复数（complex number ）是指形如a+ib（a、b均为实数）的数，i称为虚数单位，满足i 2 =-1，通常记复数为z=a+ib ，a、ib分别称为其实部与虚部 。由所有复数构成的集合称为复数集或复数域，常用 C 表示 。
复数的历史可追溯到15世纪。1484年，法国数学家舒开（Chuquet）在《算术三编》中第一次在形式上给出了负数的平方根 。1545年， 意大利 数学家 吉罗拉莫·卡尔达诺 （Girolcomo Cardano）在著作《大法》中首次把 负数 的平方根写出来，其相关设想隐含着虚数的概念及复数的加法、乘法运算法则 。1637年， 法国 数学家 勒内·笛卡尔 （Descartes）在《几何学》中给出了“ 虚数 ”这一名称，虚数由此流传开来 ，但此时一些数学家不承认虚数 。
从18世纪开始，虚数被广泛地用于解决各种函数问题 。1777年， 瑞士 数学家 莱昂哈德·欧拉 （Euler）在《微分公式》中首创了用符号 作为虚数的单位 ，并创立了复变函数论的基本 定理 。1788年， 挪威 数学家韦塞尔（Wessel）用一个单位 线段 来表示复数的几何意义，形成了其几何术语定义以及平面向量的运算法则 。1831年， 德国 约翰·卡尔·弗里德里希·高斯 （Gauss）在《哥廷根学报》上明确了复平面的概念 ，并建立了复数的某些运算 。1837年， 英国 数学家 哈密顿 （Hamilton）将复数定义为一个有序的 实数 对，奠定了复数理论严格的纯算术基础 。19世纪，复变函数论逐渐发展起来 。
复数的基本运算包括加法、减法、乘法、除法 、乘幂、方根等 ，其 四则运算 满足 交换律 、 结合律 、 分配律 等规律 。复数在数学、物理学、工程学等多个领域有广泛应用。特别是在交流电、量子力学、信号处理和控制理论等方面发挥了重要作用。复数理论逐渐成熟，成为现代数学中的基础工具之一。
定义
虚数单位 ：在实数范围内， 是不能开平方的，故 方程 的解在实数范围内是无解的，为了能够使 负数 开平方，引入一个新的数 ，叫作虚数单位 。它是方程 的两个解之一，其平方等于 ，即 。
复数 ：形如 的数称为复数，其中 和 是任意两个 实数 ； 称为 虚数单位 ，满足 ，通常记复数为 。 和 又分别称为复数 的实部与虚部 ，记作
。
当 时， ，即为 实数 ；当 且 时， 称之为纯虚数 。
由所有复数构成的集合称为复数集或复 数域 ，常用 表示 。
和 是两个复数，当且仅当 时，称两个复数 相等 ，记作 。
历史
早期研究
复数的历史可追溯到15世纪。1484年， 法国 数学家舒开（Chuquet）在《算术三编》一书中，把 方程 的根写为 ，第一次在形式上给出了 负数 的平方根 。1545年， 意大利 数学家 吉罗拉莫·卡尔达诺 （Gerolamo Cardano）在著作《大法》中，介绍了 三次方程 的 求根公式 ，首次把 负数 的平方根写出来。同时，他还讨论了“负数的平方根”的某些性质，并把 正数 的平方根称为真实的根，负数的平方根为虚构的根 。意大利数学家 拉法耶尔·蓬贝利 （Rafael Bombelli）在其1572年出版的《代数学》中引入了复数运算的方法 。1637年， 法国 数学家 勒内·笛卡尔 （Descartes）在《几何学》中使“虚的数”与“实的数”相对应，并给出了“ 虚数 ”这一名称，虚数由此流传开来 。但也引起了数学界的困惑，很多数学家都不承认虚数 。1693年， 英国 数学家瓦利斯（Wallis）指出可以用一条垂直于 实数 轴的直线表示虚数，并给出了 方程 的根的几何图像 。
