纯粹数学，又称基础数学，是数学的核心，也是最纯粹最抽象的部分。纯粹数学由 数论 、 代数 、几何与分析等分支组成，这几部分相互交叉和渗透，从而产生了解析几何、 解析数论 、 代数几何 等学科。 其中，数论是纯粹数学中最古老、最复杂的产物之一。 此外，研究随机现象的 概率论 ，研究形式推理的 数理逻辑 ，也属于纯粹数学。
纯粹数学一词正式出现在数学文献中是在19世纪初，当时有三种专业数学期刊正式标有纯粹数学的字样，分别是 法国 数学家热尔戈纳创办的《纯粹与应用数学年刊》、 德国 数学家克雷勒创办的《纯粹与应用数学杂志》和法国数学家 约瑟夫·刘维尔 创办的《纯粹与应用数学杂志》。
分类
纯粹数学研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学本身的规律。它大体上分为三大类，即
研究空间形式的几何类，研究离散系统的 代数 类，研究连续现象的分析类
研究空间形式的几何类
属于第一类的如微分几何、 拓扑学 。微分几何是研究 光滑曲线、 曲面 等，它以 数学分析 、微分几何为研究工具。在力学和一些 工程问题（如弹性壳结构、 齿轮 等方面）中有广泛的应用。拓扑学是研究 几何图形 在一对一的双方连续变换下不变的性质，这种性质称为“拓扑性质”。如画在橡皮膜上的图形当橡皮膜受到变形但不破裂或折叠时，曲线的闭合性、两曲线的 相交 性等都是保持不变的。
研究离散系统的代数类
属于第二类的如 数论 、 近世代数 。数论是研究整数性质的一门学科。按 研究方法的不同，大致可分为初等 数论、 代数数论 、几何数论、 解析数论 等。近世代数是把 代数学的对象由数扩大为 向量 、矩阵等，它研究更为一般的 代数运算 的规律和性质，它讨论群、环、 向量空间 等的性质和结构。近世代数有 群论 、环论、 埃瓦里斯特·伽罗瓦 理论等分支。它在 数学分析 、几何、物理学等学科中有广泛的应用。
研究连续现象的分析类
属于第三类的如 微分方程 、函数论、 泛函分析 。微分 方程 是含有未知 函数的 导数 或 偏导数 的方程。如未知函数是 一元函数，则称为 常微分方程 ，如未知函数是多元函数，则称为 偏微分方程 。函数论是实函数论（研究 实数 范围上的实值函数）和复变函数（研究在 复数 平面上的 函数性质）的总称。泛函分析是综合运用 函数论、 几何学 、 代数 的观点来研究无限维 向量空间 （如 函数空间 ）上的函数、 算子 和 极限理论，它研究的不是单个函数，而是具有某种共同性质的函数集合。它在数学和物理中有广泛的应用。
历史
19世纪
“纯粹数学”这个词是从Sadleirian Chair（en:Sadleirian Chair）这个
19世纪中期建立的
教授职位的全名而来的。“纯粹”数学作为一门独立的学科的想法可能就是从那个时候发展起来的。
高斯 一代的数学家没有彻底地区分过“纯粹”和“应用”。之后，专门化和专业化，特别是 卡尔·魏尔施特拉斯 研究
数学分析 的方法，使得两者的区别越来越大。
20世纪
进入
20世纪，数学家们受到
戴维·希尔伯特 的影响，开始使用
公理系统 。
伯特兰·阿瑟·威廉·罗素 建立了“纯粹数学”的逻辑公式，以
量化的
命题为形式。随着数学的公理化，这些公式变得越来越抽象了，“严格证明”成为的简单的标准。实际上，“严格”在“证明”中没有任何新意。以
布尔巴基小组的观点，纯粹数学就是被证明了的。
# 纯粹数学基本理论的深刻变革
（作者：奇东，单位：齐东）
一、绪言（《
古今数学思想
》书中的道白与评论）：
《
古今数学思想》书中 [第四册324页] 指出：“对于 数学基础 的根本问题所提出的解答——经典
集合论 公理化、
逻辑主义 ，
形式主义 ，
直觉主义——都没有达到目的，没有对数学提供一个可以普遍接受的途径。在 库尔特·哥德尔 1931年的工作以后的发展，也没有在实质上改变这种状况，…；该书中又指出：韦尔对数学的现状作了恰当的描述：关于数学最终基础和最终意义的问题还是没有解决，我们不知道向哪里去找它的最后解答，…”,这就是纯粹数学的基本现状，…。《 古今数学思想 》[第四册313页]书中还指出：“…，数学中最重要的进展都不是由于要把逻辑形式完美化而得到的，而是由于基本理论本身的变革，是逻辑依靠数学，而不是数学依靠逻辑。”事实上 逻辑与 数学相互依赖，数学基本理论自身变革怎样变革、如何变革、从哪里作为起点开始变革至关重要，追根溯源，还是要上溯到2500多年前
毕达哥拉斯 时期，从最简单的算术谈起，无容置疑，潜无限数学理论依然是纯粹数学、 应用数学 的根基，因为 无理数 都取近似值，坚决突破玄学数学 自然观 的束缚、彻底打破纯粹数学（
数学基础 ）的“
三大数学流派”与“门户”之见，承认接受实无限数学理论千万不能排斥丢掉了潜无限数学真理，…。向为数学以及为纯粹数学做出过贡献的历代
数学家致以崇高敬意！…。
