在数学中，标量乘法是由线性代数中的 向量空间 定义的基本运算（更一般地说，它是 抽象代数 中的一个模块）。在通常的几何概念中，通过正 实数 的 欧几里得 向量 的标量乘法将矢量的幅值相乘而不改变它的方向。术语“ 标量 ”本身来自于这种用法：标量是向量的幅值。标量乘法是向量乘以标量（乘积是向量），并且必须与两个向量的 点积 （乘积是标量）进行区分。标量乘法可以视为是向量空间的外部 二元运算 或域的 群作用 。其几何诠释是向量的拉长，方向可能会对调。
定义
通常，如果K代表域，V代表K上的 向量空间 ，则标量乘法是从 到V的函数。将该函数应用于K中的c、V中的v表示的结果为 。
属性
标量乘法符合以下法则：
（1）标量中的加法性： （其中v为 向量 ）；
（2）向量中的加法性： （其中v，w为向量）；
（3） 标量 乘积与标量乘法的兼容性： （其中v为向量）；
（4）乘以1不改变向量： （其中v为向量）；
（5）乘以0给出 零向量 ： （其中v为向量）；
（6）乘以-1给出加法逆： （其中v为向量）；
这里+是在域或 向量空间 中的加法；并且0是两者之间的加性特征。并置表示字段中的标量乘法或乘法运算。
解读
标量乘法可以被视为外部 二进制 运算或作为向量空间上的域的运算。标量乘法的几何解释是它通过 常数 因子来拉伸或收缩 向量 。
作为特殊情况，可以将V取为K本身，然后可以将标量乘法简单地作为域中的乘法。
当V为K 时， 标量 乘法等效于每个分量与标量的乘法，并且可以这样定义。
如果K是 交换环 ，V是K上的模块，但是没有加法逆。如果K不可交换，则可以定义不同的运算左标量乘法cv和右标量乘法vc（其中v为向量）。
矩阵的标量乘法
矩阵A与标量λ的左标量乘法得到与A相同大小的另一矩阵λA。
更明确的：
类似地，将矩阵A与 标量 λ的右标量乘法定义为
更明确的：
当底层环可交换时，例如 实数 或复数字段，这两个乘法相同，简称为标量乘法。然而，对于不可交换的更一般环上的矩阵，例如 四元数 ，它们可能不 相等 。
对于一个真正的 标量 和矩阵：
对于四元数标量和矩阵：
其中i，j，k是 四元数 单位。四元数乘法的非交换性阻止了改变 到 的转换。