从18世纪开始，虚数被广泛地用于解决各种函数问题 。法国数学家 亚伯拉罕·棣莫弗 （Abraham de Moivre）于1730年发现了棣莫弗关系式，即棣莫弗定理。1747年， 法国 数学家 让·达朗贝尔 （d'Alembert）按照 多项式 的 四则运算 规则对虚数进行运算，得出它的结果总是 的形式（ 都是实数）。1748年， 瑞士 数学家 莱昂哈德·欧拉 （Euler）发现了 欧拉恒等式 ，且他于1777年在《微分公式》中首创了用符号 作为虚数的单位 ，发现了复 指数函数 与 三角函数 间的关系，创立了复变函数论的一些基本 定理 。
后续发展
18世纪后期，随着对微积分研究的深入，数学家们逐渐认识到复数的性质和意义。1788年， 挪威 数学家韦塞尔（Wessel）在他的《关于方向的分析表示：一个尝试》的论文中，以 作为一个单位 线段 来表示复数 的几何意义，确立复数的几何术语定义以及平面向量的运算法则 。1797年， 德国 约翰·卡尔·弗里德里希·高斯 （Gauss）利用复数证明了 代数基本定理 。1806年，他公布了 虚数 的图像表示法，将虚数用一个平面上的点来表示，出现了由各点都对应复数的平面，即复平面，后被称为高斯平面 。同年， 日内瓦 数学家让·罗贝尔·阿尔冈（Jean Robert Argand）用几何形式表示了 ，并引入了“模”一词代表 向量 的长度 。
1811年，高斯从复数与 实数 的类似数性确立了复数的数性，并给出了“复数”这个词及其一般形式为 。1831年，他在《哥廷根学报》上还给出了严格的复数的几何表示，形成了复平面的概念 ，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算“ 代数 化” ，为复数和复变函数论的研究铺平了道路。至此，复数才被人们所接受 。1837年， 英国 数学家 哈密顿 （Hamilton）将复数定义为一个有序的实数对，奠定了复数理论严格的纯算术基础 。19世纪，复数的研究蓬勃兴起，学者们把数学和物理上的 向量 联系起来，找到了复数的物理模型，经过 法国 数学家 奥古斯丁-路易·柯西 （Cauchy）、 德国 数学家 伯恩哈德·黎曼 （Riemann）和 卡尔·魏尔施特拉斯 （Weierstrass）等人的贡献，复数理论逐步形成并发展成为重要的数学分支——复变函数论 。
分类
几何意义
点对应
根据复数 相等 的定义，任何一个复数 ，都可以由一个有序 实数 对 唯一确定。因为有序实数对 与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应 。
如图，点 的横坐标是 ，纵坐标是 ，复数 可用点 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面， 轴叫作实轴， 轴叫作虚轴，实轴上的点都表示 实数 ；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 。
按照这种方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。由此可知，复数集 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即
。
向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面 向量 都可以用一个有序 实数 对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样就可以用平面向量来表示复数 。
如图，设复平面内的点 表示复数 ，连接 ，则向量 由点 唯一确定；反过来，点 （相对于原点来说）也可以由向量 唯一确定。因此，复数集 与复平面内的 向量 所成的集合也是一一对应的（ 实数 与 零向量 对应），即
