正定矩阵（ 英语 ：positive define matrix），一种实 对称矩阵 ，简称为正定阵。 若对任意的n维实非零列向量x，都有x T Ax大于0，则称A为正定矩阵，记作A大于0。
代数 一词最早源于公元9世纪时期 阿拉伯帝国 数学家 阿尔·花剌子模 （AL.Khwarizmi），经过 丢番图 （Diophantus）、韦达（vieta）两位学者发展，代数更加壮大。 正定矩阵的研究最早出现 二次型 与Hermite型的研究中，而且只限于对实对称矩阵或Hermite矩阵的使用，随着数学的发展，学者开始研究未必对称的较为广义的正定矩阵。 1988年，夏长富对实矩阵的 正定县 型作进一步的推广。
正定矩阵具有一些性质，如两个正定矩阵的和是正定矩阵、正定矩阵的行列式恒为正等。正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵；实对称矩阵正定当且仅当与单位矩阵合同。判定某一个矩阵或矩阵的乘积为正定的方法，可用樊-塔尔斯基定理等。 正定矩阵可推广出多个 不等式 ，诸如 柯西不等式 、Young不等式、Heinz不等式。 通过对正定矩阵的数值推算，可以运用于判断环境污染来源，研究非线性动力大系统的稳定性等领域。
简史
代数 （algebra）一词最早源于公元9世纪时期阿拉伯数学家 阿尔·花剌子模 （AL.Khwarizmi），他系统研究一次和 二次方程 ，并首次给出二次方程的 求根公式 。 此后经过 丢番图 （Diophantus）、韦达（vieta）两位学者发展，代数更加壮大。 1859年， 清朝 学者 李善兰 将其翻译为“代数”。 代数中，讨论线性 方程 和线性运算的代数称之为线性代数。 正定矩阵的研究最早出现 二次型 与Hermite型的研究中，而且只限于对实 对称矩阵 或Hermite矩阵的使用，随着数学的发展，学者开始研究未必对称的较为广义的正定矩阵。 1973年， 约翰逊 （C.R.Johnson）在其 博士论文 中研究了方阵 的对称化 是正定矩阵时的某些 不等式 。1988年，夏长富对实矩阵的 正定县 型作进一步的推广。
定义
实对称矩阵
一种对称矩阵，指欧式空间的堆成变换在 标准正交基 下的矩阵，即元素 全是 实数 的对称矩阵 实对称矩阵 的特征值全为实数。在实欧式空间 中， 对称矩阵 的属于不同特征值的特征向量必 正交 ，且在 中存在 个列特征向量组成的标准正交基 使 为实 对角矩阵 ，其 对角线 上的元素为 的特征值， 为 正交矩阵 。 称为 的特征向量的一个完备系。
正定矩阵
若对任意的 维实非零列向量 都有 则称A为正定矩阵，记作 。
充要条件
正定矩阵的充要条件有：
（1）. 的所有顺序主子式均大于零 ，适应于具体的 二次型 矩阵正定的证明。
（2）. 的所有特征值 适应于抽象的二次型矩阵正定的证明。
（3）.
（4）.与 单位矩阵 合同存在可逆矩阵 使得
（5）.正 惯性 指数
判定方法
方法（1）：对于由已知的正定矩阵证明给定的矩阵正定的问题，应用定义法最方便快捷。
设 均是正定矩阵，则 称为 与 的 乘积，证明 也是正定矩阵，证明，显然矩阵 是实 对称矩阵 。
任取 由于矩阵 正定，所以同时有： 那么只需要证明
由于 是正定矩阵，故存在一个可逆矩阵 使得 即 所以 。
对任何 因为 可逆，所以总存在一个 使得 （因为不设妨 由 的第一列中必有一个元素不为零，设为 则 ）。
又因 是正定矩阵，所以总有 所以 即 也是正定矩阵。
方法（2）：运用顺序主子式或主子式进行判定， 阶实 对称矩阵 正定的 充分必要条件 是 的所有顺序主子式
若 是正定矩阵，那么 的主子式全大于零。其中主子式就是行指标与列指标相同的子式。
性质
正定矩阵具有以下性质：
1.正定矩阵的 行列式 恒为正。
3. 是正定矩阵当且仅当 是正定矩阵。 （存疑） 设 为 阶正定阵，则 A+B均为正定矩阵。
4.两个正定矩阵的和是正定矩阵。
5.正 实数 与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