二、建立起数学数值
辩证逻辑
公理
系统
（的雏形）：
究竟是到数值逻辑系统外部探寻系统运算规律与深刻内涵？还是在数值逻辑系统内部探寻系统运算规律与深刻内涵？很显然，要在数值逻辑系统内部探寻系统运算规律以及深刻内涵、建立起数学辩证数值逻辑 公理系统 （的雏形），使数学理论形成完整的理性认识，事实证明， 数理逻辑 亦不是万能逻辑，数理逻辑与实无限并未完全揭示出辩证数值逻辑公理系统运算规律与其深刻内涵，初等数学与纯粹数学的基本理论尚有诸多不足之处，这就是数学实无限理论和数理逻辑无法解决的数学矛盾与问题，关于数学的无限矛盾，实无限、数理逻辑不能解决的数学矛盾与问题，运用潜无限数学理论与潜无限的科学方法深化提升对 有理数 系统的认识，未尝不可，…，用那10个
阿拉伯数字演绎数学真谛，1生2、2生3、“10”个阿拉伯数字派生无限，确切地说正整数 数列 ： 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……如果从数学的
数论 、
集合论 、
算术与
哲学角度出发，运用算术的方法分别选取：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……，…分别地建立起最基本最原始的幼稚可笑的有理数
数列群与
子集合（为了节省版面本文分数线用斜线表示，敬请谅解）：
第1子系列：
第2子系列：
第3子系列：
第4子系列：
第5子系列：
第6子系列：
第7子系列：
第8子系列：
第9子系列：
第10子系列：
……，……
如果再去分别探索在何范畴内系统的各个子系列各基数间存在着运算规律2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……的（公理） 倍数 关系时、即分别探索在何范畴内各基数间存在着2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……的算术（数学）公理——辩证数值逻辑 公理系统 运算规律：
第1子系列：
第2子系列、第2环节：
第3环节：
第4环节：
第5环节：
第6环节：
第3子系列、第2环节：
第3环节：
第4环节：
第5环节：
第6环节：
第4子系列、第2环节：
第3环节：
第4环节：
第5环节：
第6环节：
第5子系列、第2环节：
第3环节：
第4 环节：
第5环节：
第6环节：
第6子系列、第2环节：
第3环节：
第4环节：
第5环节：
第6环节：
第7子系列、第2环节：
第3环节：
第4环节：
第5环节：
第6环节：
……，……
（一）、数学数值
辩证逻辑
公理
系统
（以下简称为数值逻辑 公理系统 或
系统
）：
关于上述初等数学与纯粹数学的起点，即最简单、最原始幼稚可笑的未被引起人们足够重视的数值运算我们无法将其一一列出，上述运算是否蕴涵着数学数值逻辑系统运算
规律和深刻的内涵？单凭直觉无法正确回答，…，目前，只能实事求是，实话实说，常言道，最简单的、最质朴的恰恰是最深奥的、最难以理解接受的，数学是被应验了，我们将上述运用
亚里士多德 潜无限数学理性认识和在自然 辩证法 （哲学）指导下、在
数论 、
集合论 内涵条件下形成的特殊运算规律与普遍运算规律以及深刻内涵辩证地概括地归纳为：总之，数学辩证数值逻辑系统的各个子系列除了第1系列 例外，上述辩证数值逻辑 公理系统 运算
规律，系统的各个子系列无论是在 奇数 子系列、还是在偶数子系列范畴内均派生
子集合，派生子集合是指（既约分数） 从系统发展变化的过程中产生分化出来占据整数的位置充分地十足地体现其半整性质，因为 是最大的 分数单位 ，所以分数 拥有半整性质；换言之， 小数 0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5,…在系统在各个子系列发展变化的过程中纷纷产生分化出来、均占据整数的位置，揭示着它们的 绝对值 比其他小数的绝对值相对整装，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5,…充分地十足地体现其半整性质，蕴涵着完整的算术（数学）
公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…的 倍数 关系，2是数学（算术）的首要
公理，
当系统子系列在
10
，
100
，
1000
，
10000
，
…
的范畴内：
均派生子集合，不仅揭示着小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，…拥有半整性质，而且在向纵深发展地潜无限的过程中有太多太多的基数是 超越数 数值的有限形式、甚至与其相吻合，形成有限不 循环小数 或潜无限不循环小数（例如 等等）， 是超
