标准正交基（Orthonormal Basis），也称 法正 交基，是 高等数学 的一个概念。如果有限维欧氏空间V中的一个基两两 正交 或是由单个非零 向量 所成的向量组是 正交向量组 ，则称这个基为V的正交基；如果这个基还是由 单位向量 组成的标准正交向量组，则称之为V的标准正交基。
大约公元前350年前， 古希腊 学者 亚里士多德 在研究力学问题时发现两个力的合成可以用平行四边形法则得到。随着向量概念的引入和 向量 空间的形成，数学家们开始研究向量空间中基的概念。
随着数学软件的发展，正交基的计算变得更加方便，进一步推动了正交基理论在计算数学、 量子力学 和 计算机科学 等领域中的实际应用。如将标准正交基用于 信道编码 。通过结合 密钥 和随机标准正交基的音频伪装方法可充分利用随机标准正交基重构不同精度的秘密音频，且随着选取的幅值系数增多，恢复的秘密音频质量也越来越好，同时所述策略严格依赖于密钥，只有掌握正确密钥的用户才能进行高精度的重构。
简史
大约公元前350年前， 古希腊 学者 亚里士多德 在研究力学问题时发现两个力的合成可以用平行四边形法则得到。随着 向量 概念的引入和 向量 空间的形成，数学家们开始研究向量空间中基的概念。
性质
有限维欧氏空间标准正交基具有以下性质：
1.任一有限维欧氏空间必有标准正交基。
2. 维欧氏空间 的任意一个标准 正交 向量 组都可以扩充为 的标准正交基。
3. 维欧氏空间的基是标准正交基的 充分必要条件 是它的度量矩阵是 单位矩阵 。
4. 维欧氏空间的基是标准正交交基的充分必要条件是它的度量矩阵是单位矩阵。
相关定理
性质： 设 是 维欧氏空间，任一 向量 在标准正交基 下的坐标是 ，则
（1） ；
（2） ；
（3）设 向量 在标准正交基 下的坐标是 ，则 .
推论： 设 是 维欧氏空间，任一 向量 在标准正交基 下的坐标分别是 ， 则
（1）
（2）
（3）
由于欧氏空间中的标准正交基有这些很好的性质，所以在讨论欧氏空间中的问题时，总是取它的一个标准正交基，而不是一般的基。
证明
设 是 维欧氏空间 的一个基，对任意的 .
若
则下列条件是等价的：
1. 是 的标准正交基。
2.
3. .
4. .
5. .
任意的 维欧氏空间都存在标准正交基，且可以从 的任一个基出发按照一定的程序求得（ 施密特正交化 ）.
相关概念
正交矩阵
设 与 是 维欧氏空间 的两个标准正交基。
令 其中 .
则
于是
而
因此可得
即得
则称 是一个 正交矩阵
标准正交基 与 正交矩阵 的关系：
设 是 维欧氏空间 的一个标准正交基，且 则 是 的标准正交基的 充分必要条件 为 是 正交矩阵 。
相关证明
有限维欧式空间标准正交基存在性
施密特正交化
设 是线性无关的 向量 组，取 再取
，
，
，
得到 正交 向量 组 且 施密特 正交化 方法可由 维欧氏空间的任一个基得到正交基，再单位化可得到标准正交基。因此，任何有限维欧氏空间（酉空间）必有标准正交基。
推广
完全规范正交系
从有限维欧氏空间的标准正交基概念出发，构建了无限维欧氏空间的完全规范正交系理论。从而体现了 泛函分析 中无限维欧氏空间的完全规范正交系是线性代数中有限维欧氏空间的标准正交基的自然推广。
定理 ：设 是Hilbert空间， 为Hilbert空间 中的有限或可数规范正交系，则下列命题等价：
（1）对 ；
（2）
（3）
（4）成立Parseval等式：
证明 ： 若 不完备，则 ，使得
但由封闭性有 ， 茅盾
若 则 ，即 所以 因此 但 由投影 定理 ，
设 收敛于 则对任何正整数 ，有
又对 中一切使 的 向量 ，有 .
因此， 由 的完全性，得到 即 所以 由此得到
由于在Hilbert空间 中， 收敛于 中的元不需要任何条件。所以 成立。
应用
计算数学
根据欧氏空间中 向量空间 和 点积 的定义，构造出一组新的欧式空间基函数并证明该基函数为正交基函数，同时给出了该组正交基函数的对偶基函数及其升阶算法。根据 泛函分析 中内积的定义、基函数的定义构造欧式空间的基函数，并证明该基函数是欧式空间的正交基函数。对后续研究欧式空间曲线、 曲面 有着重要意义。
量子力学
在量子力学中，描述粒子状态的 波函数 通常是无限维的 向量 。为了能够计算这些波函数的内积（即概率密度），需要在一组标准正交基函数下展开。这组基函数满足 点积 为零的性质，且每个基函数的模长为1，这使得概率密度易于计算。当某个装置处理和计算的是 量子信息 ，运行的是量子算法时，它就是 量子计算机 。与经典 计算机 不同，量子计算机可以做任意的么正变换，在得到输出态后，进行测量得出计算结果。量子计算机对每一个叠加分量进行变换，所有这些变换同时完成，并按一定的概率幅叠加起来，给出结果的这种计算称为量子 并行计算 。
计算机科学
在 通信系统 中，标准正交基用于 信道编码 。传统基于Tangram的音频伪装方法所采用的变换模型为 仿射变换 模型，变换精度低且不满足基本的 正交 关系，从而无法保证秘密音频与公开音频之间的拟合精度，同时当分段变换音频为恒值序列时，需添加随机扰动以保证变换后音频的恢复质量，由此会降低信道传输音频的 听觉 质量。针对此问题，提出一种结合 密钥 和随机标准正交基的音频伪装方法。通过此种方法可充分利用随机标准正交基重构不同精度的秘密音频，且随着选取的幅值系数增多，恢复的秘密音频质量也越来越好，同时所述策略严格依赖于密钥，只有掌握正确密钥的用户才能进行高精度的重构。