正交矩阵

正交矩阵（英文：Orthogonal matrix）是一种实矩阵，指正交变换在标准正交基下的矩阵，即满足AA T =E的n阶实矩阵，其中A T 是矩阵A的转置矩阵，E是单位矩阵。

英国数学家凯莱（Cayley）是第一个把矩阵作为独立的数学概念提出的人，并在1858年发表了论文《矩阵论的研究报告》，文中系统地阐述了关于矩阵的理论，定义了矩阵的一系列基本概念。后来，1878年德国数学家弗罗伯纽斯（Frobenius,1849-1917）在讨论最小多项式问题过程中，引进矩阵的秩的概念。在之后的整理工作中，弗罗伯纽斯给出了不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，并讨论了关于正交矩阵的一些重要性质。

正交矩阵具有一些性质：如任何正交矩阵的行列式要么是要么是若都是正交矩阵，则及也是正交矩阵；若为正交矩阵，则的转置矩阵、逆矩阵和伴随矩阵也是正交矩阵等。将正交矩阵的概念从实数扩展到复数，正交矩阵在复数域中叫做酉矩阵。利用赋范向量空间中的广义正交性，可推广并引入广义正交矩阵的概念。正交矩阵有着广泛的应用，如在摄影测量学中，与惯用的迭代解法相比，正交矩阵反问题进行绝对定向的快速直接解法具有求解精度高，计算时间短的特点，在实际中具有更好的应用价值。

简史

英国数学家凯莱（Cayley）是第一个把矩阵作为独立的数学概念提出的人，并在1858年发表了论文《矩阵论的研究报告》，文中系统地阐述了关于矩阵的理论，定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念。后来，1878年德国数学家弗罗伯纽斯（Frobenius,1849-1917）在讨论最小多项式问题过程中，引进矩阵的秩的概念。在之后的整理工作中，弗罗伯纽斯给出了不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，并讨论了关于正交矩阵的一些重要性质。

定义

正交矩阵是一种实矩阵，指正交变换在标准正交基下的矩阵，即满足的阶实矩阵

若是正交矩阵，则当时，称为第一类正交矩阵或旋转矩阵；当时，称为第二类正交矩阵或镜面反射矩阵。给定阶正交矩阵由得从而

因此即的不同行（列）是正交的。上述两个等式组都称为正交条件，都是实矩阵为正交矩阵的充分必要条件。此外, 也是实矩阵为正交矩阵的充分必要条件。正交矩阵的特征值的模为因而它的实特征值只可能为。任一实满秩阶矩阵都可以惟一地分解成其中是实正交矩阵, 是主对角线元素大于零的上三角矩阵。对于对称矩阵必有正交矩阵使为对角矩阵，其对角元是的全体特征值。

举例

1. 阶单位矩阵

2.二阶正交矩阵：

3.三阶正交矩阵：

性质

正交矩阵具有以下一些性质：

1.任何正交矩阵的行列式要么是要么是即

2.若为正交矩阵，则的转置矩阵、逆矩阵和伴随矩阵，即也是正交矩阵；

3.若都是正交矩阵，则及也是正交矩阵；

4. 阶方阵为正交矩阵的列（行）向量组是的一组标准正交基；

5.设向量为阶正交矩阵，则有

即正交变换不改变向量的点积、夹角和长度。

6.全体阶实正交矩阵的集合，对于矩阵的乘法构成一个群，称实正交矩阵群，记作

7.全体阶幺模实正交矩阵的集合，对于矩阵的乘法构成一个群，称幺模实正交矩阵群，记作

8. 正交矩阵是规范方阵，正交矩阵正交相似于标准形；

9.正交矩阵群的李代数由反对称矩阵组成；反过来，任何反对称矩阵的矩阵指数都是一个正交矩阵。

构造方法

格拉姆-施密特正交化

规范正交向量组必为线性无关的向量组。反之，线性无关的向量组却未必是规范正交向量组。但却可以按下述方法求出与之等价的规范正交向量组。

设是线性无关的向量组，令则是正交向量组。再令所得到的即为与等价的规范正交向量组。这种方法称为格拉姆- 施密特正交化方法，或规范正交化方法，是构造正交矩阵的一种方法。

李雅普诺夫函数优化法

引理：对于扰动系统其中: 为Hurwitz矩阵; 为扰动输入;

为常数 , 为系统范数。如果存在使其中由式给出，则一定存在使

或有实正定对称解

正交矩阵的构造方法：对于引理中的矩阵如果存在正交矩阵以及和使所分解的对称矩阵和反对称矩阵满足以下条件，

其中和满足式则为正交矩阵。

推广

广义正交矩阵

为了推广正交矩阵理论，利用赋范向量空间中的广义正交性，引入了广义正交矩阵的概念，并对广义Birkhoff正交矩阵进行了讨论，给出了广义Birkhoff正交矩阵可逆的充分条件。