超越数的有限形式，是 十进制 小数 的典型代表，在此基础上引进有限·不循环小数（潜 无限 不循环小数）的概念与定义，有限·不循环小数（潜无限·不循环小数）是数学真理最新发现之一，譬如：
圆周率 π=3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，…等等就是有限·不 循环小数 （潜无限·不循环小数），具有替代 无理数 数值的数学实际意义与应用价值（无理数的近似值），…；现将数学数值
辩证逻辑 公理系统 各个子系列笼统的、通项的表达为（仅以正的为代表，符号↓：意指系统的各个子系列均相互派生子集合）：
（此 结构式 上下 交错 对应莫散开）
或者表达为：
（此结构式上下交错对应莫散开）
或者表达为：
第1环节： ，第2环节：
第3环节： 第4环节：
第5环节： ，第6环节：
第7环节： 第8环节：
第9环节： 第10环节：
……，…；或者表达为：系统中的 意指系统各个子系列1，3，5，7，9，11，13，… 奇数 环节上的基数的和， 意指系统各个子系列2，4，6，8，10，12，…偶数环节上的基数之和， 亦是系统的子集合， 它们是集合族、有无穷个子集合或有无穷个数组，其他依次类推，很显然，假如说 的基数是实无限，那么它的基数 有理数 与 无理数 一下子就会全部冒出来，究竟具体有多少、是多少？实无限无人无法具体知晓、如果采纳实无限手段依然会遇到我们的前人所遭遇的结果，因此务必突破传统数学思维观念实无限与传统经典
数论 、
集合论 的束缚，本文并不否定实无限的科学性、亦不否定无理数的客观存在，亦不否认 数理逻辑 比数值逻辑的无比优越性，只是希望承认接受实无限的人们与专家，千万莫否定、排斥掉了潜无限数学理论， 均为有科学秩序的 有理数 ，并非一堆毫无秩序的有理数，式中的 因此务必运用科学的潜无限数学理论来认识、解决数学矛盾与问题，再次强调说明，符号↓意指（相互）派生子集合，在数值逻辑 公理系统 各个子系列从第2系列起各个子系列均（相互）派生子集合，具有普遍意义，（相互）派生子集合是指在数学辩证数值逻辑公理系统运算过程中，分数（ 半整数 ） 从系统发展变化的过程中产生分化出来占据整数的位置充分地十足地体现其半整性质，因为 是最大的 分数单位 ，所以拥有半整性质（实际上无论是在 奇数 系列还是在偶数系列范畴内系统均派生分数形式的子集合，为了节省版面本文没有反复提出，敬请谅解），换言之， 小数 从系统发展变化过程中产生分化出来，占据整数位置，充分地十足地体现其小数的半整性质，为奇数 能被2半整除提供科学的理论依据，系统相互派生子集合，也包涵着整数 由系统发展变化的过程中从系统的 有理数 中分化出来占据整数位置体现整数性质，为偶数 能被2整除提供科学依据，因此说在数值逻辑 公理系统 中相互派生子集合，公理系统蕴涵着完整的辩证数值逻辑运算规律、系统蕴涵着完整的数学（
算术）公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…的 倍数 关系、或者说2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…均是数值逻辑公理系统的
算术（数学）
公理，2是数学公理系统的首要公理，系统具有无穷个子系列、用符号n表示， 采纳潜无限的方法去把握，系统的各个子系列具有无穷个自然连锁环节、用符号a表示， 采纳潜无限的方法去把握，构成永不枯竭的无限的连锁群体和统一体，是数值逻辑对立统一规律的真实体现，是我们人类从数学的必然王国迈向自由王国的有效途径，是我们人类集体智慧的一大体现与结晶，数学数值辩证逻辑 公理系统 是无限开放着的公理体系，纵、横向上只有起点而无终点！它永远倾听人类实践的呼声、满足人类实践的需求，我们人类实践永远不可能达到实无限的程度；很显然，在数学辩证数值逻辑公理系统中的各个子系列无论是在偶数还是在 奇数 环节上均相互派生子集合，尤其分数形式的 半整数 或者说 小数 形式的半整数 自告奋勇势不可挡、在发展变化的过程中纷纷产生分化出来担负起半整性质的重任，尽管这样的分数与其对应着的 小数 极其简单、分数形式的半整数（小数形式的半整数）然而其基本原理与哲理却深刻、深奥的难以理解与接受、甚至不可理喻，只有运用辩证逻辑进行辩证认识、辩证分析、 辩证推理 ，才能够判断推理出 半整数 的半整性质，…；概括而言，偶数能被2整除， 奇数 不能被2整除、奇数（包括素数）却能被2半整除，奇数与偶数（整数与半整数）相反相成对立统一，蕴涵着哲学的对立统一规律，数值逻辑 公理系统 为其提供完整地科学依据，这是数学 自然观 、科学观的重大发现与认识问题，要做出正确选择，要突破 传统数学 实无限、传统经典 数论 与 集合论 的束缚，显然，
广义 内涵的
数论、
广义内涵的
集合论、广义内涵的
算术、
哲学（自然
