乘法适合 交换律 的环。对交换环只有“理想”、“零化子”、“零因子”、“极小（大）条件”等定义，而不区分“左”“右”。无零因子的交换环叫做整环。数环与域F上的 多项式环 F【x】都是整环。整环不一定有单位元素，如偶数环。整环上的多项式环仍为整环。
正文
设 R 为有正则元的交换环。如果 S 是 R 中一些正则元作成的乘法封闭集合(即 S 中任二元素之积仍在 S 中)，那么 R 可扩张成一个有单位元素的交换环
叫做 R 关于 S 的分式环，使 S 的元素在 中恒有逆元素。特别地，当 S 为 R 中所有正则元作成的 子集 时（此时 S 自然地成为乘法封闭集合）,垪 就简称为 R 的分式环。又如果 R 是整环，那么 R 的分式环必为域，特称为 R 的分式域(或商域)。如整数环的分式域便是 有理数 域。
局部化 设 R 是一个有单位元素e的交换环。它一定含有极大理想。所谓极大理想，是指 R 的一个理想 N ,满足条件: ,且 N 与 R 之间不能再介入 R 的其他理想。 R 的一个理想 N 是极大理想，必要而且只要，剩余类环 是域。当 R 只含一个极大理想时，就称之为局部环；当 R 只含有限多个极大理想时，就称之为半局部环。设 P 是 R 的一个质理想, S 是 P 在 R 中的 补集 ，在 中视 与 为同一元素，必要而且只要，有 使 。于是可把 定义成一个交换环，特记为 ,并称为 R 在 P 处的局部化。它是局部环并以 为惟一的极大理想。如果对每个环 R 来说， R 具有某个性质，必要而且只要对 R 的每个质理想 P , R p恒具有该性质，那么环的该性质称为局部性质。若要检验某环 R 是否具有某个局部性质，则只要检验每个 R p即可。由于 R p比 R 的结构简单，因此由局部特性来掌握整体特性是一个有效的手段。
高斯环 若 R 中有 ,则 b 称为 α 的一个因子，自然，с也是 α 的一个因子。或者 α 称为 b 的倍元，也称为 b 整除 α ，记为 。显然单位元素e是任意元素的因子，零元素 θ 是任意元素的倍元。 R 中一个有逆元素的元素，也称为 R 中的一个单位。例如，单位元素e就是一个单位；在整数环中，1与－1是仅有的两个单位；在 多项式环 中，一个元素为单位，必要而且只要，它是零次多项式（即域 F 中的非零元素）。环 R 中两个非零元素 α 与 b 如果能互相整除，即 且 ，那么就说 α 与 b 相通。两个非零元素 α 与 b 是相通的，必要而且只要，有 R 中的单位δ使 。如果非零元素 ,且 b 与с均非单位，那么就说 b 是 α 的一个真因子（自然,с也是 α 的一个真因子）。如果非零元素 α 不是单位，且无真因子，那么就说 α 是一个不可约元素。如果非零元素 p 不是单位，且具有“当 时，必有 或 ”之性质，那么就说 p 是一个质元素。 R 中的质元素恒为不可约元素，但是反过来说就未必正确。例如在数环 中,2是不可约元素但非质元素，因有 ，而 。环 R 中的元素с若既是 α 的因子又是 b 的因子，则с称为 α 与 b 的一个公因子。如果 α 与 b 的一个公因子 d 具有“ α 与 b 的任意公因子恒为 d 的因子”之性质，那么就说 d 是 α 与 b 的一个最高公因子。一般说来，两个元素未必有最高公因子。例如在上述的环中,6与（ ）就没有最高公因子。所谓高斯环或惟一分解整环，是指有e的整环 R ,其中每个非单位 均可惟一地分解成一些质元素 p i的乘积。所谓惟一性，意即若 ，其中诸 p i与 qj 均为质元素，则必 ,且可排因子的次序使 p i与 q i相通 。有e的整环 R 是高斯环，必要而且只要满足下列条件①与②或①与③：
① R 中真因子的降链 必止于有限处，即从任意非零非单位 开始，若 有真因子 , 又有真因子 ，如此下去，到某步必得出一个不可约元素，设其为 ，于是真因子的降链 即到 为止。
② R 中的不可约元素恒为质元素。
③ R 中任意两个不全为零的元素恒有最高公因子。
若 R 为高斯环，则 R 【 x 】亦然。于是域 F 上的 多项式环 恒为 高斯 环。如果有e的整环 R 的理想恒为主理想(即由一个元素生成的理想),那么就说 R 是一个主理想环。有e的整环 R 是一个主理想环，必要而且只要满足上述条件①与如下的条件④: R 中任意不全为零的 α 、 b 恒有一个形式上为 的最高公因子。因此，主理想环恒为高斯环，但是反之则未必然。设 R 为有e的整环。如果对 R 中每个非零元 α ，恒有 自然数 ‖ α ‖与之相应，并对 R 中任意 ，恒有 使 ，且 或者 ，那么就说 R 是一个欧氏环。欧氏环恒为主理想环，但是反之则未必然。整数环 I 为欧氏环，从而为主理想环，但是 多项式环 I 【 x 】仅为高斯环，而非主理想环。
