设A是 数域 上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E。则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为 可逆矩阵 。
注：E为 单位矩阵 。
定义
一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得 并称B是A的一个逆矩阵。不可逆的矩阵称为 奇异矩阵 。A的逆矩阵记作A。
定理
（1）逆矩阵的唯一性。
若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，并记作A的逆矩阵为A。
（2）n阶方阵A可逆的 充分必要条件 是 。
对n阶方阵A,若 ,则称A为 满秩矩阵 或非奇异矩阵。
（3）任何一个满秩矩阵都能通过有限次初等行变换化为 单位矩阵 。
推论满秩矩阵A的逆矩阵A可以表示成有限个 初等矩阵 的乘积。
验证两个矩阵互为逆矩阵
按照矩阵的乘法满足： 故A，B互为逆矩阵。
逆矩阵的唯一性
若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。
证明：
若B,C都是A的逆矩阵，则有
所以 ，即A的逆矩阵是唯一的。
判定简单的矩阵不可逆
如 假设有 是A的逆矩阵，则有
比较其右下方一项： 。
若矩阵A可逆，则
若A可逆，即有 ，使得 ，故
计算
若 ，则矩阵A可逆，且
其中，A为矩阵A的 伴随矩阵 。
性质
1、可逆矩阵一定是方阵。
2、（唯一性）如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作 。
4、可逆矩阵A的 转置矩阵 AT也可逆，并且 (转置的逆等于逆的转置）
5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即 ，则 ，则 。
6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
(1)A与B的地位是平等的，故A、B两矩阵互为逆矩阵，也称A是B的逆矩阵；
(2) 单位矩阵 E是可逆的，即 ，单位矩阵的逆矩阵是它本身。
(3) 零矩阵 是不可逆的，即取不到B，使 。
(4)如果A可逆，那么A的逆矩阵是唯一的。
事实上，设B、C都是A的逆矩阵，则有 。
A的逆矩阵记为 ，即若 ，则 。
可逆矩阵还具有以下性质：
(1)若A可逆,则A亦可逆,且 。
(2)若A可逆,则A亦可逆,且 。
(3)若A、B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆,且 。
证明
1、逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。设B与C都为A的逆矩阵，则有
2、假设B和C均是A的逆矩阵， ，因此某矩阵的任意两个逆矩阵 相等 。
3、由逆矩阵的唯一性，A的逆矩阵可写作（A）和A，因此相等。
4、矩阵A可逆，有 。 由可逆矩阵的定义可知，A可逆，其逆矩阵为（A）。而（A）也是A的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此 。
5、1）在 两端同时左乘A（BA=O同理可证），得 ，故 ）由 （ 同理可证）， ，等式两边同左乘A，因A可逆 。得 ，即 。
可逆的等价条件
2、A行等价与 单位矩阵 I
3、A可写成若干个 初等矩阵 之积。
4、是（当时，A称为奇异矩阵），利用这个方法，来判定一个矩阵是否可逆更加方便。
证明
必要性 ：当矩阵A可逆，则有 。（其中I是单位矩阵）
两边取 行列式 ，
由行列式的性质：
则 ，（若等于0则上式等于0）
充分性 ：有 伴随矩阵 的 定理 ，有 （其中 是的伴随矩阵。）
当 ，等式同除以 ，变成 比较逆矩阵的定义式，可知逆矩阵存在且逆矩阵
求法
求逆矩阵的初等变换法
将一n阶可逆矩阵A和n阶 单位矩阵 I写成一个nX2n的矩阵 对B施行初等行变换，即对A与I进行完全相同的若干初等行变换，目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时，B的右一半矩阵同时化为了A。
如求的逆矩阵A。
故A可逆并且，由右一半可得逆矩阵
初等变换法计算原理
若n阶方阵 A 可逆，即A行等价I，即存在 初等矩阵 P1，P2,...,Pk使得
在此式子两端同时右乘A得：
比较两式可知：对A和I施行完全相同的若干初等行变换，在这些初等行变化把A变成 单位矩阵 的同时，这些初等行变换也将单位矩阵化为A。
如果矩阵 A 和 B 互逆，则 。由条件 以及 矩阵乘法 的定义可知，矩阵 A 和 B 都是方阵。再由条件 以及 定理 “两个矩阵的乘积的 行列式 等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说，这两个 矩阵的秩 等于它们的 级数 （或称为阶，也就是说，A与B都是方阵，且 ）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等 列变换 ，变为 单位矩阵 。
伴随矩阵 法
如果矩阵 可逆，则
注意： 中元素的排列特点是 的第k 列 元素是 的第k 行 元素的 代数 余子式 。要求得 即为求解 的余因子矩阵的 转置矩阵 。 的伴随矩阵为， 其中 称为aij的 代数 余子式。