辩证法 ）四位一体、辩证统一， 自然辩证法 （现代哲学）以对立统一规律为切入点注入初等数学、纯粹数学，为数学真理指明了正确的前进方向，至此，数学（算术）已有科学根据，需要引入数学新概念与定义：譬如分数的半整性质、 小数 的半整性质、单位 小数 （小数单位）、最大的单位小数是0.5等等诸多数学概念与定义， 有理数 属于离散量的范畴，尽管如此，在数轴上、 坐标系 、在数值逻辑 公理系统 中得以体现，广义内涵的整数与 无理数 一样均客观存在、拥有客观存在性，问题的关键所在就是如果理解接受了派生子集合、特殊分数 与特殊 小数 的半整性质，其他数学矛盾与问题便会迎刃而解，或者说难度会大大缩减，…；集合 ， 其他依次类推 , 公理系统 蕴涵着算术的基本法则，关于 无理数 需要具体问题具体分析、具体对待、具体构造无理数数值，引进 实数 、实数系千万莫排斥掉了潜无限数学理论，…。
（二）、数学数值辩证逻辑公理系统（以下简称为数值逻辑公理系统或系统）揭示出丰富深刻内涵、数学概念与问题：
1
、传统经典的 数论 与 集合论 的公理系统凸显巨大的局限性：
很显然，依照传统经典的数论与集合论的理性意识，系统的各个子系列运算规律只有 即只有 奇数 3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，…是
算术（
数学）
公理，没有偶数 倍数 的统一体，经典的数论与集合论无法回答偶数2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，…是否也是系统的
算术（数学）
公理，传统经典的 数论 与集论公理的 公理系统 凸显巨大的局限性，即系统没有偶数倍数的
算术（
数学）
公理，
皮亚诺公理 并非算术的全部，如何探索寻求数值逻辑公理系统成为算术（数学）的首要问题，提升到哲学与数学的高度，它涉及到人们数学观的认识问题，需要艰难地突破传统经典的数论与 集合论 的重大束缚，
认识、发现数学真理是艰难曲折的，承认接受数学真理更加艰难曲折，因为
认识接受真理不仅存在着难度，而且还存在着数学的
辩证
自然观 与朴素的数学自然观的思想矛盾与相互排斥及摩擦，…；
2
、双
素数
：
除了能被1和自身整除外，还仅能被2和一个素数互为整除的（仅以正的为代表）偶数，把具有这样性质的
偶数称之为双素数，双
素数无穷无尽，例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示为两个等值的素数之和，即 双素数星星点点揭示着 哥德巴赫猜想 拥有客观存在性，双素数与素数相互对应：
6，10，14，22，26，34，38，46，58，……
3， 5， 7，11，13，17，19，23，29，……（上下相互对应）
3
、偶数意义的
素数
与素数：
2既是一个素数又是一个偶数，将2称之为偶数意义的素数，偶数意义的素数2具有唯一性，那么就可以将奇素数3，5，7，11，13，17，19，...简称为素数，简化奇素数的名称。
4
、关于
理论上如何认识？在数值逻辑 公理系统 中也是不可能回避的数学矛盾与问题：
（此 结构式 上下 交错 对应莫散开）
或者表达为：
第1环节： 第2环节：
第3环节： 第4环节:
第5环节： 第6环节：
第7环节： 第8环节：
第9环节： 第10环节： ，
……，…；
2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……均为
数学（
算术）
公理，2是 公理系统 首要公理，…，如果将它们展开为数值逻辑公理的另一种表达形式：
第2环节：
第3环节：
第4环节：
第5环节：
第6环节：
第7环节：
第8环节：
第9环节：
第10环节：
第11环节：
第12环节：
第13环节：
第14环节：
第15环节：
…，…在 向 的转换过程中总是蕴涵着
哥德巴赫猜想 ，运算规律不仅具有算术公理 的数学意义，也蕴涵着经典 数论 “ ”的重大意义，我们无法否定它的客观存在性，算术公理 与数论的“ ”二者相辅相成，一脉相承，数论的“ ”其实它就是数值逻辑 公理系统 中各个子系列偶环节上的特殊算术公理，数论的“ ”是数值逻辑公理系统中各个子系列偶数环节上的运算规律，一定要在数值逻辑公理系统中辩证地认识、正确地看待它，数值逻辑公理系统不可能回避如此重大数学矛盾——
哥德巴赫猜想 ：
（
1
）、
哥德巴赫
偶数猜想：大于等于
6
的偶数
=
（一个
素数
+
另一个
素数
）
数论 的“ ”与算术的 在数值逻辑公理系统中一脉相承，在算术公理1+1=2的数值逻辑公理系统中蕴涵着数论的“ ”，数论的“ ”是数值逻辑公理系统各个子系列偶数环节上的算术
公理、是数值逻辑 公理系统 中偶数环节上的运算规律：譬如： 无穷无尽，拥有客观存在性（当然是 辩证推理 ），既不肯定也不否定其真实性、模棱两可、不置可否，这背离了数学（逻辑）
