二次型（quadratic form ），也称为“二次形式”， 数域 P上的n元二次 齐次多项式 称为数域P上的n元二次型。
二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对 圆锥曲线 和 二次曲面 的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有 主轴 方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。 法国 数学家柯西（Augustin-Louis Cauchy）在其著作中给出结论：当方程是标准形时，二次曲面用二次项的符号来进行分类，然而，那时并不太清楚，在化简成标准形时，为何总是得到同样数目的正项和负项，英国数学家 西尔维斯特 （James Joseph Sylvester）回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的 惯性 定律，但没有证明，这个定律后被 德国 数学家 卡尔·雅可比 （Carl Gustav Jacob Jacobi）重新发现和证明。1801年，德国 约翰·卡尔·弗里德里希·高斯 （Gauss）在《 算术研究 》 中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。二次型化简的进一步研究涉及二次型和 行列式 的特征方程等概念。
二次型与矩阵的概念密切相关，二次型矩阵是 对称矩阵 。 从几何意义上说，它的图形为 圆锥曲线 或 二次曲面 。 二次型具有标准型以及规范型的特殊形式， 可通过一些方法将普通二次型化为这两种形式，如 配方法 、 正交变换 法 以及初等变换法 。二次型在现实世界中应用广泛，如在 经济学 中，二次型可以用于解决最大经济效用问题 ；在物理学中，二次型可应用于处理满足二重构型的量子 萨特延德拉·玻色 模型的 哈密顿 量精确对角化问题 。
定义
,
称为 数域 上 元二次型，简称二次型。
当 为 复数 域时，称 为复二次型；当 为 实数 域时，则称 为实二次型。
历史
起源
二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对 圆锥曲线 和 二次曲面 的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有 主轴 方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。 柯西 （Augustin-Louis Cauchy）在其著作中给出结论：当方程是标准形时，二次曲面用二次项的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成标准形时，为何总是得到同样数目的正项和负项， 西尔维斯特 （James Joseph Sylvester）回答了这个问题，他给出了 个变数的二次型的 牛顿第一运动定律 ，但没有证明，这个定律后被 卡尔·雅可比 （Carl Gustav Jacob Jacobi）重新发现和证明。1801年，高斯出版了《算术研究》，从而开创了现代 数论 研究的新纪元，书中出现了二次型理论的首次证明。 二次型化简的进一步研究涉及二次型或 行列式 的特征方程的概念，特征方程的概念隐含地出现在 欧拉 （Leonhard Euler）的著作中， 约瑟夫·拉格朗日 （Joseph-Louis Lagrange）在其关于线性 导数 方程组的著作中首先明确地给出了这个概念，而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特（Hachette,Jean一Nicolas Pierre）、 加斯帕尔·蒙日 （Gaspard Monge）和泊松（Simeon- Denis 西莫恩·泊松 ）建立的。
改进
