代数几何

代数几何（英文名：Algebraic Geometry）是现代数学的一个学科分支。它融合了抽象代数与几何学的方法，主要研究n维仿射空间或n维射影空间中多项式方程组的解，核心研究对象是代数簇。

对代数簇的研究可以追溯到两千年前，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）使用综合几何方法详细研究了圆锥曲线，奠定了代数几何的早期基础。到了17世纪，法国数学家勒内·笛卡尔（René Descartes）通过解析几何方法研究任意代数曲线方程，极大地推动了代数几何的发展。 19世纪，德国数学家伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）提出了内蕴的“黎曼面”的概念和黎曼面上代数函数的理论，随后，法国数学家庞加莱（Henri Poincaré）首创了代数拓扑的同调理论。

20世纪初期，代数几何理论在抽象域上得到了建立，德国数学家赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）和荷兰数学家范·德·瓦尔登（Bartel van der Waerden）分别在各自的著作《黎曼面的概念》和《代数学》中给出了黎曼面以及相交理论中最基本的代数簇相交重数的严格定义，而法国数学家格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）与迪厄多内（Jean Dieudonné）在1960-1967年合作完成的《代数几何原理》将经典的代数簇理论推广成概形理论，为学科建立了牢固的逻辑基础。到了20世纪后半叶，复数域上的代数几何经历了超越方法的重大进展，瑞士数学家德拉姆（G.W. de Rham）的解析上同调理论使得代数几何的研究可以应用偏微分方程、微分几何、拓扑学等理论。

代数几何分支包括算术几何、实代数几何和计算代数几何。该学科涵盖的基本理论有联立多项式方程、代数簇、多项式函数、正则映射、有理映射以及射影簇等。此外，代数几何的理论与成果在其他领域中具有广泛的应用价值，如在工程学中，运用代数几何可以将非凸优化问题转化为线性矩阵不等式，便于求解。

学科简介

代数几何是将抽象代数，尤其是交换代数和同调代数同几何学结合起来的现代数学分支。它在数论、复几何、K理论、表示论以及理论物理等方面有着重要的应用。

代数几何是一门研究维仿射空间或维射影空间中多项式方程组解的学科，其核心研究对象是代数簇。这些簇是由方程解的集合构成的几何结构，它们在数学的不同分支中扮演着关键角色。代数几何中的主要挑战之一是分类问题，即通过同构关系对所有代数簇进行系统分类。这个问题可以进一步细分为几个子问题：首先是双有理等价分类，涉及将代数簇基于其函数域的同构性质进行分类。进一步地，从双有理等价类中筛选出特定子集（例如，所有非奇异的射影簇），并对这些子集进行详细分类。此外，还需要探究非射影簇需要增加哪些结构才能转化为射影簇，以及如何研究簇的奇点结构并分解它们，以便得到光滑的代数簇。

简史

萌芽与起源

对代数簇的研究可以追溯到古希腊时期，两千年前的古希腊数学家对直线、圆、圆锥曲线、三次曲线等代数曲线，以及平面、球面、柱面和二次曲面等代数曲面进行了深入研究，这些都是由一个多项式确定的代数簇。古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在没有直角坐标系的情况下，使用综合几何方法详细研究了圆锥曲线，发现了许多性质。

到了17世纪，法国数学家们通过解析几何方法研究任意代数曲线方程，极大地推动了代数几何的发展。笛卡尔（René Descartes）用解析几何讨论任意次数的代数曲线或曲面，将所有几何问题转化为代数问题。费马（Pierre de Fermat）证明了所有非退化圆锥曲线都是圆锥曲线。英国数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）对三次平面曲线进行了分类，而瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）则分类了所有的二次曲面。基于此，法国数学家贝祖（Étienne Bézout）证明了代数几何中相交理论的重要起点贝祖定理，而法国数学家德萨格（Gérard Desargues）则通过研究画家的透视方法引入了射影对应和无穷远点的概念，将普通欧几里得平面和空间扩展为射影平面和射影空间。

研究与归纳

到19世纪上半叶，射影几何理论正式登场，一些关于复代数曲线与复代数簇的代数几何定理初步形成。以法国数学家彭赛列（Jean-Victor Poncelet）为代表的一批数学家建立了射影几何的系统理论，总结和整理了大量射影几何命题与方法，特别是射影变换的理论。德国数学家黎曼（Bernhard Riemann）在研究阿贝尔积分理论的过程中，提出了内蕴的“黎曼面”的概念和黎曼面上代数函数的理论。黎曼首次发现了“亏格”这一现代几何的基本概念，并提出了代数几何中最基本的双有理变换的思想。此后，黎曼和他的学生罗赫（Gustav Roch）一起发现了著名的黎曼—罗赫定理。 1854年，黎曼在演讲中给出了高维黎曼流形的初步概念，并推算出了黎曼曲率张量。此外，黎曼在研究数论时提出的著名“黎曼猜想”，后来也成为推动代数几何发展的强大动力。