。
运算
加法、减法
加法、减法： 两个复数相加就是它们相应的分量分别地相加，类似的原则对于减法也成立 。设 和 是任意给定的两个复数，定义复数的加法和减法分别为：
，
，
称复数 为复数 与 的和，称复数 为复数 与 的差 。
几何意义： 若复数 分别用对应的 向量 表示，则复数的加减法与向量的加减法一致，于是在平面上以 、 为边的 平行四边形 的 对角线 就表示复数 ，如图所示，对角线 就表示复数 。若将 向量 平移至向量 ，则向量 就表示复数 。由复数的几何意义可知，下列两个 不等式 成立：
，
，
其中， 表示 向量 的长，也就是复平面上点 之间的距离 。
乘法、除法
乘法
乘法： 两个复数相乘就是它们的模相乘，而幅角相加 。两个复数相乘，可以按 多项式 乘法法则来进行，即
。
若复数用三角形式或指数形式表示，即
， ，
则
。
显然
， 。
几何意义 ：复数 与 的乘积在几何上相当于把 对应的 向量 旋转 ，然后再伸长 或缩短 倍 。
除法
除法： 两个复数相除就是它们的模相除，而幅角相减 ，即
。
若
，
则
显然
， 。
几何意义 ：复数 与 的商 在几何上相当于把 所对应的 向量 旋转 ，然后再伸长 或缩短 倍 。
共轭复数、模、幅角、有理化
共轭复数
共轭复数： 共轭复数是指实部相等，虚部的系数 绝对值 相等，符号相反的两个复数 与 ，即 是与 共轭的复数，或称 是 的共轭复数，或 是 的共轭复数。共轭复数记为 ，即 ，那么有 。
性质：
（1） 共轭复数 的和是 实数 ，即 为 实数 。因为 ，而 是实数，所以 是实数 。
（2）共轭复数的积是实数，即 为实数。因为 ，而 和 都是 实数 ，所以 是实数 。
（3）两个复数的和的 共轭复数 等于各个复数的共轭复数的和，即 。
（4）共轭复数关于实轴对称， ， ， ， ，点 和 关于实轴对称 。
模、辐角
模： 除了直角坐标表示 外， 还可用 极坐标 表示，对应的极坐标为 ，称作 绝对值 或模 。
辐角： 根据平面上的直角坐标与极坐标间的关系： ， ，复数 又可以表示成
，
称为复数 的三角式 。
其中， 为 的解，表示了 向量 与正实轴之间的夹角，亦称复数 的 辐角 ，记为 。 的方向规定为逆时针方向为正， 顺时针方向 为负 。
针对同一个 的值，会有无穷多个角，将位于 内的那一个角称为 的主辐角或者主值，记为 。
显然，对复数 无 辐角 可言，而对每一个复数 ，其辐角有无穷多个，且
由于 ，所以，主 辐角 与 有以下关系： 。
有理化
复数的有理化运算被定义为，把复数表达化成标准形式 。能够把某些复数计算结果变成 的标准形式，则便于把它的模和幅角用图表示出来。一旦把 表达式变成分子同分母相比的形式，只要分子和分母都乘上分母的 共轭复数 。即
则能把它变成标准形式。这时分母已不包含它的虚部，只是一个 实数 。下面给出一个例子：
。
极坐标形式
除了直角坐标（标准形式）表示 外， 还可用极坐标形式表示，特别是在需要进行乘法和除法运算时，这种表示方式会更加方便。对应的极坐标 时， 取任何值均表示相同的数值，为得到唯一的表示，通常的选择是令 ；当 时， 辐角 对 取模后是唯一的。因此，如果两个复数唯一的差别是它们的辐角相差 的整数倍，则认为它们是等价的，为得到唯一的表示，通常将 的取值限制在区间 内 。
根据复数模与相位的定义，有：
该表示称为三角形式。根据 欧拉恒等式 有
式 可以表示为
并称为复数形式 。
乘幂、方根
乘幂： 设 是一个复数， 是正整数，称 个 的乘积为 的 次幂，记为 ，则
当对应的 极坐标 时，可以得到棣莫弗公式：
。
