欧拉恒等式

欧拉恒等式，也被称为欧拉公式，是一个在数学中具有重要地位的等式。它将 自然对数 的底e、 虚数单位 i、 圆周率 π以及 自然数 的单位1联系在一起。当x = π时，欧拉公式可以重写为eiπ + 1 = 0或eiπ = -1，这被称为欧拉恒等式。

该等式以 莱昂哈德·欧拉 的名字命名，他是 瑞士 数学家和物理学家。欧拉恒等式是 复分析 中的一个基本公式，它建立了 三角函数 和复 指数函数 之间的关系。 欧拉在《无穷分析引论》中研究了指数函数和对数函数，并给出了欧拉恒等式。欧拉恒等式在数学、物理、 化学 和工程学中都有广泛的应用。物理学家 理查德·费曼 将该 方程 称为“我们的宝石”和“数学中最引人注目的公式”。

专业术语含义

欧拉恒等式是指下列关系式：

其中e是 自然指数 的底，i是 虚数单位 ，π是 圆周率 。

这条 恒等式 第一次出现于1748年 莱昂哈德·欧拉 在 洛桑 出版的书Introduction。这是 复分析 的欧拉公式的特例：对任何 实数 x， ，作代入即给出恒等式。

理查德·费曼称这恒等式为“数学最奇妙的公式”，因为它把5个最基本的数学常数简洁地联系起来。

证明

欧拉恒等式的证明可以通过欧拉公式进行推导。欧拉公式表明，对于任意 实数 x，有{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\}。当x = π时，代入欧拉公式，得到{\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi \,}。由于{\displaystyle \cos \pi =-1}和{\displaystyle \sin \pi =0}，因此{\displaystyle {{e}^{{i}\,{\pi }}}=-1}，最终得到欧拉恒等式{\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}。

用途

莱昂哈德·欧拉 这个公式已经融合于 广义相对论 和 量子力学 结合的m理论，成为 虚时间 的基本架构。也是光 量子纠缠 的数学表示。

与欧拉恒等式有关的文学作品

《 博士热爱的算式 》（博士の爱した数式）， 小川洋子 著，台湾版本由王蕴洁翻译，二版， 麦田出版社 ，2008年，ISBN 978-986-173-408-8。该作品中提到了欧拉恒等式，展现了数学在文学作品中的魅力。