反对称矩阵

反对称矩阵定义是：A=-A’（A的转置前加负号），它的第Ⅰ行和第Ⅰ列各数 绝对值 相等 ，符号相反。且 主对角线 上的元素为均为零。

设A为n维方阵，若有A'=-A，则称矩阵A为反对称矩阵。对于反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元反号。反对称矩阵具有很多良好的性质，如若A为反对称矩阵，则A'，λA均为反对称矩阵；若A,B均为反对称矩阵，则A±B也为反对称矩阵；设A为反 对称矩阵 ，B为 对称矩阵 ，则AB-BA为对称矩阵； 奇数 阶反对称矩阵的 行列式 必为0。反对称矩阵的特征值是0或 纯虚数 ，并且对应于纯虚数的特征 向量 的实部和 虚部 形成的实向量等长且互相 正交 。

基本简介

对称矩阵定义是： （A的转置）

对称矩阵的元素 .特性斜对称矩阵自身相乘的积是对称矩阵。任意矩阵 是斜对称矩阵。若A是斜对称矩阵，x是向量， 斜对称矩阵的 主对角线 元素必是零，所以其 迹数 为零。行列式若A是的斜对称矩阵，其行列式满足若n是 奇数 ，行列式等于零。这个结果叫雅可比 定理 。若n是偶数， 行列式 可以写成部分元素的 多项式 的平方：。这个多项式叫A的Pfaffian。任意实斜对称矩阵的行列式是 非负数 。谱理论斜 对称矩阵 的 特征根 永远以成对的形式（ ）出现，因此一个 实数 斜对称矩阵的非零特征根为纯虚数将会如下 ，其中λk是实数。实斜对称矩阵是 正规矩阵 （它们与 伴随矩阵 可交换），因此满足 谱定理 的条件，它说明任何实斜对称矩阵都可以用一个酉矩阵对角化。由于实斜对称矩阵的特征值是 复数 ，因此无法 用 实矩阵 来对角化。然而，通过 正交变换 ，可以把每一个斜对称矩阵化为方块 对角线 的形式。特别地，每一个 的实斜对称矩阵都可以写成 的形式，其中Q是 正交矩阵 ，且：对于 实数 λk。这个矩阵的非零特征值是 。在 奇数 维的情况中，Σ总是至少有一个行和一个列全是零。

定义

设，若其中元素满足，则称A是 对称矩阵 ；若其元素满足，则称A为反对称矩阵。

若A是反对称矩阵，则，当时，便有，即反对称矩阵 主对角线 上的元全为零，而位于主对角线两侧对称的元反号。

基本性质

反对称矩阵性质1

设A,B为反对称矩阵，则 仍为反对称矩阵。

证明过程：

设A,B为反对称矩阵，即有

则

至此，根据反对称矩阵的定义可得， 为反对称矩阵。

反对称矩阵性质2

设A为反对称矩阵，则仍为反对称矩阵。

证明过程：

设A为反对称矩阵，即有

则有

至此，根据反对称矩阵的定义可得，仍为反对称矩阵。

反对称矩阵性质3

设A为反 对称矩阵 ，B为对称矩阵，则AB-BA为对称矩阵。

证明过程：

已知A为反对称矩阵，B为对称矩阵，即有

故有：

至此，根据反对称矩阵的定义可得， 为对称矩阵。

反对称矩阵注意事项

（1）设A,B为反对称矩阵，AB不一定是反对称矩阵。

（2）设A为反对称矩阵，若A的阶数为 奇数 ，则A的 行列式 为0；A的阶数为偶数，则根据具体情况计算。

定理及其证明

反对称矩阵定理1

奇数阶反对称矩阵的行列式必为0。

证明过程：

设A为反对称矩阵，即有

故有

当n为奇数时，就由，于是。

反对称矩阵定理2

反对称矩阵的特征值是0或纯虚数，并且对应于纯虚数的特征 向量 的实部和虚部形成的实向量等长且互相 正交 。

证明：

（1）设实反对称矩阵A的特征值，相应的特征值向量，其中u，v是实向量。那么由得到

即

分别等置两边的实部和虚部得到

于是

因为（ 点积 ），所以上二式相加得到

又因为，所以

从而。类似地可以知道。因此

于是由推出a=0，从而。

（2）由（1）中可得，所以，即

于是

因为，所以。

此外。由以及可知，即u，v正交。