代数数论的研究也是推动代数几何理论发展的重要来源。为了研究代数数域，19世纪的德国数学家戴德金（Richard Dedekind）和克罗内克（Leopold Kronecker）等引入了域、环和数域等基本概念。同时，以艾米·诺特（Max Noether）和克莱布什（Alfred Clebsch）为代表的“几何学派”继续从经典射影几何的角度研究复代数曲线，发现了平面曲线奇点解消的“胀开”方法。从19世纪末期开始，代数几何的发展进入了一个新的历史阶段，法国数学家庞加莱（Henri Poincaré）首创了代数拓扑的同调理论。美国数学家莱夫谢茨（Solomon Lefschetz）在20世纪初期进一步利用这一同调理论研究复代数曲面的拓扑性质，取得了一系列研究成果。而一般代数几何的系统结构是在19世纪末与20世纪前苏联数学家纽推尔（M. Hëtep）及其他许多学者的著作中给出的。

繁荣与发展

在代数几何中采用了拓扑及近代代数方法是20世纪代数几何的重大进步。在前苏联的学者中，捷波塔廖夫（H. P. Чeбorapëв）及彼特罗夫斯基（И. P. Пeтровckh）在代数几何中得到了重要成就。而对于代数曲面理论的研究，"意大利学派"做出了重要贡献。这个学派的主要代表人物有卡斯泰尔诺沃（Guido Castelnuovo）、恩里克斯（Federigo Enriques）和塞韦里（Francesco Severi）。他们在20世纪初期综合运用包括分析与拓扑方法在内的各种方法，创造了复代数曲面的一个非常深刻的理论，包括代数曲面的奇点解消、除子与线性系的经典理论、代数曲面的伯恩哈德·黎曼 —罗赫定理的初步形式以及代数曲面的模空间等。

在20世纪初期，随着抽象代数方法的引入，代数几何理论在抽象域上得到了建立，包括群、环、域和模等理论。群论主要来源于19世纪的伽罗瓦理论，而环与理想的概念则来自于德国数学家戴德金（Richard Dedekind）的代数数论，而克罗内克（Leopold Kronecker）从代数数论中抽象了出一般的环与理想的概念。德国数学家戴维·希尔伯特（David Hilbert）的博士拉斯克（Emanuel Lasker）发现了理想与代数簇之间的一些基本联系，例如不可约仿射代数簇所对应的“坐标环”一定是整环，而不可约仿射代数簇的几何维数实际上等于这个整环的商域在复数域上的超越次数。1913年，德国数学家赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）在研究菲利克斯·克莱因（Felix Klein）的黎曼面著作的基础上，写出了《黎曼面的概念》这本重要的著作，首次给出了黎曼面的现代严格定义，并系统整理了黎曼面的解析理论。

20世纪30年代，德国数学家克鲁尔（Wolfgang Krull）进一步建立了更多关于环的理想论，包括环的局部化概念、整闭环的性质、赋值理论和克鲁尔维数等内容。德国数学家艾米·诺特（Emmy Noether）对建立抽象代数学的基本理论框架起了主要作用。她将戴德金代数数域的理想分解理论推广到一般的环上，得到了许多基本定理，特别是诺特环等在代数几何中最常用的概念和理论。荷兰数学家范·德·瓦尔登（Bartel van der Waerden）在他的著名教材《代数学》中系统总结了诺特和埃米尔·阿廷（Emil Artin）的环论以及其他抽象代数的理论。他在1930年代用抽象代数的方法解释了代数几何学家们直观笼统的“一般点”和“特殊化”的真正含义，并给出了在相交理论中最基本的代数簇相交重数的严格定义。范德瓦尔登的学生和主要合作者华裔数学家周炜良（Wei-Liang Chow）参与了代数几何基础的重建工作。他证明了代数簇上闭链的有理等价性定理，从而定义了一种重要的环——周环（Chow 圆环），这是相交理论中的一个基础术语。