排中律 ，很显然，传统经典的 数论 要证明的“ ”亦是算术公理，依然属于算术的范畴与算术问题，经典的数论要证明的“ ”是完美地，…，弄一个足够多的素数表意义非凡、其意义不亚于证明了“ ”真实性；
（
2
）、
哥德巴赫
奇数 猜想：大于等于
9
的奇数
=
（一个
素数
+
一个双
素数
）
=3
个
素数
之和：
譬如： 很显然，哥德巴赫奇数猜想亦是辩证数值逻辑 公理系统 中奇数环节上的算术公理，是系统奇数环节上的运算规律但属于特殊运算规律，拥有客观存在性，这当然是运用逻辑 辩证推理 ；
哥德巴赫猜想 —— 数论 的“ ”所证明的真实性、以及逻辑上所要摘取的是十分完美地！…。
5
、
分数
单位：
简言之，分子是1、分母是等于、大于2的正整数的分数就是 分数单位 ，譬如 就是分数单位，最大的分数单位是 ，在
数轴上、
坐标系 、数值逻辑 公理系统 中得以体现，分数单位、最大的分数单位 是一个基本单位与相对整体；
6
、单位
小数 （小数单位）
：
什么是单位小数目前尚未形成统一
认识，如果将 分数单位 对应下的小数0.5，0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，…界定为单位小数（小数单位），那么就可以将小数0.5，0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，…统称为单位 小数 （小数单位）·，单位小数涵盖着小数 计数 单位，单位小数的意义比小数 计数 单位的意义更广泛，很显然，最大的单位 小数 是0.5，单位小数与最大的单位小数是0.5是数学真理最新发现之一；单位小数、最大的单位小数0.5的数学与哲学意义，就是最大的单位小数0.5为小数形式的 半整数 拥有半整性质提供 科学理论 根据与支持，小数形式的半整数 拥有半整性质又为 奇数 （含素数）能被2半整除提供科学理论根据与支持，这就是单位 小数 、最大的单位小数0.5的数学与哲学意义！因此，引进单位小数、最大的单位小数0.5是正确的、科学的、切合实际的、是非常必要的！单位小数、最大的单位 小数 是0.5拥有客观存在性，在数轴上、 坐标系 中、数值逻辑 公理系统 中得以体现，是不可分割的相对整体。
7
、
小数
计数单位：
小数 计数 单位是指小数 计数 方法中， 小数点 右边十分位、百分位、千分位、…上的最具代表性的小数单位，分别为： 因为最大的小数计数单位0.1小于最大的单位小数0.5与最大的 分数单位 ，所以不能够揭示出 小数 的半整性质，导致数学真理复杂化与更加抽象化，这就是 小数 计数 单位的局限性，因此务必引入单位小数、最大的单位小数0.5，小数 计数 单位属于单位小数的范畴，很显然，单位小数涵盖着小数计数单位，单位小数的意义比小数计数单位的含义更广泛.
8
、
分数
的
内涵
：
所谓分数的内涵地地道道、千真万确包括着分数的 绝对值 （数值）、 分数单位 、分数单位的个数（份数）、最大的分数单位是 、半整性质（相对整性质）等等概念，因此分数的绝对值（数值）仅仅是分数内涵的一部分，分数的 绝对值 包含着分数单位与分数单位的个数、这是至关重要的，要充分运用好分数单位、最大的分数单位 、分数单位的 个数 （份数）等等概念进行辩证认识、辩证分析分数的深刻内涵，深化提升对 有理数 的理性认识，有必要剖析分数的内涵，…。
9
、
分数的半
整性质（相对整性质）：
其他分数的 绝对值 对比分数 的
绝对值 更零散，换言之，分数 对比其他分数的
绝对值 而言相对整装，在数值逻辑 公理系统 中，把这一相比较而得到的相对整性质统称为分数 的半整性质，简称为半整性质（相对整性质），为什么会拥有分数的半整性质、因为分数 ]的
绝对值 的 分数单位 均是最大的分数单位 ，最大的分数单位 决定着它们的 绝对值 拥有分数的半整性质，可以一次全部确定下来，因为这是规律，无需逐一验证，其他分数不具备半整性质——因为其他分数的分数单位 均小于最大的 分数单位 ，所以其他分数的 绝对值 更零散，因此可以一次彻底排除，无需逐一验证，这也是规律，千万莫产生误解，并非所有的分数都具有半整性质、更不是分数的 绝对值 越大才越具有半整性质，只有分数形式的 半整数 的 绝对值 拥有半整性质，这是由最大的 分数单位 决定着分数 的绝对值拥有半整性质，分数 的半整性质是数学真理最新发现之一，在数值逻辑 公理系统 中占据整数的位置充分地十足地体现其分数的半整性质，
分数的半整
性质的
内涵
与
外延
仅仅适用于
分数 的范畴，不能超越了此范畴，否则就是对分数的半整性质（相对整性质）的误读、误解，…；分数的半整性质是一部分分数的特殊性质、特殊规律，是最抽象、最深奥、最为“弯弯绕”的算术（数学）真理；务必需要说明，分数的半整性质与整数（分数形式的整数）的性质是具有差异性、它们是异中之同、差异中的共性与 同一性 ，并非等同的共性，因此既要认识到分数的半整性质与整数性质的差异性、又要认识到分数的半整性质与整数性质的差异中的共性与同一性，分数的半整性质（相对整性质）是数学真理最新发现之一；…。
