对称矩阵（英文：Symmetric Matrices）简称对称阵，是指 数域 中满足矩阵A与其转置矩阵A'相等的n阶方阵。对称矩阵可分为实对称矩阵和 反对称矩阵 等。
代数 在 欧几里得 （希腊文：Ευκλειδης）的《 几何原本 》中便已基本形成。而矩阵和 行列式 都起源于 线性方程组 ，此后又独立出来独自发展。矩阵一词由 英国 数学家 西尔维斯特 （英文：Sylveter）在1850年首先提出，该词源于拉丁语，意为“一排数”。此后，矩阵理论得到迅速发展，英国数学家凯莱（英文：Cayley A.）定义了对称阵、转置阵等概念。之后克莱伯施（ 德语 ：Clebsch）、布克海姆（德文：Buchheim）等证明了对称矩阵的特征根性质。
对称矩阵具有以下性质：对称矩阵的和、差仍为对称矩阵；数与对称矩阵的积为对称矩阵等。 与对称矩阵相关的概念有正方矩阵、埃尔米矩阵等。另外，在复数域上加以推广，能得到相应的复对称矩阵，它与实对称矩阵有不同的性质。 对称矩阵在 图书馆学 、 经济学 、地理学领域有广泛运用。例如：在经济规律建立 数学模型 中 状态空间 模型时，就运用到了对称模型。
定义
矩阵
给定域 中 个数 ，其中 将它们排成矩形表 ，称为 矩阵，记作 ，其中 称为矩阵 第 行第 列的元素，简称为矩阵的 元。
一般情况下，我们用 大写字母 表示矩阵，为了表明矩阵的行数 和列数 ，可用 表示，或记作 或 .
对称矩阵
数域 上满足 ，即 ，的 阶方阵 称为对称矩阵，简称对称阵。
简史
中国 古籍《 九章算术 》一书中就存在类似矩阵的概念。矩阵一词由 英国 数学家 西尔维斯特 （Sylveter）在1850年首先提出，该词源于拉丁语，意为“一排数”。由于有行列式的成果作为基础，因此在1850年前后，矩阵理论得到迅速发展。英国数学家凯莱（Cayley）是矩阵论的创立者，他在1858年发表的《《矩阵论的研究报告》中定义了对称矩阵的概念。克莱伯施（ 德语 ：Clebsch）、布克海姆（德文：Buchheim）等证明了对称矩阵的特征根性质。十九世纪末， 德国 数学家 弗罗贝尼乌斯 （ 德语 ：Frobenius）得到了对称矩阵可用合同变换化为同秩的 对角矩阵 的结果。
性质
设矩阵 为对称矩阵，对称矩阵具有以下性质 ：
注意：两个对称矩阵的乘积不--定是对称矩阵。例如，对称矩阵
与
的乘积 却不是对称矩阵。
分类
实对称矩阵
实对称矩阵（real symmetric matrix） 一种对称矩阵。指n维欧氏空间的对称变换在标准正交基下的矩阵。即元素 全是 实数 的对称矩阵 。
反对称矩阵
反对称矩阵（Skew-symmetric matrix），一个矩阵 如果满足 ，那么称 是反对称矩阵。为满足反对称性， 主对角线 上的元素必定等于零，即反对称矩阵的元素具有形式： .
当 阶实矩阵 满足 ，称 为对称矩阵；满足 时，称 为 反对称矩阵 ，有以下性质 ：
1） 是 反对称矩阵 的充要条件是 ，有
2） 是对称矩阵，且对 ，有 那么
中心对称矩阵
又称交叉对称矩阵或斜对称矩阵，有时也简称为 矩阵，定义为
如果 阶矩阵 是对称的并且是次对称 的，则 一定是中心对称的。
对角矩阵
主对角线 以外的元素全为零的 阶方阵称为对角矩阵即 .