对于 阶实对称矩阵 下列条件是等价的：
相关概念
正定二次型
实二次型的类型，设 是一个实二次型， 是任意 个不全为零的 实数 。正定、半正定、负定、半负定的二次型合称为定型二次型；不定的二次型称为不定型二次型。
其他概念
（1）若对任意的”维实非零列向量 都有 则称A为半正定矩阵，记作
（2）若对任意的"维实非零列向量 都有 则称A为负定矩阵，记作
（3）若对任意的"维实非零列向量 都有 则称A为半负定矩阵，记作
若 为(半)正定矩阵，则 必为(半)负定矩阵。
相关定理
樊-塔尔斯基定理
樊-塔尔斯基定理是一个判断 矩阵乘法 是否正定的，设：
是正定矩阵， 是实 对称矩阵 ，则 是正定的 充分必要条件 为： 的特征值全大于零。
推广
柯西不等式
通过一个正定矩阵，可以设计出一个柯西不等式。
方法：
设 是一个 阶正定矩阵，则对任何 向量 与 定义 可以证明由该试定义的一定是 维向量间的 点积 。反之，对于 维向量间的任意一种内积，一定存在一个 阶正定矩阵 使得对任何向量 和 可由该式来定义，因此，给定了一个 阶正定矩阵，在 维向量间就可由该矩阵定义一个内积，从而可得到相应的 柯西不等式 ：
Young不等式
Young不等式是加权 算术几何 平均值不等式的特例，在 数学分析 中有着广泛的应用，而正定矩阵可应用于该不等式。
方法
任意两个正 实数 且 ，有
当 时，有
令 时，（1）可以改写成：
正定矩阵 ，有如下 不等式 成立：
当 时，从本式子可推得Young不等式的迹形式：
若半正定矩阵 且 则有： 。可得出其 行列式 ：
对 且 有： 且当 时，则不满足其他酉不变 范数 。
Heinz不等式
正定矩阵可应用于Heinz不等式。
令 由不等式（1）和（2），在几何平均与算数平均中 插值 可以得到：
广义正定矩阵
正定矩阵的推广是采用非奇异实 对称矩阵 乘原矩阵，使乘积成为对称矩阵的技术对实对称正定矩阵所作的推广。
定义： 设 若对 都有正 对角矩阵 使 则称 为广义正定矩阵。
其性质为对称正定矩阵和实正定矩阵之积为广义实正定矩阵，即 为广义实正定矩阵的 充分必要条件 是存在对称正定矩阵 和实正定矩阵 使 或 。
应用
判断环境污染来源
随着沿海城市的经济快速发展，海洋生态受到工业 废水 、生活废水等多种污染，因此海洋环境检测显得尤为重要。基于正定矩阵因子模型的海域污染特征解析框架，能够对 海湾 的进行水质综合评价和污染源解析，可以为当地的水环境保护和科学管理提供依据和参考。正定矩阵因子模型通过 最小二乘法 迭代计算求解，能够快速完成源解析工作，帮助研究海洋污染物来源，此外还适用于大气、土壤、河流等领域。
人工智能
神经网络系统是一种非线性动力大系统，近年来学术界对它多有关注，人们期望通过其产生 人工智慧 、 计算机科学 和信息科学的一场革命。因其作为一种非线性动力大系统，研究其稳定性是一个非常重要的方面。而正定矩阵就可运用到这一方面，在设计系统时，为使其处于 稳定平衡 ，可以通过保证平衡 方程 成立和矩阵的负定位原则，从而选择合适的系统参数。因此在对矩阵负（正）定的简单的比较一般性的条件就显得很有必要，通过对对矩阵的推算，可以得到相应的数据，运用到非线性动力大系统中。
计算机科学
正定矩阵 线性方程组 求解方程组，可以应用于SVM正则化路径的求解，一方面通过Cholesky分解提高求解SVM的计算效率，另一方面也降低求解正则化参数的 计算机 开销。现有的SVM正则化路径算法不能处理具有重复的数据、近似数据或线性相关数据，或者计算的开销过大。针对这些问题，应用正定矩阵方程组求解方法来解SVM正则化路径，提出正定矩阵svm正则化路径算法。该算法将迭代方程组的系数矩阵转换为正定矩阵，并采用Cholesky分解方法求解路径上各 拐点 处Larange乘子增量 向量 ，同已有算法中直接求解正则化参数不同，该算法根据活动根据活动机变化情况确定参数增量，并在此基础上计算正则化参数，保证理论的正确性和数值的稳定性，并降低计算的复杂性。此外，基础正定矩阵的SVM正则化路径算法可适用于包含输入 向量 线性相关的样本集，拓展了SVM正则化路径算法的应用范围。