有理数（rational number）是能够表示为两个整数之比的数（如：p/q，p、q是整数，q≠0），即整数和分子分母都是整数的分数（分母不为零），整数可以看作是分母为1的分数。 它可以写为有限小数或无限循环小数的形式。 由有理数构成的集合为有理数集，用Q来表示。
毕达哥拉斯学派在公元前6世纪左右 对数 的研究做出了重要贡献。他们首次提出了有理数的概念，并研究了数的比例关系。 公元前3世纪， 欧几里得 在其著作《 几何原本 》中详细讨论了有理数和比例理论，奠定了有理数理论的基础。
与有理数有关的概念有正数和负数、整数和分数等。现代随着 数学分析 、数论和 代数 的发展，有理数的理论进一步完善，并在各种数学分支中得到广泛应用，有理数是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是 实数 、 代数式 、 方程 、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。 有理数具有四则运算及混合运算法则， 其运算也满足一定的规律，如分配律、结合律。 有理数的运算具有封闭性， 有理数具有可比性以及稠密性。 在日常生活和生产实践中，经常会遇到具有相反意义的量，如表示温度有“零上”和“零下”、经营情况有“盈利”和“亏损”、水位变化有“升高”和“降低”等等。因此，可将有理数相关知识应用到气候、金融、水文观测等领域以解决实际问题。
定义
有理数
整数和分数统称为有理数（rational number）。 由于整数可以看成是分母为1的分数，因此有理数可以写成 （ ， 是整数， ）的形式；另一方面，形如 （ ， 是整数， ）的数都是有理数， 由有理数的定义知，任何有理数都可以写为有限小数或无限循环小数的形式。 实数 中除了有理数还有 无理数 ，如果不满足上述条件（即不是有理数），它是无限不循环小数，被称之为 无理数 ；这里的“无理数”并非指没有道理的数，而是不能精确表示为两个整数之比的数。
有理数集
一般地，把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。 所有有理数构成的集合为有理数集，用符号 表示。
数集
全体 自然数 组成的集合称为非负整数集或 自然数 集，记作 ；全体整数组成的集合称为整数集，记作 ；全体 实数 组成的集合称为实数集，记作 。 则自然数集、整数集、有理数集和实数集之间的关系如下图所示：
简史
古希腊时期的公元前6世纪，毕达哥拉斯学派首次提出了有理数的概念，并研究了数的比例关系。公元前3世纪， 欧几里得 在其著作《 几何原本 》中系统阐述了有理数和比例理论，为有理数的理论奠定了基础。
1574年，克拉维乌斯（Christopher Clavius）编著的拉丁语版的《欧几里得原本十五卷》（Euclidis Elementorum Libri XV）中， 将“有理数”翻译为“proportio”，取“可比数”之意； 中世纪 的数学家通常用拉丁文词根“proportio”表示“ratio（比）”和“proportionalital（比例）”。同时，克拉维乌斯也用拉丁文词根“ratio”表示“比、比例”的意思。 英国 的数学家翻译时，选取拉丁文“ratio”作为词根进行“有理数”的翻译，全称是“rational number”，意思是“可比数”。
1607年，中国数学家徐光启和西方传教士 利玛窦 （Matteo Ricci）将 克拉维乌斯 的《欧几里得原本十五卷》翻译成古汉语的《 几何原本 》，将有理数“proportio”翻译为古汉语中的“理”，意思是“比值”。可是“有理数”传播到 日本 的时候出现了偏差，日本学者将中国 文言文 中的“理”直接翻译成了“理”，而不是古汉语所解释的“比值”。直到后来中日两国才统一了“有理数”的说法。 无理数 的发现源于毕达哥拉斯学派的一个学生 希伯斯 ，他发现：边长为1的正方形其对角线长度为 ，这使得数学史上第一个无理数诞生， 的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，引起了数学思想上的大革命，历史上称之为 第一次数学危机 。无理数的发现扩充了数域，使人们对数的认识从简单的有理数集扩展到实数集，推动了数学的发展。
相关概念
正数和负数
在算 术数 （除零外）前面放上“+”（读作“正”）号或直接用算术数（除零外）表示的数就叫正数（正号可省略不写）。与正数表示意义相反、且在算术数（除零外）前面加“-”（读作“负”）号表示的数叫负数。 0既不是正数也不是负数。