20世纪40年代，美籍华裔数学家陈省身（Shiing-Shen Chern）继承了法国数学家埃里·嘉当（Élie Cartan）的纤维丛思想，在1946年用复流形的纤维丛上的外微分形式确定了复流形的上同调群的元素——陈（示性）类。法国数学家昂利·嘉当（Henri Cartan）在研究多复变函数论时，发现法国数学家勒雷（Jean Leray）的层论非常有用，并用其表示复代数几何的不变量。他进一步给出了环层空间的定义，将简单的空间粘贴在一起，并与美国数学家艾伦伯格（Samuel Eilenberg）一起创立了同调代数基本理论体系，证明了同调代数中的许多定理。

完善与推广

20世纪50年代，法国数学家皮埃尔·塞尔（Jean-Pierre Serre）在允许有奇点的斯坦复流形上引入了凝聚层的概念，并发展了凝聚层的上同调理论。他为代数几何构思了“塞尔簇”，吸收了埃里·嘉当的环层空间概念。法国数学家安德烈·韦伊（André Weil）在1950年发现纤维丛理论可以用于代数几何中。韦伊的研究动机主要来源于数论，他提出并证明了有限域上代数曲线的黎曼猜想，并在1948年提出了高维代数簇上与黎曼猜想类似的“韦伊猜想”。法国数学家格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）在1957年左右，受到法国数学家卡蒂埃（Pierre Cartier）建议的启发，开始用交换环的全体素理想的集合作为对应的“几何对象”，即素谱，这一想法成为格罗滕迪克重建代数几何基础的出发点。格罗滕迪克在1960-1967年间与法国数学家迪厄多内（Jean Dieudonné）合作完成了《代数几何基础》（EGA）8卷，将经典的代数簇理论推广成概形理论，为代数几何建立了一个牢固的逻辑基础。

20世纪后半叶，代数几何的研究取得了巨大进步，促进了现代数学的大发展。比利时数学家皮埃尔·德利涅（Pierre Deligne）证明了数论中的安德烈·韦伊猜想，日本数学家广中平佑在1964年证明了基域k的特征为0时的奇点解消定理，解决了任意维数代数簇的奇点解消问题，美国数学家刘易斯·芒福德（David Mumford）建立了一般模空间的理论，德国数学家法尔廷斯（Gerd Faltings）证明了数论中的莫德尔猜想，日本数学家森重文完成了三维代数簇分类，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）证明了数论中著名的费马大定理，越南和法国籍数学家吴宝珠证明了朗兰兹纲领中的基本引理。同时，复数域上的代数几何也经历了超越方法的重大进展。例如，瑞士数学家德拉姆（G.W. de Rham）的解析上同调理论使得代数几何的研究可以应用偏微分方程、微分几何、拓扑学等理论。

代数几何分支

算术几何

简介：算术几何，亦称算术代数几何，是代数几何的一个分支，最初是指从法尔廷斯（G. Faltings）和奎林（D.G. Quillen）关于算术曲面上黎曼—罗赫定理的研究开始的一系列工作。现在，算术几何通常指所有以数论为背景或目的的代数几何。在算术几何中，许多学科起着重要作用并相互交叉和渗透，包括数论、模形式、表示论、代数几何、代数数论、李群、多复变函数论、伯恩哈德·黎曼面和K理论等。因此，它是一门典型的边缘学科。

研究成果：安德烈·韦伊通过研究有限域上的代数簇提出了韦伊猜想，设有个整系数代数方程，试求未知数使得都能被一个固定的素数所整除，皮埃尔·德利涅证明了韦伊猜想，奠定了算术几何的基础；塞尔将层论应用到代数几何中，启发了法国数学家亚历山大·格罗滕迪克（Alexandre Grothendieck）引入概型和拓扑斯等概念，并发展了多种上同调理论，包括motive理论，构建了现代代数几何的基本框架；朗兰兹纲领将数论、算术几何和调和分析统一起来；安德鲁·怀尔斯解决了谷山–志村– 安德烈·韦伊猜想，并在英国数学家泰勒（Richard Taylor）的协助下证明了费马大定理。

实代数几何

简介：实代数几何是一门以半代数集为研究对象的学科。在理论方面，实代数几何与其他数学学科有着紧密的联系，包括奇异性理论、交换代数、分析代数、代数拓扑、二次型和模型论等。这些学科的发展推动了实代数几何理论的研究。

研究成果：实代数几何主要研究多项式方程在实闭域上的零点结构。由于实闭域的复杂性，实代数几何的研究进展较慢。然而，近年来由于高科技问题（如机器人和计算机视觉）的出现，实代数几何逐渐受到重视，尤其是构造性实代数几何。波兰裔美国数学家塔斯基（Alfred Tarski）发现的量词消去法和美国数学家柯林斯（George E. Collins）发现的CAD方法为实闭域判定提供了有效工具；中国数学家吴文俊发现的吴方法解决了全局优化问题；在不等式自动证明方面，CAD方法和吴零点分解定理提高了证明效率；而BOTTEMA程序在几何不等式证明中表现优异。