方根： 考虑非零复数 的 次方根。凡是满足 方程 的 值称为 的 次方根，记为 。
当 时，显然 ；当 时，设
，
则
所以
，
因此 的 次方根为
显然，只要取 就可以得到 个不同的根。 取其他值时，得到的一定是这 个值中的一个。例如，当 时，非零复数 的 个不同的 次方根 均匀分布 在以原点为圆心、半径为 的 圆周 上，即它们是内接于该圆周的正 边形的 个顶点 。
代数基本定理
代数 基本 定理 是关于在复数域上具有复系数的任何 代数方程 的根的存在定理 。它是关于 多项式 根的 定理 ，其内容为：设 是一个次数不小于 的复系数多项式，则 在复数域内至少有一个根。由此可推出，一个 次复系数多项式在复数域内恰有 个根 ，即复系数的 代数方程 一定有复数解 。但是，该 定理 不适用于有理数域和 实数 域，如多项式 在复数域中有两个根 ，但在有理数域和实数域中都没有根 。
性质
（1） 交换律 ：设 与 是两个复数，则
。
（2） 结合律 ：设 与 是三个复数，则
。
（3） 分配律 ：设 与 是三个复数，则
。
（4） 单位元
对任何 ， ， 。
对任何 ，规定
，
。
所有其第二个数 为零的复数 的集合具有 实数 的集合的一切性质。特别地，复数 起到复数系零的作用，且复数 充当 单位元 的作用 。即，此时加法零元是 ，乘法单位元是 。
（5）逆元
加点的形式：对于任意复数 ，存在唯一的复数 ，使 ，常记为 ，并称 为 的负元素 。任何 的 加法逆元 是 。
倒数 ：对于任一非零复数 ，都有逆元存在，记之为 ，它们满足： 。任何 ， 的乘法逆元是 。
抽象代数结构
作为商域的构造
从实数域构造复数域： 从实数域 得到 复数 域 ，引入虚元素 ，它使不可约 多项式 值为 。复数域 可认为是一个包含 和 的最小域，记为 。
代数 闭域： 假设集合 ，那么 是 的 代数 扩张等价于 是 的有限扩张，也等价于 是 上的 代数 元。在任一 域扩张 中， 上的代数元的全体构成一个中间域，叫做 在 中的代数闭包。设 为一域，如果 中每一个 多项式 在 中都可以分解成一次因式的乘积，则称 为 代数 闭域 。
复数域的代数封闭性： 复数域 是一个代数闭域， 实数 域 不是代数闭域。当代数闭域 是 的扩域时，称 是 的代数闭扩张。每个域 都至少有一个代数的代数闭扩张 。
矩阵表示
复数的乘法有着鲜明的几何背景，利用乘积的模与 辐角 公式，有 ，当 时，乘法变成了单纯的旋转；当 时，乘法变成了单纯的伸缩 。
复数的矩阵表示： 给定旋转变换
点 在 旋转矩阵 作用下变换到点 。类似地，记 。根据复数与复平面上的 向量 一一对应，可以得到 ，即
可知 式的作用都是将平面上的点 逆时针旋转 角到点 。得出结论：
上式两边同时乘以不为零的 常数 ，有
，即 。
定理 ： 复数 等价于一个二阶实系数矩阵 。其中 对称矩阵 表示复数的实部， 反对称矩阵 表示复数的虚部 。
复变量函数
复数列
复数列： 一列无穷多个有序的复数
称为一个复数数列，简称为复数列，记为 。
复数列收敛： 给定一复数列 ，设 是一个复 常数 。若对任意给定的 总存在 自然数 ，使当 时，有 不等式
成立，则称 是复数列 当 时的极限，记作
此时也称复数列 收敛于 。如果复数列 不收敛，则称 发散 。
（1）充要条件：设 则 的充要条件是
。
（2）收敛性与抽象角度的度量：假如用抽象集合 来替代 实数 集合 及复数集合 ，并在 中引入抽象距离函数 ，那么便形成了抽象度量空间的概念 。而定义复数序列收敛性这一基本概念要用到 复平面上的度量。在任意的度量空间 中，可以研究 中的点列 ，并能用度量 按与微积分中相类似的方式去定义收敛性 。
复指数