奥古斯丁-路易·柯西 （Augustin-Louis Cauchy）在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特征 方程 在直角 坐标系 的任何变换下不变性。后来，他又证明了 个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。后在1851年， 西尔维斯特 （James Joseph Sylvester）在研究 圆锥曲线 和 二次曲面 的切触和 相交 时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的分类方法中他引进了初等因子和 不变因子 的概念，但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完 全集 ”这一结论。1858年， 卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔施特拉斯 （Karl Weierstraß）对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法，并证明，如果二次型之一是 正定县 的，那么即使某些特征根 相等 ，这个化简也是可能的。 卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔施特拉斯 比较系统地完成了二次型的理论并将其推广到双线性型。
相关概念
矩阵
由 个数排成 行、 列的一张表称为一个 矩阵，其中的每一个数称为这个矩阵的一个元素，第 行与第 列交叉位置的元素称为 元。矩阵通常用大写英文字母 简单地表示。一个 矩阵可以简单地记作 ，它的 元记作 。如果矩阵 的 元是 ，可以把矩阵 记作 。
矩阵合同
设 , 为两个 阶方阵，如果存在 阶可逆矩阵 ，使得 ，则称矩阵 合同于矩阵 ，或称 与 合同，记为 。
矩阵的合同关系是一种 等价关系 ，它具有如下基本性质：
（1）自反性：对任意方阵 ，有 。
（2）对称性：若 ，则 。
（3）传递性：若 ， ，则 。
二次型的矩阵：系数在 数域 中的 个变量 的一个二次 齐次多项式 ，称为数域 上的一个 元二次型，它的一般形式是：
(1)，
上式还可以写成
(2)，
其中 。
把(2)式中的系数排成一个 级矩阵 （注意 ）：
把 称为二次型 的矩阵，它是 对称矩阵 。
关于二次型与矩阵的合同，可以得出这样的结论： 数域 上任一对称矩阵都合同于一个 对角矩阵 ，即二次型矩阵合同于对角矩阵。
几何意义
实数域上
二次型的 几何图形 是 圆锥曲线 或 二次曲面 ，例如二元函数 的图形在 三维空间 中观看（即 ），其典型的图形是椭圆抛物面或双曲抛物面（双曲抛物面俗称马鞍面），如下图所示。
多元的二次型图形是超二次曲线或 曲面 ，这也是二次型的几何意义，不过这是解析意义而不是 向量 意义，它们是向量末端集合的图形。
复数域上
二次型的几何意义是 向量 的长度的平方，即向量在不同 坐标系 下长度的平方。
形式
标准形
只含平方项的二次型，如， 称为二次型的标准形。 二次型的标准形的矩阵 。
规范形
形如 的二次型称为二次型的规范形。 二次型的规范形的矩阵 ，从而二次型的规范形的秩 。正平方项的个数 称为二次型的正 惯性 指数，相应的负平方项的个数 称为负惯性指数。
相关定理
（1）任何一个实 对称矩阵 都合同于 对角矩阵 ，即存在可逆矩阵 ，使得 ，从而任何一个二次型 都可用可逆的线性变换 化为标准形。
（2）任给二次型 ，其中 是实 对称矩阵 ，一定有 正交变换 ，使 ，其中， 是 的 个特征值，而 的列 向量 就是对应于 的两两 正交 的单位特征 向量 。
（3） 惯性 定理 ：实二次型 经过可逆的线性变换化为标准形时，所含正平方项的项数和负平方项的项数是唯一确定的，它们的和等于矩阵 的秩。
（4）任何实二次型 总可以经过适当的可逆的线性变换化为规范形，且规范形是唯一的，从而任何实 对称矩阵 必合同于如下形式的 对角矩阵 ： 。
相关计算
化二次型为标准形
化二次型为标准形的方法方法很多，但主要的方法就有三种： 正交变换 法、 配方法 、初等变换法，这三种方法各有特点，每一个二次型化标准形，三种方法都可以应用，但是由于其系数的不同，所以不同的二次型化标准形就要选取较为简单合适的方法。
正交变换法
对于一个实 对称矩阵 ，可以利用求得的 正交矩阵 ，构造变换将二次型 化成标准形，这种方法称为正交变换法，该方法仅对实二次型成立。
利用正交变换法化二次型为标准形的具体步骤为：
（1）将二次型表示成矩阵表达形式 ，求出矩阵 ；
（2）求出 的所有特征值 ；
（3）求出对应于特征值的线性无关的特征 向量 ；
（4）将特征向量 正交化 ，单位化， 得 ，记 ；
（5）作 正交变换 ，则得二次型的标准形。