10
、
分数形式的
半整数
（半整性质的分数）：
将分数 以及其 绝对值 所拥有的半整·性质统称为
分数形式的 半整数 （半整性质的分数），也就是把正分数形式的半整与负分数形式的半整统称为分数形式的半整数（半整性质的分数），分数形式的半整数拥有相互矛盾的双重性质，其一是分数性质，其二是半整性质，…。
11
、
的
内涵
：
所谓小数的内涵地地道道、千真万确包涵着小数的
绝对值 、单位小数、单位小数的个数、最大的单位小数是0.5、半整性质、小数计数单位、小数计数单位的个数、最大的 小数 计数 单位是0.1等等概念，因此小数的绝对值（数值）仅仅是小数内涵的一部分，需要了解理解消化单位小数、单位小数的 个数 、最大的单位小数是0.5等等概念与含义，小数的 绝对值 不仅包含着小数计数单位与小数计数单位的个数，最大的小数计数单位是0.1，而且小数的绝对值还包含着单位小数与单位小数的个数、最大的单位小数是0.5，这是至关重要的，要充分运用好单位小数、单位小数的个数、最大的单位小数0.5等等概念辩证认识、辩证分析小数的深刻内涵，深化提升对 有理数 的理性认识，有必要深度剖析小数的深刻内涵，…。
12
、
小数 形式的半整
性质：
先举例说明，例如（以
十进制 分数、
十进制小数为例）：为了便于理解接受在举例之前先以小数 计数 单位为例：譬如小数0.9、0.87、0.988、0.7778888、…,小数 ，即小数0.9包含9个0.1，小数 即0.87包含87个0.01，小数 即0.988包含988个0.001，小数 即0.7778888包括7778888个0.0000001，…这些小数的 小数 计数 单位分别是0.1、0.01、0.001、0.0000001、…,最大的小数计数单位是0.1；以 分数单位 与单位 小数 举例说明（与小数 计数 单位以及小数计数单位的个数相类似）即：
即0.5包括1个0.5、 包括1个
即0.6…包括2个0.3…、 包括2个
即0.75包括3个0.25、 包括3个
即0.6包括3个0.2、 包括3个
即0.8333…包括5个0.1666…、 包括5个
即0.428571…包括3个0.142857…、 包括3个
即0.625包括5个0.125、 包括5个
…很显然，单位 小数 0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，……均小于最大的单位小数0.5，所以小数0.6…，0.75，0.6，0.8333…，0.428571…，0.625，0.7…,0.9，…的 绝对值 均比 的
绝对值更零散，换言之，小数 的绝对值均比其他 小数 的绝对值相对整装，在数值逻辑 公理系统 中将 这一相比较而言得到的相对整性质统称为小数 的绝对值的半整性质，为什么它们会拥有半整性质，因为 小数 的
绝对值 的单位小数均是最大的单位小数0.5，最大的单位小数0.5决定着小数 的 绝对值 拥有半整性质，半整性质的小数可以一次全部确定下来，无需逐一验证，这是
规律，其他小数不具备半整性质、因为其他小数的单位小数0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，…均小于最大的单位小数0.5，可以一次彻底排除，无需逐一验证，这也是
规律，本文为了便于人们理解，在前面才如此举例如此说明的，因此， 小数 的内涵不仅包括小数的 绝对值 还包含着单位小数、单位小数的个数、最大的单位小数是0.5，而且单位小数与 分数单位 相互对应、最大的单位小数0.5与最大的分数单位 互相对应（因为 所以最大的单位小数0.5并非凭空而来的，需要形成理性认识）、单位小数的个数与分数单位个数（份数）相互对应，最大的单位小数0.5以及 公理系统 为小数 的 绝对值 拥有半整性质提供理论依据与支持，因为0.5是最大的单位 小数 无与伦比，小数
绝对值的半整性质又为 奇数 能被2半整除提供理论依据与支持，再次说明，并非所有的 小数 也不是小数的绝对值越大越体现小数的半整性质，
小数的半整性质的
内涵与
外延 仅仅适用于
小数 的范畴，否则就是对
小数的半整性质（相对整性质）的误读、误解，…。
13
、
小数形式的
半整数
（半整性质的 小数 ）：
将小数 以及其
绝对值 所拥有的半整性质统称为
小数 形式的半整数（半整性质的小数），也就是将正小数形式的半整与负小数形式的半整数统称为小数形式的半整数（半整性质的小数），
小数形式的半整数其绝对值具有相互矛盾的双重性质，一是半整性质，二是普通 小数 性质，…。
14
、
广义
整数：
将整数与分数形式的 半整数 统称为广义整数，即本文将 统称为·广义整数；亦可以将整数和 小数 形式的半整数统称为广义整数，换言之，即本文将 统称为广义整数；广义整数蕴涵着整数与正、负分数形式的 半整数 ，正、负小数形式的半整数的意义；广义整数、广义数学真理为
