第一次数学危机是关于有理数与 无理数 的危机，是数学史上的一次重要事件，发生于公元前400年左右的古希腊时期。
古希腊 的毕达哥拉斯学派的一个青年希帕斯，首先发现了正方形边与 对角线 之比不能用整数之比表示，即 根号 2不是分数。毕达哥拉斯学派的基本观点之一是“万物皆数”，又认为数就是正整数，正整数也就是组成物质的 基本粒子 原子 。由于希帕斯的发现和这个学派的错误信条相抵触，因而他被这个学派的其他成员抛入海中死了。
第一次数学危机导致数学研究对象从有理数推广到 无理数 ，进一步促使人们从依靠直观感觉与经验转向依靠证明，推动了公理 几何学 与 逻辑学 的诞生和发展。
背景介绍
毕达哥拉斯学派
从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的 纯粹数学 ，来源于 古希腊 毕达哥拉斯学派。它是一个 唯心主义 学派，兴旺的时期为公元前500年左右。他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
有理数的定义
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的 度量 需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。在一条水平直线上，标出一段 线段 作为单位长，如果令它的定 端点 和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边， 负整数 在0的左边。以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一个 有理数 都对应着直线上的一个点。
危机爆发
无理数的发现
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。但是，大约在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的 希伯斯 发现了： 等腰直角三角形 的直角边与其 斜边 不可通约。新发现的数由于和之前的所谓“合理存在的数”——即有理数在学派内部形成了对立，所以被称作了无理数。希帕索斯正是因为这一数学发现，而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，处以“淹死”的惩罚。
直角三角形 的直角边与其斜边不可通约，这个简单的数学事实的发现使毕达哥拉斯学派的人感到迷惑不解。它不仅违背了毕达哥拉斯派的信条，而且冲击着当时希腊人持有的“一切量都可以用 有理数 表示”的信仰。所以，通常人们就把 希伯斯 发现的这个矛盾，叫做希帕索斯悖论。
不过存在另外一种说法称，据说, 正 五边形 的边与 对角线 之比 是最先被发现的 无理数 。
芝诺悖论
古希腊著名 哲学家 埃利亚的芝诺 （约公元前490年~前425年）曾提出四条著名的 悖论 ，也被如今的 数学史 界认定为引发第一次数学危机的重要诱因之一。
第一，“ 二分法 ”。
运动着的东西在到达目的地之前须先完成行程的一半，而在完成行程的一半后，还须完成行程的一半的一半……如此分割，乃至无穷，因而它与目的地之间的距离是无限的，永远也达不到目的地。
第二，“ 阿基里斯 永远追不上乌龟”。
阿基里斯 是 希腊 跑得最快的英雄，而乌龟则爬得最慢。但是芝诺却证明，在赛跑中最快的永远赶不上最慢的，因为追赶者与被追赶者同时开始运动，而追赶者必须首先到达被追赶者起步的那一点，如此类推，他们之间存在着无限的距离，所以被追赶者必定永远领先。
第三，“飞矢不动”。
任何物体都要占有一定的空间，离开自己的空间就意味着失去了它的存在。飞矢通过一段路程的时间可被分成无数瞬间，在每一瞬间，飞矢都占据着一个与自己大小相同的空间，由于飞矢始终在自己的空间之中，因而它是静止不动的。
第四，“运动场”。
有两排物体，大小相同，数目 相等 ，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点，当它们以相同的速度作方向相反的运动时，就会在时间上出现矛盾。 埃利亚的芝诺 认为这可以证明一半的时间等于一倍的时间。
以上四条 悖论 从根本上挑战了毕达哥拉斯学派所一直贯彻的度量和计算方式。
危机解决
关于无理数
约在公元前370年， 柏拉图 的学生 多克萨斯( 欧多克索斯 ，约公元前408—前355)解决了关于无理数的问题。他纯粹用公理化方法创立了新的比例理论，微妙地处理了可公度和不可公度。他处理不可公度的办法，被 欧几里得 《 几何原本 》第二卷（比例论）收录。并且和 狄德金 于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。21世纪后的中国中学几何课本中对 相似三角形 的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。
关于芝诺悖论
芝诺 的四条 悖论 在后来被 亚里士多德 等人成功解释完毕。
第一条 悖论 ：伯内特解释了 埃利亚的芝诺 的“ 二分法 ”：即不可能在有限的时间内通过无限多个点，在你走完全程之前必须先走过给定距离的一半，为此又必须走过一半的一半，等等，直至无穷。亚里士多德批评 芝诺 在这里犯了错误：“他主张一个事物不可能在有限的时间里通过无限的事物，或者分别地和无限的事物相接触，须知长度和时间被说成是“无限的”有两种涵义。一般地说，一切连续事物被说成是“无限的”都有两种涵义：或分起来的无限，或延伸上的无限。因此，一方面，事物在有限的时间里不能和数量上无限的事物相接触；另一方面，却能和分起来无限的事物相接触，因为时间本身分起来也是无限的。因此，通过一个无限的事物是在无限的时间里而不是在有限的时间里进行的，和无限的事物接触是在无限数的而不是在有限数的范围上进行的。
第二条 悖论 ： 亚里士多德 指出这个论证和前面的 二分法 是一回事，这个论证得到的结论是：跑得慢的人不可能被赶上。因此，对这个论证的解决方法也必然是同一个方法，认为在运动中领先的东西不能被追上这个想法是错误的，因为在它领先的时间内是不能被赶上的，但是，如果 埃利亚的芝诺 允许它能越过所规定的有限的距离的话，那么它也是可以被赶上的。
第三条悖论：亚里士多德认为芝诺的这个说法是错误的，因为时间不是由不可分的‘现在’组成的，正如别的任何量都不是由不可分的部分组合成的那样。 亚里士多德 认为，这个结论是因为把时间当作是由‘现在’组成的而引起的，如果不肯定这个前提，这个结论是不会出现的。
第四条 悖论 ：亚里士多德认为，这里错误在于他把一个运动物体经过另一运动物体所花的时间，看做等同于以相同速度经过相同大小的静止物体所花的时间，事实上这两者是不 相等 的。
后续影响
第一次数学危机表明， 几何学 的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战， 古希腊 的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在 希腊 数学中占有特殊地位。同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过 演绎推理 ，并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次革命，是第一次 数学危机 的自然产物。
回顾在此以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。例如， 泰勒斯 预测 日食 、利用影子计算 金字塔 高度、测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于 埃及 、 巴比伦 、中国、 印度 等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，也就继续走着以算为主，以用为主的道路。而由于第一次数学危机的发生和解决， 希腊 数学则走上完全不同的发展道路，形成了 欧几里得 《 几何原本 》的公理体系与 亚里士多德 的逻辑体系，为世界数学作出了另一种杰出的贡献。据史籍记载，古代的希腊和 中国 ，很早就发现了 无理数 。然而东西方却通过不同的途径来认识和发展无理数的理论：希腊人着眼于几何量的长度关系，从 线段 不可公度的几何角度入手，用逻辑方法进行探讨；中国人着重满足实际应用的数的运算，从开方不尽的计算过程入手，通过计算方式来认识并建立其法则。
但是，自此以后希腊人把几何看成了全部数学的基础，把数的研究隶属于形的研究，割裂了它们之间的密切关系。这样做的最大不幸是放弃了对无理数本身的研究，使算术和 代数 的发展受到很大的限制，基本理论十分薄溺。这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年。