。
n元多项式环
数域 上的 元多项式组成的集合记作 连同所定义的加法与乘法构成一个环，它的零元素是零多项式，它有单位元素，即零次多项式 它是 交换环 ，称为数域 上的 元多项式环。
应用
电信技术
在数字签名方案中，有时为了验证一个签名的有效性需要耗费大量的时间。每一个批验证协议都包含签名收集协议和批验证原则两个部分。在签名产生过程中根据签名收集协议一次产生多个消息的签名；在签名验证过程中，签名验证者根据批验证原则一次验证多个签名的有效性。在设计批验证协议时，如果批验证协议不能很好地处理和判断有效的多个签名是否为有效的签名，就会出现安全漏洞。
基于多项式形式的RSA公钥体制，提出一种全新的批验证协议，它的安全性主要基于大整数的分解，有较高的安全性，且满足安全批验证协议的要求，能抵御针对批验证协议的多种伪造攻击，具有较高的理论和应用价值。
工程学
多项式的插值法是寻求在指定点取指定值的多项式问题的一种方法。
太阳能 是一种无法替代的能源，它能不断地为航天器提供能量，而太阳帆板则是重要的太阳能采集转化装置。当航天动器处在太空失重环境中时，系统为自由漂浮状态， 太阳 帆板的运动和其航天器之间存在运动 耦合 关系。通过建立航天器 太阳 帆板展开运动模型，运用高阶多项式 插值 方法逼近太阳帆板关节运动轨迹，将太阳帆板关节 耗散能作为目标函数，将插值多项式的系数作为优化参数，采用序列二次 规划法 优化求解关节运动轨迹曲线，进而求得航天器姿态角和太阳帆板关节轨线。与其他 最优控制 方法相比，基于高阶多项式插值方法的序列 二次规划 方法，具有收敛性好，计算效率高，边界搜索能力强等特点。
计算机科学
在虚拟现实的技术中，提高虚拟现实设备的真实感，要对自然景物进行比较真实的模拟。水作为自然景物的一部分，是增强虚拟环境中画面的真实感的重要元素之一。由于水的形态和光学特性比较复杂，渲染一个真实的水面效果并不容易。在对水进行实时模拟的场合中，一般使用基于构造的方法，以数学函数构造水波外形，通过改变时间参数来描述水的运动，将水面作为一个高度场，并借助 三角函数 对水的运动进行 建模 。但是，对于大型水面，特别是海面，有时会形成卷浪，高度场的方法不能很好地模拟水面，且三角函数的计算较复杂。
通过分析三角函数的泰勒展开式，应用多项式函数来优化三角函数的计算方法，可改善虚拟系统中水波模拟的实时性。多项式函数的水波模拟算法能够有效地减少计算量，并提高渲染 速率 。同时，通过引入多种控制 波形 参数，可实现水面波形的可控性，不仅能避免在波峰处形成环，还能较好地模拟卷浪效果。