定义：令矩阵其中。若为

空间上的广义Birkhoff 正交组，则称矩阵为广义Birkhoff正交矩阵。若为空间上的广义正交组，则称矩阵为广义正交矩阵。

从定义易知，当为内积空间时，广义正交矩阵就是正交矩阵，且矩阵的广义正交性与空间的范数存在着必然的联系，可以认为矩阵的广义正交性由范数确定。对于范数，广义正交矩阵总是存在的，如单位阵等。

广义Birkhoff正交矩阵可逆的条件：令为上的广义Birkhoff 正交矩阵，若严格凸，则可逆。

证明：当时，结论是显然的。设为上的广义Birkhoff 正交组，则对于广义Birkhoff正交矩阵若不可逆，则存在不全为零的使得

。因为空间是严格凸的，所以上的Birkhoff 正交具有左唯一性。又因为之间的Birkhoff正交是对称的，所以上的Birkhoff正交也是右唯一的。

由赋范向量空间上的Birkhoff正交是左唯一（右唯一）的当且仅当是严格凸（光滑）的，可推出空间是光滑的，再根据赋范线性空间上的Birkhoff正交是右可加的当且仅当是光滑的，可知空间上的Birkhoff 正交是右可加的。进而由及上Birkhoff 正交的齐次性与可加性得这与Birkhoff 正交的定义矛盾，所以可逆。

应用

数学

QR分解

分解是一种线性代数运算，它将一个矩阵分解成一个正交矩阵和一个三角形分量。将变量投影中的阶矩

阵通过分解方法分解为，式中，是一个阶正交矩阵，具有的性质，为阶矩阵，为阶上三角矩阵。

，另，基于分解的变量投影函数为

分解产生了一个阶正交矩阵，其逆矩阵与转置矩阵相同。计算机对矩阵求转置的速度比求逆的速度更快，因此能够提高运算效率。

奇异值分解

在变量投影算法中，将阶矩阵通过奇异值分解方法分解为，式中是阶正交矩阵；是阶矩阵，为阶对角矩阵（是矩阵的秩），对角元素为的奇异值；是阶正交矩阵。

。令，基于奇异值分解的变量投影函数为

奇异值分解产生了一个阶正交矩阵，具有的性质，同样可以加快运算速度，提高运算效率。

电信技术

码分多址（CDMA）技术由于强大处理增益产生的低频复用因子和稳健特性在无线个人通信中有较大作用。但由于扩频序列非理想相关特性所产生的多径干扰和多址干扰可能会降低码分多址通信系统的性能，为了提高系统的性能，要设计具有良好相关特性的扩频序列。

基于正交矩阵的一类非周期组间互补序列集的构造法，所构造的非周期组间互补序列集的零相关区长度可灵活设定，通过减小零相关区长度，可增加组间互补序列集的组数，用于同步或非同步码分多址系统支持更多的小区。

信息科技

LCD是目前发展成熟的显示器，常见产品有TN-LCD，STN-LCD和TFT-LCD等，其中STN-LCD因其低成本被广泛使用。在驱动大尺寸屏时，由于STN-LCD屏的响应速度较慢，面临着功耗增加、对比度差、串扰等问题。对STN-LCD的驱动方式进行改进是解决问题的主要途径。

基于正交矩阵算法，在分析驱动电路原理的基础上设计了一种8行寻址（MLA-8）LCD驱动电路，使用 Verilog 语言实现了电路中的数字运算控制模块。基于Maxchip 18 V CMOS 工艺实现了流片。该电路在满足设计要求的条件下，相比传统的IAPT驱动方式，降低了的功耗。

测绘学

在摄影测量学中，当一个立体像对完成相对定向之后，相应光线在各自的核面内成对相交，构成了一个与实地相似的几何模型。为了确定模型在地面坐标系中的方位和比例尺，就要进行绝对定向。绝对定向通常采用的方法是对空间相似变换公式进行线性化，通过一定数量的控制点，利用最小二乘的方法进行迭代求解。由于是迭代求解，算法较繁琐且计算量比较大，特别是在对多模型或区域网进行求解时更为麻烦。

在研究正交矩阵反问题及其最佳逼近的基础上，提出一种基于正交矩阵反问题进行绝对定向的快速直接算法，经实验计算，与惯用的迭代解法相比，正交矩阵反问题进行绝对定向的快速直接解法具有求解精度高，计算时间短的特点，在实际中具有更好的应用价值。

简史

定义

举例

相关概念

正交变换

酉变换

酉矩阵

实对称矩阵

性质