线性子空间（又称 向量 子空间，简称子空间）是线性空间中部分向量组成的线性空间。设W是域P上的线性空间V的一个非空子集合，若对于V中的 加法 及域P与V的 纯量 乘法构成域P上的一个线性空间，则称W为V的线性子空间。
定义
定义 设W是域P上的线性空间V的一个非空子集合，若对于V中的加法及域P与V的纯量乘法构成域P上的一个线性空间，则称W为V的 线性子空间（或向量子空间） ，或简称 子空间 。
注：1.V的非空子集W是子空间的 充分必要条件 是：
（1）子集合W的任意两个 向量 α与β之和 仍是W中的向量；
（2）域P的任一数k与子集合W的任意一个向量α的积kα仍是W中的向量。
2.在线性空间中，由单个的 零向量 所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做 零子空间 。
3.线性空间V自身与单独一个零向量都是V的线性子空间。这两个特殊的子空间称为V的 平凡子空间 ；除平凡子空间外的线性子空间称为V的 非平凡子空间 。
举例
例1 设域是 R ， 向量空间 V 是 欧几里得空间 。取 W 为最后的分量是 0 的 V 中所有 向量 的集合。则 W 是 V 的子空间。
证明： 显然W非空，且
给定W中u和v，它们可以表达为 和 。则 。因此 也是W的元素。
给定W中u和R中标量c，如果 ，则 。因此cu也 是W的元素。
例2 设域是 R ， 向量空间 V是是欧几里得空间。取 W 为V的使得 的所有点 的集合。则 W 是 R 的子空间。
证明： 显然W非空，且
设 且 是W的元素，就是说，在平面上的点使得 且 。则 ；因为 且 ，则 ，所以 是W的元素。
设 是W的元素，就是在平面中点使得 ，并设c是R中的 标量 。则 ；因为 ，则 ，所以cp是W的元素。
例3 在全体实函数组成的空间中，所有的实系数 多项式 组成一个子空间。
例4 是（次数小于n的多项式全体）是线性空间P[x]的子空间。
性质
如果 是线性线性空间V的两个子空间，那么它们的交 也是V的子空间。
如果 是线性线性空间V的两个子空间，那么它们的和 也是V的子空间。
，W都是子空间，有
4.对于子空间 以下三个论断是等价的：
1）
2）
3）
5（维数公式）如果 是线性空间V的两个子空间，那么： .
6.如果n维线性空间V中两个子空间 的维数之和大于n，那么 必含有非零的公共 向量 。
7.设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W使V等于U与W的直和。