整数和分数
正整数（也叫 自然数 ）、0、 负整数 统称为整数。 正分数、负分数统称为分数。 分数可以化为 有限小数 和 循环小数 。
相反数和绝对值
数轴上，在原点两边距离原点 相等 的点所表示的两个数叫做互为相反数（opposite number）， 它们分别在原点左右，且关于原点对称。 互为相反数的两个数符号不同，数值相同。一般地， 和 互为相反数， 表示任意一个数，可以是 正数 、 负数 ，也可以是0，规定0的相反数是0。
一般地，数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数 的绝对值（absolute value），记作 。一个正数的 绝对值 是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的 相反数 ，即
。
倒数
乘积是1的两个数互为倒数，这两个数的分子分母颠倒位置。例如： 和 互为 倒数 。
运算法则
加法法则
（ ， 都是正数）。
， ， 。
减法法则
有理数的减法定义为加法的逆运算，减去一个数，等于加上这个数的 相反数 ，从而使有理数的减法转化为求和的运算。有理数减法法则可以表示成 。
乘法法则
两个有理数相乘，可以先确定积的符号，再确定积的绝对值。例如 ， 。一般地，在有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为 倒数 。例如 。 此外，多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘；几个不是0的数相乘，负 因数 的个数是偶数时，积是 正数 ；负因数的个数是 奇数 时，积是 负数 ；几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。
除法法则
有理数的除法可以化为乘法，所以乘除混合运算中先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（除数不能为0）。例如 。
乘方法则
有理数的乘方法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0，0的0次幂无意义。由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。 例如 ， 。
混合运算法则
做有理数的加减乘除乘方混合运算时，应先乘方，再乘除，最后加减；加减法叫第一级运算，乘除法叫第二级运算，乘方叫第三级运算， 同级运算，从左到右进行；如有 括号 ，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
例如 。
运算定律
加法定律
有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。即 。例如 。
有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即 。
例如 。
若 ，则 。
乘法定律
一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换 因数 的位置，积 相等 。即 。例如 。
一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即 。例如 。
若 ，且 ，则 ；若 ，且 ，则 。
混合运算定律
一般地，有理数运算中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即 。例如 。
相关性质
有理数运算的封闭性
如果数集 中的任意两个数，进行某一运算的结果都仍在集 中，可以说数集 对这个运算是封闭的。在有理数集的加、减、乘、除（除数不为零）运算中，对于任意两个有理数，对应的和、差、积、商（除数不为零）仍是有理数，这样有理数集对于加、减、乘、除四种运算都是封闭的。
有理数的可比性
在数轴上表示有理数，有理数从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。例如， ， ， ， 。 数学中对有理数的大小作出如下的规定：
1.负数 和 ，如果它们的 绝对值 相等 ，就算作是相等的数。例如 ，这个规定叫做负数的同一化原则。
2.每一个负数都小于零，也小于任意的 正数 。即 ， （ ， 是正数）。
3.每一个正数和零都大于任意的负数。即 ， （ ， 是正数）。