量子力学 奠定坚实基础、揭示着大 宇宙 中
微观世界的
原子 、
中子 、
质子 、核外
电子 ，
费米子 、
玻色子 等等粒子的某些运动（
自旋 ）规律，...；在
量子力学 中将 分数 或者说小数 统称为
半整数 或者叫作
量子数 ，实际上它们就是离散量的 有理数 ，因此说： 半整数 与分数形式的相对整数 或 小数 形式的相对整数
内涵
与
外延 是完全
等价的，没有什么差异，就如同 质数 就是素数、素数就是质数其内涵完全等价相类同，因此 半整数 就是分数形式的半整数或小数形式的半整数，分数形式的半整数或小数形式的半整数就是 量子力学 中的半整数，…，
费米子
的
规律分别遵循
，
，
，
，
，
，
…
、
玻色子
的
自旋
规律分别遵循
0
，
±1
，
±2
，
±3
，
±4
，
±5
，
…
，因此
量子力学证明
将
统称为广义整数是切合实际的、是完全正确的。
15
、
1+1=2
所蕴含着的基本原理与对立统一规律：
偶数能被2在抽象意义下自然整除，
奇数 不能被2在抽象意义下自然整除、
奇数（包括素数）却能被2在抽象意义下半整除，因为小数形式的 半整数 （半整数） 拥有半整性质，为
奇数（包括素数）能被2半整除提供科学的理论依据， 或者说2是数学首要公理， 哥德巴赫猜想 —— 数论 的“ ”是数值逻辑 公理系统 中偶环节上的算术公理拥有客观存在性，既不肯定也不否定模棱两可，不置可否，这不符合 排中律 ；其
哲学意义（哲理）：偶数能被2在抽象意义下自然整除， 奇数 不能被2在抽象意义下自然整除、奇数（含素数）却着实能被2在抽象意义下半整除，传统意义的偶数能被2整除、 奇数 不能被2整除是指奇数与偶数二者的排斥性、对立性、差异性，偶数能被2整除、奇数不能被2整除、
奇数却能被2在抽象意义下半整除是指
奇数和
偶数的异中之同、差异中的共性与 同一性 ，恰好与哲学的对立统一规律相吻合，因此说，奇数与偶数（整数与分数形式的 半整数 或整数与 小数 形式的半整数、整数与半整数）相反相成
对立统一， 蕴涵着极其深刻的数值逻辑对立统一规律，换言之 奇数 与偶数（整数与 半整数 ）蕴涵着哲学的
对立统一规律，以上所谈就是算术公理 蕴涵着的基本原理与哲理，
哲学（自然
辩证法 ）以对立统一规律为切入点注入纯粹数学、注入初等数学，为算术（数学）公理 与 数论 的“ ”指明了正确的前进方向！为什么 ，并非质疑算术（数学）公理 的正确性，而是科学地回答算术（数学）公理 蕴涵着的基本
原理与哲理；
应用数学 顺应了 的 客观规律 ，并得到人类无数次实践的检验与证明，早已被实践证明了是正确的 自然科学 真理，纯粹数学（ 数学基础 ）的理论依然处于探索之中，这就是纯粹数学（数学基础）的基本现状，…；常言道，最简单的、最质朴恰恰是最深奥的，数学被应验了，为什么 ，一个最简单的数值逻辑，蕴涵着最深刻的真理对立统一规律、广义整数、广义数学真理。
数学中的整数拥有科学抽象的广义单位“1”，分数形式的 半整数 （半整数）拥有广义的科学抽象最大的 分数单位 、 小数 形式的半整数（半整数）拥有 广义 的科学抽象最大的单位小数“0.5”，这就是数学（算术）的最为抽象的数学意义，依照逻辑、概念、定义分数就是分数、拥有分数性质、小数就是小数、拥有小数性质，然而却偏偏冒出一个半整数的半整性质（相对整性质）来，考验人类科学的智慧与勇气！…。
16
、
狭义·
数学
真理
：
偶数能被2整除、 奇数 不能被2整除、实无限、 实数 系、 数理逻辑 高等数学 、经典的 数论 与 集合论 等等统称为狭义数学真理，狭义数学真理很有必要突破传统经典数论、集合论的束缚！发展成为 广义 整数、广义数学真理，...。
17
、
广义·
数学
真理
：
偶数能被2整除， 奇数 不能被2整除、奇数（包括素数）却能被2半整除、奇数与偶数（整数与 半整数 ）相反相成、对立统一，蕴涵着对立统一规律，为什么 潜无限理性认识、实无限理性认识、广义整数、数值辩证逻辑、数理逻辑等等内涵的数学真理统称为广义数学真理，广义整数是数学真理最新发现之一。
18
、潜无限：
…。
19
、实无限：
…。
20
、
：
将广义整数与分数统称为有理数，广义整数包含着整数（分数形式的整数）、分数形式的半整数，分数包含着分数形式的 半整数 、普通分数；也可以将 广义 整数与小数形式的 半整数 统称为有理数，广义整数包含着整数与小数形式的半整数，小数包含着小数形式的半整数、无限循环 小数 、有限循环小数、有限不循环小数（潜 无限 不 循环小数 ）、普通小数，因为半整数拥有相互矛盾的双重性质。
21
、
有理数系
：
