无理数（Irrational number）是实数中不能表示为整数或分数的数。若将无理数写成小数形式，则小数点后将有无限位且没有循环节，故也称为无限不循环小数。 如在计算2的算术平方根时，开方的过程可以无限继续下去，得到的小数1.41421···就不是无限 循环小数 。
无理数最早是由毕达哥拉斯学派成员 希伯斯 发现的。他当正 五边形 的边长为1时， 对角线 既不是整数也不是分数，于是断言正五边形的对角线和边长的比，是人们还没有认识的新数。 希伯索斯的这一发现，动摇了毕达哥拉斯学派的基础，引起了数学界的一度混乱，出现了数学史上“第一次危机”，即“无理数危机”。 1872年， 德国 数学家 null 从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，“无理数危机”得以结束。
无理数可以用 反证法 、 级数 及 多项式 相关 定理 证明 。无理数集具有稠密性 。与无理数相关的概念有无限简单连分数 和 超越数 。常见的无理数包括黄金分割比例 、圆周率与 自然对数 的 底数 ，它们在建筑、物理、 概率论 等领域得到广泛应用。 无理数也是数轴的重要组成部分， 也可以运用到在具有几何形状物体及运动着的物体的轨迹的计算方面； 在 机械设计 中，为了确定一个有关的量，仅用整数和有理数往往还是不够的，而必须用到近似的无理数。
定义
有理数
凡是可用 表示（ 、 是整数， ）的数称为有理数。它可以用 有限小数 或无限 循环小数 表示， 即任何一个有理数，都可以改用小数表示出来：
例如， ，或者 。
反过来，任何一个有限小数（包括小数部分为0的整数）或者无限循环小数，也都可以把它化成 的形式。
例如， ； ； 。
无理数
无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，例如圆周率π、√2等。
人们把这种无限不循环小数或者不能用分数进行表示的数叫做无理数。
例如： 是一个无理数。除此之外，像 、 、 、 等也都是无理数。圆周率是无理数。它是圆的周长与直径的比值，其值约为 3.1415926。
但是开方得到的数并不都是无理数，因为有些数是开方开得尽的数，例如 ， ， 等等，这些数都是有理数。而无理数并不都是从开方得到的，例如上面所说的圆周率π。所以开方开不尽的数都是无理数，而无理数就不一定都是开方开不尽的数。
简史
毕达哥拉斯 （Pythagoras，公元前580-前500年），古希腊哲学家和数学家， 他认为：“任何两条线段之比，都可以用两个整数的比来表示。”两个整数的比实际上包括了整数和分数。因此，毕达哥拉斯认为，世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了。可是不久就出现了一个问题，当一个正方形的边长是1的时候，他们不知道 对角线 的长m是整数还是分数。根据 勾股定理 ，毕达哥拉斯和他的门徒一直找不出这个数。
毕达哥拉斯学派有个成员叫 希伯斯 （Hippasus），对正方形对角线问题也很感兴趣，并花费了很多时间去钻研这个问题。 毕达哥拉斯 研究的是正方形的对角线和边长的比，而希伯索斯发现当正方形的边长为1时，对角线既不是整数也不是分数，于是他断言正方形的对角线和边长的比，是人们还没有认识的新数。
希伯索斯从几何上发现无理数的存在，动摇了毕达哥拉斯学派的基础，引起了数学界的一度混乱，出现了数学史上“第一次危机”，即“无理数危机”。毕达哥拉斯下令封锁 希伯斯 的发现，最后希伯索斯被毕达哥拉斯门徒扔进了大海。
随后相当长的一段历史时期，人们只能认识经验所及的 自然数 以及由它所衍生的有理数。15世纪 列奥纳多·达·芬奇 （Leonardo da vinci）把人们还没认识但理应存在的数称为“无可理喻的数”。17世纪天文学家 约翰尼斯·开普勒 （Keper J）把这些数称为“不可名状的数”。 到了18世纪，为了构建微积分的理论基础，人们开始重视无理数的研究。
