共轭在数学、物理、 化学 、地理等学科中都有出现。本意：两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走。共轭即为按一定的规律相配的一对。通俗点说就是孪生。在数学中有 共轭复数 、共轭根式、 共轭双曲线 、共轭矩阵等。
基本概念
共轭复数
两个实部 相等 ，虚部互为相反数的 复数 互为 共轭复数 (conjugate complex number)。（当虚部不等于0时也叫共轭 虚数 ）复数z的共轭复数记作 （z上加一横，英文中可读作Conjugate z,z conjugate or z bar），有时也可表示为 。
根据定义，若 ，则 。在复平面上， 共轭复数 所对应的点关于实轴对称。
共轭根式
当 都是有理根式，而 、 中至少有一个是无理根式时，称 和 互为“共轭根式”。由 平方差公式 ，这两式的积为 有理式
共轭双曲线
以已知 双曲线 的虚轴为 实轴 ，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，如双曲线H： 与双曲线H'： 叫做一对共轭双曲线(a>0,b>0)。
主要性质有：它们有共同的 渐近线 ，它们的四个焦点共圆，它们的 离心率 的 倒数 的平方和等于1。
共轭矩阵
共轭矩阵又称 Hermite 阵。Hermite阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭 相等 。
共轭转置
把矩阵转置后，再把每一个数换成它的 共轭复数 。
共轭水深
水跃 中，跃前水深与跃后水深的互称或共称。
共轭剪节理
定义
两 向量 间的一种特殊关系。设A为 对称 正定矩阵 ，向量 若满足条件 ，则称p和p关于A是共轭方向，或称p和p关于A共轭。一般地，对于非零向量组 ，若满足条件： ，则称该向量组关于A共轭。
共轭方向法
以一组共轭方向作为搜索方向来求解无约束 非线性规划 问题的一类下降算法。是在研究寻求具有对称正定矩阵Q的n元 二次函数
最优解的基础上提出的一类 梯度 型算法，包含 共轭梯度法 和 变尺度法 。根据共轭方向的性质，依次沿着对Q共轭的一组方向作一维搜索，则可保证在至多n步内获得二次函数的极小点。 共轭方向法 在处理非二次目标函数时也相当有效，具有超线性的 收敛速度 ，在一定程度上克服了最速下降法的锯齿形现象，同时又避免了 牛顿法 所涉及的海色(Hesse)矩阵的计算和求逆问题。对于非二次函数，n步搜索并不能获得极小点，需采用重开始策略，即在每进行n次一维搜索之后，若还未获得极小点，则以负 梯度 方向作为初始方向重新构造 共轭方向 ，继续搜索。