例 ：设二次型为 ，求一个正交变换 ，将该二次型化为标准形。
解 ：二次型的矩阵为 ，
其 特征多项式 为
，
所以 的特征值 。
当 时，解 方程 ，得基础解系 ；
当 时，解方程 ，可得 正交 的基础解系
， ， ，
单位化得 ， ， ， 。
于是所求 正交变换 为 ，
在此变换下原二次型化为标准形 。
配方法
含有平方项的二次型利用配方法化标准形的一般步骤是：若二次型中含有 平方项，则把含有所有 项集中，然后配方，再对其余的变量进行同样的过程直到所有的变量都配成平方为止，经过非退化线性替换就得到标准形。
例 ：用配方法化二次型 为标准形。
解 ：由于 中含变量 的平方项，所以先将含有 的项归并起来，配方可得
，
再将含有 的各项归并在一起，继续配方得
，
令 ，解得
所用可逆线性变换
把原二次型化为标准形 。
对于不含平方项的二次型，首先必须构造出平方项，而这个过程不是简单的加减，而是先做非退化线性替换 化二次型为含平方项的二次型，然后按含平方项的方法配方。
初等变换法
初等变换法的关键词是初等变换，非退化线性变换为 ，则就要有 ， 是可逆矩阵，一定等于有限个初等阵的乘积，所以 每进行一次列的初等变换就要进行同样的行的初等变换，直到把 变换成对角阵 。而此时对同阶 单位矩阵 作与 同样的列变换而不作行变换， ，这样就直接得到标准形的系数矩阵 以及非退化线性变换的系数矩阵 。
例 ：用矩阵的初等变换法把下述二次型化成标准形： 。
解 ： 的矩阵是 ，对其进行初等变换过程如下：
，
因此 ， 。
令 ，得 。
化二次型为规范形
配方法
任一 元实二次型 都可以通过非退化线性替换 化为 ，此标准形称为实二次型的规范形，且 ，规范形是唯一的，即 唯一。
例 ：化 为规范形。
解 ：由于 中不含平方项，含有 乘积项，所以令 ，
代入可得 ，再配方，得 ，
令 ，解得 ，
所以 化为规范形： 。
二次型的求导
设 ， 是以向量 为自变量的数量函数，即为 元函数，则规定数量函数 对于向量 的 偏导数 为： ，
显然，若还有向量 的数量函数 ，则下列导数法成立：
，
。
作为特例：
（2） 时，函数 对 的导数为 。
例 ：设 为常量矩阵， 。证明数量函数 对于向量 的 偏导数 为 。
证明 ：因为 ，由 得
。
正定二次型
定义
设实二次型 ，如果对于任何 ，都有 ，则称该二次型为正定二次型，矩阵 称为正（负）定矩阵。
充要条件
（1） 的正 惯性 指数 等于 ；
（2） 的所有特征值都为 正数 ；
（4） 的各阶顺序主子式均大于 。
性质
（1）若 为正定矩阵，则 ， ， ， ( 为大于 的 常数 )， （ 为整数）亦为正定矩阵。
（2）若 均为正定矩阵，则 为正定矩阵。
推广
H二次型
设 ，若 ，则称 为 阵，简称为 阵，记为 。若 为 阵，则称共轭对称的二次齐式为 二次型。
性质
（1） 阵必酉相似于一实对角阵。
（2） 阵的特征值全为实数。
（3） 阵相异特征值对应的特征向量必 正交 。
（4）方阵 酉相似于对角阵充分条件为 是正规阵。
（5）任一 二次型 ，其中 ，必存在可逆阵 ，使经 ， 化为标准形： ，其中系数 全为实数。
（6）设 为 阶 阵，则下列命题等价： 是正定阵；与 共轭合同的是正定阵； 的正 惯性 指数为 ； 的特征值全大于零； ,其中 为正定阵； ,其中 为可逆阵，即 共轭合同于单位阵。
（7）对秩为 的矩阵 ，必存在 阶与 阶的酉阵 与 使 ，其中 ，而 为 的非零特征值。
应用
数学
利用转轴公式 可把二次有心曲线方程化为只含有平方项的标准形式 ，从平方项的标准形式，我们很容易判断曲线的类型，进而可以研究曲线的性质。
经济学
在 经济学 中，二次型可以用于解决最大经济效用问题，通过适当的数学方法和技巧，能够帮助决策者更好地分配资源。 在一些特定集合内寻找变量 的值，使得二次型 取得最大值或最小值，这样，资金使用的优化问题就可以化为以 单位向量 为变量的优化问题。
物理学
如果用系数矩阵来表示一个普通二次型，不难发现该系数矩阵一定是一个 对称矩阵 ，而且任何一个二次型表达 式只有唯一一个对称矩阵与之对应用该对称的系数矩阵进行 正交变换 ，就可以得到矩阵的 特征值和特征向量 ，再利用标准二次型的运算步骤就可以将其化为标准二次型。以往的研究表明，诸多量子模型都可以表示为 一般形式的二阶多元哈密顿量，且其相应的系数矩阵也具有对称性。因此，二次型的标准化过程可以为量子模型的对角化过程提供一定的借鉴意义。