事实证明，完全有必要把 有理数 （域）提升到有理数系统高度去把握，将有理数数值逻辑 公理系统 和深刻内涵统称为初等数学有理数系统、简称为有理数系（统），有理数系是无限开放着的数值·逻辑·公理体系、永远不会终极、永远不会枯竭的数值·逻辑·公理体系，纵横向上只有起点而无终点，正如人文无限和哲学无限的内涵——无穷无尽，一脉相承；有理数系并无什么缺憾，因为有理数系蕴涵着潜无限·不循环小数，尽管潜无限·不循环小数还不是真正的无理数，它却是无理数的化身、拥有无理数的要素和成分，潜无限·不循环小数具有 无理数 的应用价值，实际上是有理数与潜无限·不 循环小数 为初等数学与 应用数学 奠定着坚实的基础，数学也要实事求是，当然有理数（域）系不能替代 实数 系，…。
22
、
：
把
有理数 和
无理数 统称为
实数，…。
23
、
实数
系：
参见数学词典，……。
24
、
广义
整数、
广义
数学真理客观的科学证据：
广义整数、广义数学真理究竟是正确的还是错误的？是数学真理还是数学谬论？如果属于数学真理会有什么应用价值？它困扰、困惑着许多的人们，广义整数有何意义？以往的确无法正确回答如此数学问题，… ；不久前，一次偶然的机遇我看到了
量子力学 ，
等等，
我发现了科学证据，数学潜无限、离散量、广义整数原来是
量子力学的基础，原来广义整数揭示着 宇宙 中
微观世界的
原子 、
中子 、
质子 、核外
电子 等等粒子、
费米子 、
玻色子 的
自旋 规律，整数与分数形式的 半整数 （ 小数 形式的半整数）的数值逻辑对立统一规律揭示着，无论是宏观世界还是微观世界都蕴含着对立统一规律，对立统一规律是
宇宙的普遍规律，费米子与玻色子的自旋运动规律亦蕴涵着对立统一规律，譬如
费米子
的
自旋
规律分别遵循
玻色子
的
规律分别遵循
0
，
±1
，
±2
，
±3
，
±4
，
±5
，
…
，因此广义整数、广义数学真理为 量子力学 奠定坚实基础，
量子力学
的
半整数
又为
广义
整数、
广义
数学真理提供客观上的科学证据与客观支持，
…，潜无限、广义整数、广义数学真理的确派上了用场，尽管我们的前人在量子力学中对形如
（
）
的数称之为
半整数，即量子力学中管
，
，
，
，
，
，
…
叫
半整数， 量子力学 的
半整数 的确亦尚未对半整数形成完整的理性认识，
半整数 从直觉 上巳节 意识到了是介于整数与普通分数的中间数或者说是介于整数与普通 小数 的中间数，潜意识中已带有“半整或相对整”的性质了、但又不同于整数的性质，广义·整数、广义·数学真理拥有多方位实际的应用价值，毋容置疑半整数拥有半整性质，半整数与半整分数、半整小数相吻合、巧合，不仅如出一辙，
半整数拥有半整性质，半整性质与相对整性质（数学的相对整性质性质与 量子力学 的半整性质）一脉相承，半整数与分数形式的半整数、小数形式的 半整数 其内涵与外延、数值完全
等价， 半整数 与整数相反相成对立统一，蕴含着的对立统一规律，因此，
费米子
的
自旋 与
玻色子
的
自旋蕴含着对立统一规律，…。
人们生活中的用语：半小时、半点新闻、半天、半月、半年、 东半球 、西半球、半个世纪等等、即半整数如此都是直觉认识，如果对半整数 或0.5提升理性认识，半整数 或0.5拥有半整性质或拥有相对整·性质，便会形成理性认识；广义·数学真理为 量子力学 奠定坚实基础，量子力学的 半整数 又为广义整数、广义数学真理提供客观上的 科学理论 证据与支持，为什么1+1=2并非空谈数学理论，而是拥有实实在在的应用价值，…。
25
、推论：实无限、 实数 系辩证数值逻辑 公理系统 依然是连锁形式的（ 辩证推理 ）：
潜无限向纵深发展的过程中有限不 循环小数 、尤其是潜无限·不循环小数将会接近或者达到 无理数 数值实无限的程度（这当然是推论），实无限、实数系辩证数值逻辑公理系统的内容与形式依然是自然连锁形式的，依然相互派生子集合， 半整数 依然从系统发展变化的过程中分化出来，充分地体现其半整性质，或者说、半整数 依然会从系统发展变化的过程中产生分化出来，充分地十足地体现其半整性质，为 奇数 （包括素数） 能被2半整除提供客观的 科学理论 依据，蕴涵着完整的数学（算术）运算公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…的 倍数 关系，实无限、 实数 系辩证数值逻辑 公理系统 如下， 的基数均为实数、其他依次类推，符号↓依然是指相互派生子集合（推论仅以正的为代表）：
三、结语：
费米子
的
规律分别遵循
，
，
，
，
，
，
…
、
玻色子
的
自旋
规律分别遵循
0
，
±1
，
±2
，
±3
，
±4
，
±5
，
…
，因此事实证明引进广义内涵的整数
或 是完全正确的，因为 量子力学 是检验广义内涵的整数、广义内涵数学真理的标准，为什么 ，与时俱进开拓创新，
纯粹数学（
）基本理论的深刻变革必将揭开广义内涵数学真理的新篇章，
…。
（该文多字、漏字、谐音字等等问题存在所难免，敬请谅解）