计算代数几何

简介：计算代数几何是随着计算机的出现而兴起的一个数学分支。计算机为处理复杂计算提供了有效的方法，同时也带来了构造数学的复兴。计算代数几何的基本问题是多项式方程组的求解，这在数学的其他方向以及科学技术中的许多理论和实际问题中有广泛的应用。

研究成果：随着科技的发展和计算机代数系统的出现，计算机能够代替人类有效处理繁杂的计算和进行复杂的符号演算。对于固定维数的问题，一些多项式时间算法表明问题的难度与维数呈指数相关。澳大利亚计算机科学家坎尼（John F. Canny）发现了在空间维度上的单一指数时间算法，推动了路径规划问题的研究；在求解非线性多项式方程组的方面，德国数学家契尔恩毫斯（Ehrenfried Walther von Tschirnhaus）发现的变元替换法辅以计算机工具解出了一般系数的五次代数方程的代数解。

基本理论

联立多项式方程

本质来讲，代数几何研究的是多项式方程组的解，其中，而系数在某个环（例如）或域（例如）中。

考虑整系数多项式

。

首先涉及的是在什么范围内求的解的问题：整数解、有理数解、实数解还是复数解，甚至在一些更复杂的域中的解。在整数环中它是无解的。这实际上是数论问题，即求丢番图方程的解（只需对此方程，并注意，即知其无整数解）；而在实数域中它有无穷多个解：如果将看成欧氏平面，这是一条三次光滑曲线（即每点有切线，或说无满足的点。另外，的判别式，故有一个实根和一对共轭复根。利用微积分的知识，可以画出的曲线）；如果在复数域中，则由伯恩哈德·黎曼面理论得知它是一条椭圆曲线，当将紧化为黎曼球面时它同胚于一个环面。

代数簇

定义：代数几何的研究对象是代数曲线和代数簇，而要研究代数簇就需研究多项式理想，因此多项式的理想这一问题十分关键。一个代数簇是（或）中满足多项式方程组的点集。也就是，一个代数簇为多项式集合的全部公共零点解的集合。这就要提到希尔伯特基定理。

希尔伯特零点定理：如果簇在中或在任意的代数闭域的中，那么。希尔伯特零点定理确定了多项式环的理想和仿射空间子集之间的基本对应。因此，运用零点定理及其相关结果，就可以运用代数的概念来阐释簇的几何概念，亦可用几何概念来解读环论中的若干问题。这种联系在代数几何中至关重要，是代数闭域上的簇和它所确定的最大理想（即根理想）之间的一一对应。在这种情况下，素理想对应着不可约簇。

多项式函数

设是代数闭域，，是中的非空代数集，则是中的根式理想，且。对于每个，定义映射

，

叫作的一个多项式函数。若，则和作为的多项式函数相等对于每个，。也就是说，的一个多项式函数相当于商环中的一个元素。商环称为代数集的（仿射）坐标环，或多项式函数环，记作。由于是诺特环，也是诺特环。

正则映射

代数函数：如果一个全局解析函数的所有函数元素在内满足关系，其中为不恒等于零的多项式，则称为代数函数。

正则函数：在代数几何中与流形相对应的概念是代数簇，取代连续、可微、解析函数的是正则函数。粗略地讲，正则函数是能够在适当的坐标下表示成一个分式函数的函数。

正则映射：设是中的一个不可约代数集，是中的一个不可约代数集。设是一个连续映射。如果对的任意一个非空开子集以及上任意一个正则函数，上的函数总是正则函数，那么就叫做从到的一个正则映射。

设是两个仿射簇间的态射，它诱导出环同态

，

因此是从仿射簇范畴到有限生成整区范畴的一个反变函子。给出仿射簇范畴到有限生成整区范畴的等价。整个代数几何的基础在于代数集合多项式环中的理想的良好的对应关系，要是基域不是代数闭的则没有这些好的对应关系，原因是希尔伯特零点定理对非代数闭域不再成立。

有理映射

有理映射：设和都是代数簇，下述二元组的等价类称为一个有理映射，这里的是的非空开子集，是一个态射，与等价，当且仅当和在上相重合。当是仿射直线时，从到的有理映射就是代数簇上的有理函数。上述开子集的并集称为有理映射的定义域。