对角矩阵都是对称矩阵。
实对称矩阵的特征值
设 为 阶方阵，如果存在数 和 维非零列向量 ，使得成立，则数 称为方阵 的特征向量，非零列向量 称为 对应于特征值 的特征向量。 对于实对称矩阵特征值，有以下 定理 ：
定理一
实对称矩阵的特征值都是 实数 。
证明： 设 为实对称矩阵， 为 在 复数 域上的任一特征值，我们只需证明 ，其中 是 的 共轭复数 。 是属于 的特征向量，故有 ，两端取 共轭 ，有 ，由共轭 复数 的运算性质知 。两端取转置得 。
注意到 和 ，上式成为
两端右乘 ，得
所以
又因为 ，故有
从而有 ，即 是 实数 。
定理二
实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是 正交 的。
证明： 设 是 的不同特征值， 分别为 的属于特征值 的特征向量。于是
在上面第一式两边左乘 ，得
注意到
由于 ，所以 ，即 正交 。
定理三
设 阶方阵 为对称矩阵，则存在 阶 正交矩阵 ，使 为对角阵
证明： 对矩阵 的阶数使用 数学归纳法 。
当 时，一阶矩阵 已是 对角矩阵 ，结论显然成立。
假设对任意的 阶实对称矩阵，结论成立。下面证明：对 阶实对称矩阵 ，结论也成立。
设 是 的一个特征值， 是 的属于 的一个实特征向量。由于 也是 的属于 的特征向量，故不妨设 是 单位向量 。记 是以 为第一列的任一 阶 正交矩阵 ，把 分块为 ，其中 为 矩阵，则
注意到 及 与 的各列向量都正交，所以
其中， 为 阶实对称矩阵，根据归纳法假设，对于 ，存在 阶 正交矩阵 ，使得
令 ，不难验证 仍是 正交矩阵 ，并且
记 ，则上面的结果表明 为 对角矩阵 ，由 数学归纳法 原理，对任意的 阶实对称矩阵， 定理 的结论成立。
相关概念
正方矩阵
简称方阵，对于矩阵 或 ，当 时，则称 为 上的 阶方阵。 任意一个方阵 都可分解为一个对称与一个 反对称矩阵 之和。
埃尔米矩阵
一个正方矩阵 称为埃尔米矩阵，若 ，其中 。换言之，埃尔米矩阵是一种复共轭对称函数。
推广
形式地规定 的一个平方根为 ，称为 虚数单位 。对 实数 ，形如 的数称为 复数 ，全体复数组成的集合记为 。 对称矩阵亦可以推广到复数域中，即为复对称矩阵。
复对称矩阵（complex symmetric matrix），指 的 阶复矩阵 ，任何 阶复矩阵相似于复对称矩阵。任何复对称矩阵 正交相似于对称矩阵 ， 称为复对称矩阵 的标准形。
复对称矩阵与实对称矩阵的显著区别之一是不一定能对角化。如，矩阵 是不可能对角化的。事实上 ，如果存在 非奇异矩阵 和 对角矩阵 ，使得 ，那么 ，推出 ，从而 矛盾。
应用
图书情报
针对图书馆读者借阅行为数据利用率低、对读者图书借阅行为分析不准确的问题，采用基于相似系数矩阵的 聚类算法 ，对图书馆读者借阅行为实施分析，采用Jaccard相似系数度量高维度图书馆读者借阅数据的相似度，对高维度读者借阅数据进行 聚类分析 ，解决图书馆读者借阅数据维度高的问题。构建聚类算法时塑造了新的对称矩阵，当新的对称矩阵中的所有元素都大于初始阈值时，说明数据聚类过程结束，聚类算法的构建实现图书馆读者借阅行为数据的有效分类，针对读者设计个性化专属 图书推荐 服务。
经济学
作为描述经济规律的一种手段， 数学模型 有助于寻求对系统进行预测或 最优控制 方案。数学模型就是描述 经济系统 的特性和基本变化规律的数学表达式。在建立数学模型中 状态空间 模型时，其一个特殊情况就运用到了对称模型。
测绘学
测绘工作中广泛存在着规模相当庞大的对称矩阵。上世纪50年代， 摄影 测量领域就有人提出解析 空中三角测量 ，尤其是光束法区域网解析空中三角测量，其整体平差计算量极大，其改化后的法方程系数矩阵达 阶数量级，是一直受人关注的甚大规模对称矩阵。近年来辅助空中三角测量技术得到了长足发展，这些发展对甚大规模对称矩阵的运算和管理提出了更的要求。