向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入 向量 概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数 多项式 的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在 代数 上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为 泛函分析 。向量空间它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用。
详细定义
向量空间亦称线性空间。它是线性代数的中心内容和基本概念之一。设V是一个非空集合，P是一个域。若：
1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素 ，称为α与β的和。
2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为 标量 乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素 ，称为k与α的积。
3.加法与纯量乘法满足以下条件：
1) ，对任意 .
2) ，对任意 .
3) 存在一个元素 ，对一切 有 ，元素0称为V的零元.
4) 对任一 ，都存在 使 ，β称为α的负元素，记为 .
5) 对P中 单位元 1，有 .
6) 对任意 有 .
7) 对任意 有 .
8) 对任意 有 ，
则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。V中元素称为 向量 ，V的零元称为 零向量 ，P称为线性空间的基域。当P是实数域时，V称为实线性空间。当P是 复数 域时，V称为复线性空间。例如，若V为三维几何空间中全体向量(有向 线段 )构成的集合，P为 实数 域R，则V关于向量加法(即 平行四边形 法则)和数与向量的乘法构成实数域R上的线性空间。又如，若V为 数域 P上全体 矩阵组成的集合Mmn(P)，V的加法与 标量 乘法分别为矩阵的加法和数与矩阵的乘法，则Mmn(P)是数域P上的线性空间.V中 向量 就是 矩阵。再如，域P上所有n元向量 构成的集合P对于加法： 与纯量乘法： 构成域P上的线性空间，称为域P上n元向量空间。
线性空间是在考察了大量的 数学对象 (如 几何学 与物理学中的向量， 代数 中的n元向量、矩阵、 多项式 ， 数学分析 中的函数等)的本质属性后抽象出来的数学概念，近代数学中不少的研究对象，如赋范线性空间、模等都与线性空间有着密切的关系。它的理论与方法已经渗透到 自然科学 、 工程技术 的许多领域。 哈密顿 ( Hamilton ，W.R.)首先引进 向量 一词，并开创了向量理论和向量计算。 赫尔曼·格拉斯曼 (Grassmann，H.G.)最早提出多维 三维空间 的系统理论。1844—1847年，他与 奥古斯丁-路易·柯西 (Cauchy， A.-L. )分别提出了脱离一切空间直观的、成为一个 纯粹数学 概念的、抽象的n维空间。特普利茨(Toeplitz，O.)将线性代数的主要 定理 推广到任意域上的一般的线性空间中。
公理化定义
设F是一个域。一个F上的向量空间是一个集合V和两个运算：
向量 加法：+ : 记作
标量乘法 ：· : 记作 及
符合下列公理 ( 及 )：
向量 加法结合律： ；
向量加法 交换律 ： ；
向量加法的 单位元 ：V 里有一个叫做 零向量 的 0， ；
标量乘法 分配于向量加法上： ；
标量乘法分配于域加法上: ；
标量 乘法一致于标量的域乘法: ；
标量乘法有单位元: , 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。
有些 教科书 还强调以下两个公理：
V 闭合在 向量 加法下：
V 闭合在标量乘法下：
更抽象的说，一个F上的向量空间是一个F-模。V的成员叫作 向量 ，而F的成员叫作标量。若F是实数域R，V称为实向量空间；若F是 复数 域C，V称为复向量空间；若F是 有限域 ，V称为有限域向量空间；对一般域F，V称为F-向量空间。
首5个公理是说明向量V在向量加法中是个 尼尔斯·阿贝尔 群，余下的5个公理应用于 标量乘法 。
以下都是一些很容易从向量空间公理推展出来的特性：
零向量 （公理3）是唯一的
，这里 0 是F的加法 单位元
，则可以推出要么 ，要么
v的 加法逆元 （公理4）是唯一的（写成−v），这两个写法 及 都是标准的
线性无关
如果V是一个线性空间，如果存在不全为零的系数 ，使得 ，那么其中有限多个 向量 称为线性相关的.
反之，称这组向量为线性无关的。更一般的，如果有无穷多个向量，我们称这无穷多个向量是线性无关的，如果其中任意有限多个都是线性无关的。
子空间
设W为向量空间 V 的一个非空子集，若W在 V 的加法及 标量乘法 下是封闭的，就称W为 V 的 线性子空间 。
给出一个向量集合 B，那么包含它的最小子空间就称为它的扩张，记作 span(B)。另外可以规定 空集 的扩张为{0}。
给出一个 向量 集合 B，若它的扩张就是向量空间 V，则称 B 为 V 的生成集合。
给出一个向量集合 B，若B是线性无关的，且B能够生成V，就称B为V的一个基。若 ，唯一的基是空集。对非 零向量 空间 V，基是 V 最小的生成集，也是极大线性无关组。
如果一个向量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称 V 是一个有限维空间。向量空间的所有基拥有相同基数，称为该空间的维度。例如， 实数 向量空间： 中， Rn的维度就是 n。
空间内的每个 向量 都有唯一的方法表达成基中向量的 线性组合 。而且，将基中向量进行排列，表示成有序基，每个向量便可以坐标系统来表示。
线性映射
若 V 和 W 都是域F上的向量空间，可以设定由V到W的线性变换或“线性映射”。这些由V到W的 映射 都有共同点，就是它们保持总和及 标量 商数 。这个集合包含所有由V到W的线性映射，以 L(V, W) 来描述，也是一个域F上的向量空间。当 V 及 W 被确定后，线性映射可以用矩阵来表达。
同构 是一对一的一张线性映射。如果在V 和W之间存在同构，我们称这两个空间为同构；域F上每一n维向量空间都与向量空间F同构。
一个在F场的向量空间加上线性映射就可以构成一个范畴，即 尼尔斯·阿贝尔 范畴。
额外结构
研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下：
一个 实数 或 复数 向量空间加上长度概念。就是 范数 称为 赋范向量空间 。
一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为 内积空间 。