复 指数函数 ： 是表示复数和复函数以及实 三角函数 的工具，对 ，该函数定义为：
复 指数函数 将 映射 到 \ ，它是实指数函数的一个推广，即，若 ，则 ，使用符号 来表示 。
， ，
对 及 是成立的，与 为 实数 的情形不同，最后一个等式（升幂运算）当 不是整数时，一般是不成立的 。
根据 指数函数 的定义，一个纯虚数 的 指数函数 为：
因此复数
是落在单位圆上的，如下图 。
复对数
复 对数 函数： 定义为复 指数函数 的 反函数 。即若 ，则称 为 的 对数 。记作
设 ，则由
可得 ，
于是 ，
其中 表示正 实数 的实 自然对数 ，则
由此可见， 对数函数 是一个多值函数；对于每一个复数 ，有无穷多个 值与之对应，它们的实部都是 ，而虚部相差 的整数倍，如果取 的 辐角 为其主值 ，那么，就得到 对数 函数的一个单值分支，记作
称为 对数 函数的主值 。
类似地，对于式 中每一个确定的 ，都确定了 对数 函数的一个单值分支。这些单值分支均可由主值分支表出
对数函数 的主值 ，除去原点和负实半轴以外，处处连续，在原点和负实半轴上，它是间断的。事实上，设 为负实半轴上任一点，当 在第二象限内趋于 时，有
而当 在第三象限内趋于 时，有
这说明，当 趋于 时， 没有极限 。
对于 的其他分支，也有同样的结论 。
等性质，因而复 对数函数 在一定意义下保持了实对数函数的性质 。
复可微
复可微函数： 是指在复数平面区域 上的每一点的附近能用 幂级数 表示的函数 。全纯函数是一个同时为连续单值及解析的函数 。
设 是在复数域 的开集 上定义的复值函数。点 ，如果
存在，则称函数 是复可微的，称 为 在点 的导致，用 表示。如果 在 的每一点都是复可微的，称 在 是正则的 。
复可微与实可微： 设 是在区域 上的复函数，则 在 是复可微的，当且仅当 在 是实可微的且 ， 。
复三角
复变量 三角函数 ： 复变量的 三角函数 均可用复变量的 指数函数 来表示，如正、 余弦 函数均是用指数函数定义的 。
给定一个复数 ，复数 正弦 和余弦的定义分别为：
，
如果 ，则有
，
。
应用
计算机科学
图像的复制—粘贴（Copy-Move）篡改是一种常见的篡改方式，将一幅图像的某个或多个区域复制后粘贴到同幅图像的其他区域，以改变图像内容。基于图像重叠分块的基本思路是将图像进行重叠分块，提取图像块特征，进行特征匹配，从而定位篡改区域。 四元数 极性 复指数变换可以将待测图像进行重叠分块之后，计算各分块的四元数极性复指数变换不变量，并作为每一块的特征向量，构成特征矩阵。该算法可以有效检测图像中的复制—粘贴篡改，并且对图像旋转、缩放、加噪和JPEG压缩等篡改区域后处理操作具有较好的鲁棒性 。
物理学
许多 物理量 ，如力、速度、电流等，都由 矢量 表示，把矢量的运算代之以复数运算，帮助解决物理学中的一些问题 。例如，在空间科学领域对近地空间、深空等紫外目标的探测系统中，运用复数，将 阳极 与读出 电子学 联合建立模型，可推导出电子学读出等效噪声电荷的计算方法。通过比较，复 共轭 极点成形器等效噪声电荷性能优于实极点成形器，以此为依据优化了电荷灵敏 放大器 输入端参数以及成形器的阶数和 时间常数 ，实现了一种低噪声探测系统 。
工程学
复数与平面 向量 有许多相似之处，它在工程学中也有着广泛的应用 。例如，在工程测量中，为了施工方便，根据需要，在施工过程中往往要将施工坐标转化成施工小坐标，这样的转化在隧洞防线中应用较为广泛。因此，常常通过引入复数的模、复角、旋转角和尺度参数，对工程中大地坐标与施工坐标之间相互转化进行分析、研究、合理优化，可以得出适合工程实际与方便编程应用的简洁公式，避免因坐标转换带来的不便，最终提升工作效率 。