由无理数引发的数学危机一直延续到了19世纪的下半叶，1872年， 德国 数学家 戴德金 从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数：非有理数之 实数 ，不能写作两整数之比。若将它写成 小数 形式， 小数点 之后的数字有无限多个，并且不会循环。戴德金把实数理论建立在了严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，持续了两千多年的数学史上第一次危机也得以结束。
1891年， 阿道夫·胡尔维茨 （J.Hurwitz）利用法理（Farey） 数列 ，而不是利用连分数，证明了他的关于无理数的有理逼近的 定理 。1903年， 波莱尔 （E.Borel）指出，无理数的连分数的每三个相邻的渐近分数中，至少有一个满足胡尔维茨定理中的条件。1851年， 约瑟夫·刘维尔 （J.Liouville）构造了第一批可以给出证明的 超越数 。1873年， 埃尔米特 （C.Hermite）证明了数 的超越性，随后1882年，冯·林德曼（F.Lindemann）则证明了数 的超越性。
证明
反证法
例如，求证 是无理数（2不是完全平方数，且不存在大于1的平方因数）。
证明：用反证法证明，假设 是有理数，因此存在两个整数 和 使 （ ，b 互质 ），把等式两边分别取平方得到：
所以，
因为 是偶数（2是其素因子）。，所以 必须也是偶数。 是偶数意味着它可以被2整除，即 仍然是一个整数。
假设 ，即 ，将上面等式代入，得到：
所以，
同理用之前证明 为偶数的方法证明 也是偶数。从上面等式中可以看出 是某个数的两倍，所以它是一个偶数，即 也是一个偶数。
综上， 都为偶数，其与 互质 相矛盾，所以原假设不成立，即 不能被写成分数形式，因此它是一个无理数。
用级数证明
例如，若 ，则数e是无理数。
证明：首先将证明 是无理数， 的级数是 交错级数 ，它各项的 绝对值 逐步地减小，在这样的交错级数中，到第n项为止所形成的误差与忽略掉的第一项同号，而误差的绝对值小于忽略掉的第一项的绝对值，于是，如果 ，则有 不等式
，
由此对任何整数 可得
，
现在 永远是整数。如果 是 有理数 ，则可以取到充分大的 使得 也是整数。这时由上述 不等式 可知这两个整数的差将是介于0和1/2之间的数，而这是不可能的，这说明 不可能是有理数，从而 不可能是有理数。
用多项式相关定理证明
整系数多项式有理数根定理
整系数 多项式 有理数根定理为：设 方程
的每一个系数都是整数，并且 ，这种方程称作整数系方程。如果它有 有理数 根 （其中 为 互质 的整数），那么 和 满足：
利用定理证明无理数
例如，证明 是无理数。
证明：令 ，去掉 根号 ，并整理得：
这是一个整数系 方程 ， 是它的一个根。
根据整系数 多项式 有理数 根 定理 ，这方程的有理根只可能是±1，±23，经检验它们都不满足方程，说明方程没有有理根，即 是无理数。
性质
任何两个不 相等 的无理数之间总存在一个无理数。若 是两个不相等的无理数，不妨设 ，则 仍是无理数，且 。这种性质称为无理数的稠密性。
无理数的有理逼近
通常计算一个无理数（以 为例），通过开方可得到一串近似值1，1.4，1.41，1.414，1.4142···，其精确度越来越高，，即近似值与 （的精确值）之间的误差越来越小，这就是用一串 有理数 来逼近无理数 的过程。
设 是一个 实数 ，考虑所有分母为 （正整数）的有理数，那么 必位于两个分母为 的有理数之间，即存在整数 ，使得 。
取 是两个端点 ， 中离 最近的一个，那么这个数与 的距离不会超过两端点间距离的一半，于是得到：
定理1（狄利克雷逼近定理）
设 是一个 实数 ， 是任意给定的实数，那么存在整数 满足：
证明：先设 是整数，将 等分为 个子区间：
由 抽屉原理 （将n+1个物品放入n个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品数不少于两个 ）， 个 实数 中至少有两个落在同一个子区间中，这两个数可能是 和 ，其中 且互异；也可能是 和 ，其中 。因为 ，所以存在整数 及整数 ，使得
（ 是子区间的长）
不妨认为 ，令 即得 和 。若 不是整数，同理可证。
