拓扑向量空间，设T是向量空间X上的一个拓扑，满足两个条件，即：(1) X中的单点集是闭集（2) 向量空间的运算关于T是连续的则称T是X上的向量拓扑，X称为拓扑向量空间。
定义
设T是向量空间X上的一个拓扑，满足：
(1) X中的单点集是闭集
(2) 向量空间的运算关于T是连续的
则称T是X上的向量拓扑，X称为拓扑向量空间。注意向量空间的运算包括数乘和向量的 加法 ，数乘使用的数域为实数域和 复数 域。
平移不变性
对 ，设 。λ是一个不为0的标量，设 下面证明Ta和Mλ是X到X的同构映射。
证明：由向量空间的定义知Ta和Mλ是一一映射。它们的 逆映射 为 和 ，由性质（2）知4个映射都是连续的。故它们都是X到X的同构。