4.在两个负数里，绝对值大的那一个数较小，绝对值小的那个数较大。即如果 ，那么 ；如果 ，那么 （ ， 是正数）。
有理数是有序的，即任何两个有理数可以比较大小。 由数的扩展原则，有理数集的大小关系符合下面五个基本顺序律：设 ， ， 是任意三个有理数。
1.顺序的三分性：对于 ， ，必有且仅有三种关系之一成立： ， ， ；
2. 相等 的 反身性 ：若 ，则 ；
3.相等的传递性：若 ， ，则 ；
4.不等的反对称性：若 ，则 ；若 ，则 ；
5.不等的传递性：若 ， ，则 。
有理数的稠密性
有理数集与整数集的一个重要区别是，有理数集是稠密的（即任意两个有理数之间存在无穷多个有理数），而整数集是稀疏的。有理数是 实数 的稠密 子集 。 反映在数轴上是任意两个不同的有理点 （有理数 的对应点）和 （有理数 的对应点）之间存在无限多个有理点（有理数 的对应点）。如有两个有理点 和 之间的中点 是一个有理点，而有理点 和 之间的中点 及有理点 和 之间的中点 也是有理点；且有理点 和 ，有理点 和 ，有理点 和 ，有理点 和 之间的中点分别为 ， ， ， 也都是有理点，这说明两个有理数 和 之间存在无限多个有理点。有理点稠密地分布在整个数轴上。有理数的这一性质，叫有理数的稠密性。
相关证明
单调律
加法 单调律：若 ，则 。
证明：由 可知， ， ，
所以 。
乘法单调律：若 ，且 ，则 ；若 ，且 ，则 。
证明：由 可知， ，根据乘法对加法的 分配律 得 。如果 ，根据乘法法则有 ，即 ，所以 ；如果 ，根据乘法法则有 ，即 ，所以 。
传递性
下面证明上一章中不等的传递性，即有理数的大小关系具有传递性。如果 ， ， 是有理数，且 ， ，证明 。
证明：如果 ， ， 这三个数中，没有一个是 负数 ，那么该论断成立。如果 ， ， 中至少有一个是负数，这时有以下几种可能：
1. ， ， 中只有一个是负数。这个负数应该是 ，而 可能是0，也可能是 正数 ， 一定是正数。见有理数大小比较法则，这时必有 。
2. ， ， 中有两个是负数。这两个负数应该是 和 ，而 可能是0，也可能是正数。根据有理数的大小比较法则，必有 。
3. ， ， 都是负数。已知 ， ，根据有理数的大小比较法则，可推得 ， ，于是再根据 正数 不等的传递性，可推得 ，可知 。通过列举各种可能的情况，并都得出了 的结论，因此证得论断是成立的。
应用
在日常生活和生产实践中，经常会遇到具有相反意义的量，如表示温度有“零上”和“零下”、经营情况有“盈利”和“亏损”、水位变化有“升高”和“降低”等等。因此，可将有理数相关知识应用到气候、金融、水文观测等领域以解决实际问题。
气候领域
例：某市今天的最高温为7℃，最低气温为0℃。据 天气预报 ，两天后有一股强冷空气将影响该市。届时将降温5℃。问两天后该市的最高气温、最低气温约为多少 摄氏度 。
解：气温下降5℃，记为-5℃。则有
（℃）， （℃）
所以，两天后该市的最高气温约为2℃，最低气温约为-5℃。
金融领域
例：某公司去年1~3月平均每月亏损1.5万元，4~6月平均每月盈利2万元，7~10月平均每月盈利1.7万元，11~12月平均每月亏损2.3万元。这个公司去年总的盈亏情况如何。
解：记盈利额为 正数 ，亏损额为 负数 。公司去年全年盈亏额（单位：万元）为
（万元）
答：这个公司去年全年盈利3.7万元。
例：一储蓄所在某时段内共受理了8项现款储蓄业务：存入637元，取出1500元，取出2000元，存入1200元，存入3000元，存人1120元，取出3000元，存入1002元。问该储蓄所在这一时段内现款增加或减少了多少元。
解：记存入为正，由题意可得
（元）
所以，该储蓄所在这一时段内现款增加了459元。
水文观测领域
在水文观测中，常遇到水位的上升与下降问题，请根据日常生活经验，回答下面问题。
（1）如果水位每天上升4厘米，那么3天后的水位比今天高或低多少厘米；3天前的水位比今天高或低多少厘米。
（2）如果水位每天下降4厘米，那么3天后的水位比今天高或低多少厘米；3天前的水位比今天高或低多少厘米。
解：规定水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负。
（1）按上面的规定，水位上升4厘米记作“+4”，3天后记作“+3”，则3天后的水位变化是 ；3天前的水位变化是 。所以，3天后的水位比今天高12厘米；3天前的水位比今天低12厘米。
（2）按上面的规定，水位下降4厘米记作“-4”，3天后记作“+3”，则3天后的水位变化是 ；3天前的水位变化是 。所以，3天后的水位比今天低12厘米；3天前的水位比今天高12厘米。