定理2
实数 是无理数，当且仅当 不等式 成立时，有无穷多对（ 互质 ）整数解 。
定理3（实数无理性的判别准则）
实数 是无理数，当且仅当对于每个 ，可找到整数 和 ，满足不等式 。
证明：如果 是无理数，那么由 定理 2可知，存在无穷多个分数 ， 严格单调上升，且满足 （ ），有
对于每个给定的 ，可取 ，使得 ，由 得
因此 ，满足 。
推论1
设 是一个 实数 ，如果存在 常数 和实数 ，以及无穷 有理数 列 ，满足：
那么 是无理数。
推论2
设 是一个 实数 ，如果存在无穷多对整数 ，使得当 时， ，而且 ，那么 是无理数。
证明：设 是 有理数 ，d是它的分母，那么当 时， 是非零整数，但同时 ，这不可能。
相关概念
无限简单连分数
定义
分数 （ 是整数， 是正整数），称为有限简单连分数，简称有限连分数，常记为 ，若 ，则称之为无限简单连分数。
与无理数的关系
定理 ：任意无理数都可表示成无限简单连分数。
证明：设 是无理数，则由 ，可得：
从而， ，且 ， ，其中 是 的渐进分数。
下证 ，由于
所以， ，即 ，
又 ，所以任意无理数都可表示成无限简单连分数。
超越数
定义
无理数可以进一步分为代数数和超越数。超越数定义：不是 代数数 的数，称为超越数。
定理 1:：超越数是存在的。
证明：用 表示所有的次数为 系数 绝对值 不超过 的整数系 多项式 的 零点 的集合，用 表示所有代数数的集合，则
。
由于每个 是 有限集合 ，所以 是一个可数集合。但是，全体 复数 的集合是不可数集合，因此， 超越数 是存在的。
一些无理数也是超越数
无理数集中，有些数也是超越数，但是需满足这样的条件：设 是实无理数，若存在 常数 ， 有理数 列 ，以及递增的 实数 列 ，使得：
对于所有的 成立，则 是 超越数 。
证明：若 是 代数数 ，设它的次数是 ，由 定理 1，存在 常数 ，使得
对于所有的 成立，但是由于 ，当 充分大时，这与 矛盾，所以 不能是 代数数 ，证毕。
应用
数学领域
无理数是数轴的重要组成部分：坐标几何或解析几何的基础都是数轴的建立，数轴上除了所有的 有理数 点外，还有空隙，这些空隙需要无理数填满。
无理数可以运用到在具有几何形状物体及运动着的物体的轨迹的计算方面：随着人类科技活动的深入，特别是 天文观测 手段提高之后，大量科学数据需要更为精确、合理的分析与计算。
机械设计领域
在机械设计中，为了确定一个有关的量，仅用整数和有理数往往还是不够的，而必须用到近似的无理数。无理数必须用无限不 循环小数 来精确表示，但在实际计算中，是用有限个 有效数字 近似表示的。例如2的平方根可以用无限不循环小数1.414213···精确表示，而在应用中则用有限个数字表示，如1.414。另外一个例子：梁的计算 挠度 通常是一个无理数，常用有限个有效数字近似表示，如0.0376in。然而，如果某一个规定的量用某个确定的数字表示，例如尺寸2.3875in，那么就现实情况看可以认为这是一个已经近似了的无理数。
建筑领域
黄金分割比例定义
黄金分割的比例是一个无理数， 通常用希腊字母φ来表示，大约等于1.618。
设一个符合黄金分割的长方形，它的长度是x，宽度是y。如果用剪刀从中剪掉一个边长为y 的正方形（即图中灰色的部分），剩下的长方形长宽之比依然会符合黄金分割。同时还可以继续剪掉一个正方形（图中黑色的部分），剩下的长方形（图中白色的部分）长宽之比还是会符合黄金分割。即如果这样不断地剪下去，剩余部分的长宽比都是符合黄金分割的。
黄金分割比例应用
在 建筑设计 中，建筑师把黄金分割比例奉为重要的形式美法则。如哥特式城堡建筑就采用了黄金分割比例。 巴黎圣母院 外立面外接黄金分割比例的矩形，矩形中的主体正方形包含了外立面的主要部分，而竖向黄金分割矩形则含有两个塔楼。 辅助线 就是两条在天窗上方交叉的 对角线 ，它们贯穿了建筑外立面带有装饰变化的主要结构的额对角。
物理领域
在物理计算中， 圆周率 ( )作为物理常数运用到物理计算中，如物理单位平面角秒的换算：
概率论
自然对数 的 底数 e在概率论中的应用：根据概率论原理， 正态分布 曲线的数学表达式为：