诺特环 一个交换环 R 的所有幂零元素构成 R 的一个理想 K ，称为 R 的克德根或幂零根。如果一个交换环除幂零元素外，不再含其他的零因子，便称为准整环。整环显然为准整环。设 R 是一个交换环。 R 的一个理想 P 为素理想，必要而且只要 为整环； R 的一个理想 Q 叫做准素理想，如果 为准整环; R 的一个理想 A 叫做可分解的，如果有 R 的理想 B 、 C ，使 ，否则便说 A 是不可分解的； R 的素理想恒为不可分解的；当 R 为诺特环（即其理想满足极大条件）时, R 的不可分解的理想恒为准素理想， R 的克德根必为幂零理想；当 R 为准整环时, R 的克德根必为素理想。设 Q 为交换环 R 的任意一个准素理想，于是垪 为准整环，其克德根噖为素理想，从而 为整环。由 R ～垪，及垪～ 易知, R ～ ，设此同态映射之核为 P ,则由 知, P 为 R 的一个含 Q
的素理想，它是由 Q 所惟一确定的，叫做与 Q 相伴的素理想，而 Q 则叫做属于 P 的一个准素理想。属于同一个素理想 P 的两个准素理想的交仍为属于 P 的一个准素理想。由此便可引出 艾米·诺特 环中著名的交的惟一分解 定理 ：在诺特环中，每个理想 A 均可分解为有限个准素理想 的交，使与诸 Q i相伴的素理想 P i是彼此不同的，即此交不能够缩短，记为 又若 A 再分解为诸准素理想 Q 壟的不能够缩短的交 ,则必有 ，且可排诸 Q 壟的次序使与 Q 壟相伴的素理想恰为 P i( )。关于诺特环还有希尔伯特定理：如果 R 是有e的诺特环，则多项式环 R 【 x 】亦然。
（A.）E. 诺特 于1921年引进一般的满足极大条件的交换环而研究其理想论，这是由于 代数几何 的发展而需要研究 多项式环 的理想理论，后者的主要问题是判断一个多项式 ƒ 是否属于一个给定的理想 。此判断方法是通过把理想分解成准素分支而实现的。
维数 设 是环 R 中的素理想链, s 称为此链的长度, R 中所有的素理想链的长度的最大值（可能是无限）叫做 R 的维数，记为dim R 。当 R 为 诺特 局部环以M为其惟一极大理想时，对每个属于M的准素理想 Q ，以δ( Q )表生成 Q 的最少元数，再以δ( R )表诸δ( Q )中的最小值，则有 。又若M恰可由δ( R )个元素生成，则称 R 为正则 诺特 局部环。
戴德金环 设 R 为有e的整环, F 为其分式域，而且 (即 R 非域)。 F 的一个 子集 X 如果满足:① X 是 F 作为加法群的一个子群；②当 时，有 (即 RX X );③有 使 βX 嶅 R ，则说 X 是 R 的一个分式理想。环 R 的理想显然均为 R 的分式理想，也可叫做 R 的整理想。 F 中的一个元素δ如果是 R 上首项系数为e(一般不写出来)的 多项式 的根，则说δ是 R 上的一个整元素。如果在 F 中， R 上的整元素恒在 R 中，则说 R 是整闭的，如同 R 的两个整理想 A 、 B 可以相乘而得积 AB 仍为 R 的整理想一样，可以定义 R 的任意两个分式理想 X 与 Y 的乘法，而且积 XY 仍为 R 的一个分式理想。易知此乘法适合 交换律 与 结合律 ，又 R 自己作为一个整理想（自然也是 R 的一个分式理想）与 R 的任何分式理想 X 相乘时，由于 R 有e，就恒有 ，故 R 的全部分式理想在乘法下构成一个有单位元素的交换半群，特别，其中所有非零分式理想又构成一个有单位元素的交换子半群。如果这个子半群还是一个子群，就说 R 容许理想理论。有e的整环 R 如果满足下列条件就叫做一个戴德金环: R 的每个非零理想 A 恒可表为 R 的一些素理想 P i的乘积, ,且除诸 P i的次序外，此表法是惟一的。
戴德金环的主要 定理 有两个。其一，有e的整环 R 为戴德金环，必要而且只要 R 满足下列三组等价条件之一：① R 容许理想理论。②对 R 的非零(整)理想 A 、 B 只要 A 嶅 B 就有（整）理想 C 使 ;每个非零真（整）理想恒可惟一地表为有限个极大（整）理想之积。③ R 为诺特环； R 是整闭的； R 的非零素理想恒为极大理想。
其二，设 R 为有e的整环， F 为其分式域, E 为 F 的有限扩张（见域）， Ω 为 E 中所有在 R 上为整的元素作成的环。如果 R 为戴德金环，则 Ω 亦然。例如整数环 R 就是一个戴德金环。若 E 是 有理数 域 F （即 R 的分式域）的一个有限扩张域，则 E 是一个 代数数域 ，其中所有代数整数就组成一个环 Ω ，由于 R 是戴德金环，故 Ω 也是戴德金环。事实上。戴德金环的发生和发展就与代数数论有关，而且是从其中抽象出来的。
交换环是 交换代数 的主要研究对象。