在数学中，点积又称数量积，是指两个 向量 a∈R n 和b∈R n 的 二元运算 ，运算结果为一个 标量 实数值。它是欧几里得空间的标准内积，其定义可拓展至任意的内积空间并推广至函数等抽象对象；在其它数学结构如四元数与张量中也有其定义；在人工智能的卷积神经网络中是应用广泛的基础工具。
点积有两种定义方式： 代数 方式和几何方式。通过在欧氏空间中引入 笛卡尔坐标系 ，向量之间的点积既可以由向量坐标的 代数运算 得出，也可以通过引入两个向量的长度和角度等几何概念来求解。其性质涵盖正定性、线性性、对称性、柯西不等式等。
两个向量a = [a 1 ,a 2 ,…,a n ]和b = [b 1 ,b 2 ,…,b n ]的点积a·b，具体运算如下：
a·b=a 1 b 1 +a 2 b 2 +……+a n b n 。
使用 矩阵乘法 并把（纵列） 向量 当作n×1 矩阵，点积还可以写为：
a·b=a*b T ，这里的b T 指示矩阵b的转置。
定义
点积有三种定义方式：广义定义、代数定义和几何定义。通过在欧氏空间中引入 笛卡尔坐标系 ，向量之间的点积既可以由向量坐标的 代数运算 得出，也可以通过引入两个向量的 长度 和 角度 等几何概念来求解。
广义定义
在一个 向量空间 中，定义在 上的正定 对称双线性形式 函数即是 的数量积，而添加有一个数量积的向量空间即是 内积空间 。
代数定义
定义它们的数量积（又叫内积、点积）为以下 实数 ：
更一般地，n维向量的内积定义如下：
几何定义
设 二维空间 内有两个 向量 和 ， 和 表示向量 和 的大小，它们的夹角为 ，则内积定义为以下 实数 ：
该定义只对二维和 三维空间 有效。
这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个 向量 投影到第二个向量上（这里，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的 标量 长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。
定义的等价性
以三维空间为例子。
①几何定义推导 代数 定义
设 ， ，根据 向量 坐标的意义可知
根据点乘的 分配律 得
又
所以
注意：点乘的 分配律 在空间内可通过 数学证明 ，无需借助 向量 关系，因此不属于循环推导。
点乘分配律的几何证明：
, 时上式是成立的；
时，
② 代数 定义推导几何定义
设 ， 它们的终点分别为 和 ，原点为 ， 夹角为 。则
在 中，由 余弦定理 得：
利用距离公式对这个等式稍作处理，得
去括号、合并得
点积的值
点积的值与u的大小、v的大小、u,v夹角的 余弦 成正比。在u,v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度；如果为零，那么u,v垂直；如果为正，那么u,v形成的角为 锐角 。显然，零向量与任何向量的点积为零。
两个 单位向量 的点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利用点积可判断一个 多边形 是面向摄像机还是背向摄像机。
向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在 光束灯 的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物体离光照的轴线越近，光照越强。
运算律
交换律 ：
分配律 ：
应用
平面 向量 的数量积 是一个非常重要的概念，利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题，例如 勾股定理 、 菱形 的 对角线 相互垂直、矩形的对角线 相等 等。如证明：
（1）勾股定理： ，则 。
∵
∴
又∵ ，有 ，于是
∴
（2）菱形对角线相互垂直：菱形 中，点 为对角线 的交点，求证
设
∵
∴
又∵
∴
∴
在生产生活中，点积同样应用广泛。利用点积可判断一个 多边形 是否面向摄像机还是背向摄像机。物理中，点积可以用来计算合力和功。若b为单位 矢量 ，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。矢量内积是 人工智慧 领域中的神经网络技术的 数学基础 之一，此方法还被用于动画渲染（ 动画 Rendering）。
线性变换中点积的意义：
根据点积的 代数 公式： ，假设a为给定权重 向量 ，b为特征向量，则 其实为一种 线性组合 ，函数 则可以构建一个基于 （c为偏移）的某一超平面的线性分类器，F是个简单函数，会将超过一定阈值的值对应到第一类，其它的值对应到第二类。