仿射簇性质：设是一个同态。由于代数簇和它的任何一个非空开子簇双有理等价，可以设和都是仿射簇，分别以和为坐标环。于是和分别是和的分式域。设，则对，有。令，则。同态

诱导了从的一个主开集到的一个态射，它决定了从到的一个几乎满的有理映射。在的像恰好是。所以是满射。

若是同构，则是双有理映射，因此和双有理等价。这表明是单射。

奇点分解问题：代数曲面的奇点能够被分解，准确地说，代数曲面的奇点分解是指存在一个光滑代数曲面及全纯映射，使得：

(a) 为逆紧。

(b) 为双全纯同胚。

对任一个有奇点的代数面，总存在一个分解，使得是一个极小曲面，它称为的极小模型并且在双全纯同胚下唯一。

射影簇

代数簇的许多性质（包括双有理等价性和所有拓扑性质）都取决于“无穷远处”的行为，因此在射影空间中研究簇是很自然的。此外，射影方法的引入使代数几何中的许多定理变得更简单、更清晰：例如，使用代数几何的方法可以证明帕斯卡定理，其中用到了贝祖定理。

射影空间：代数簇的许多性质表明将仿射空间扩展为几何上更完整的射影空间。一维射影空间称为射影直线，它就是直线添上一个无穷远点。二维射影空间称为射影平面，它就是平面添上一条无穷远直线。维射影空间是最简单的紧的、单连通、不可定向流形（为偶数时不可定向，奇数时可定向），也是最简单的代数簇。它可以用若干个开集覆盖住，每个开集恰是维仿射空间。当时，维射影空间也称为高维射影空间，用表示。

射影代数集：假设在的局部坐标下，曲线由定义，并且是一个奇点。这时从局部看，再也不是一个复流形了，它是一个射影代数集。维射影空间可以看做一个点集，这个点集的点与维向量空间的非零向量构成一一对应（在齐次坐标的意义下）。设不全为零的有序数组表示中向量的坐标，则称为中的点的齐次射影坐标，记为。在中取个点，其中是线性无关的，并且与中任意个点也是线性无关的，则称这个点的全体为一个射影标架，或称为中的一个射影坐标系，记为或简记为。称为表架的顶点，称为单位点。建立了射影坐标系后，可以用解析法研究射影几何。

射影簇：若一个代数簇又是射影、拟射影、仿射或正常概形，则把这个代数簇相应地称为射影、拟射影、仿射、完备（代数）簇。射影簇必定是完备簇，反之则不然。根据永田定理，对任意的代数簇，必存在一个完备簇，使得是开浸入。在射影簇上，唯一的正则函数是常数。

应用

工程学

在工程学中，特别是控制理论和系统设计领域，代数几何的应用主要集中在实数代数几何上，尤其体现在自由代数和非交换不等式的处理上。在实际工程问题中，经常会遇到涉及矩阵的不等式，如控制系统的稳定性和性能优化问题。这些矩阵不等式在直接数值计算中可能表现不佳，因此工程师们采用非交换代数的方法，将这些问题转化为更容易处理的形式。例如许多工程问题初始表现为非凸优化问题，通过代数几何的方法，这些问题可以转化为线性矩阵不等式，从而变成凸优化问题，便于求解。此外，代数几何的应用也延伸到了自由代数中的非交换半代数几何，特别是非交换正定性定理和对具有特定曲率情形的分类中。

密码学

代数几何在密码学中的应用主要体现在基于纠错码的公钥密码体制的构建上，特别是通过代数几何码的发展和应用。1978年，麦克利斯（McEliece）首次提出了一种基于纠错码的公钥密码体制，该体制利用了Goppa码的快速译码算法以及一般线性码译码问题的NP完全性。代数几何码（简称代几码）是一种拥有超越Gilbert-Varshamov界的信息率和较强的纠错能力的密码，它的译码速度或复杂度大约是，较容易实现。此外，代几码比RS码在许多参数范围上更有效，它们在码参数的选取上更具有灵活性。

物理学

代数几何在光学怪波中的应用主要集中于非线性光学现象的研究。由于光在非线性材料中的传播受广义非线性薛定谔方程（NLS方程）的调控，代数几何约化法是经典的可积系统求解方法之一。该方法依赖于构造Baker解析函数和谱分析，可以通过取极限步骤得到高阶怪波解。法国数学家卡拉（Caroline Kalla）基于代数几何恒等式——Fay恒等式提出了一种新方法，能够构造分量NLS方程的代数几何解，并通过约化得到孤子解、呼吸子和暗孤子解，该方法也是目前已知方法中用于求解分量NLS方程弧子解的最好方法。