满射（surjection）也称到上映射，一个函数 是满射，当且仅当对于陪域（codomain）B 中的每一个元素b，都存在定义域（domain）A 中至少一个元素 a，使得 。也就是说，函数的值域（range）等于其陪域 B。
康托尔 在1874年提出了集合的定义，此后进一步定义了集合的 子集 、 交集 、 并集 、映射等一系列概念。 1954年， 法国 数学团体尼古拉·布尔巴基（Nicolas Bourbaki）的《数学原本卷一：集合论》中首次提到了 单射 、满射、 双射 的概念（injection、surjection、bijection）。 既是单射又是满射的 映射 称为双射。
满射具有很多性质，如 是满射的 充分必要条件 是对任何 。 数学中有很多函数具有满射性，证明一个映射是满射的一般方法是从映止集合中任取一元素 ，设法构造出映始集合的一个元素 ，使 。 满射函数在数学、 密码学 、实际生活中有很多实例，如线性变换、认证码、快递配送等。
定义
集合
集合（set）也称集，是一个不加定义的原始概念。通俗地说，集合是将一些对象放在一起作为一个整体来考虑，组成集合的对象称为这个集合的元素或简称元。若 是集合 的元素，则称 属于 ，记为 。若 不是 的元素，记为 。当某一集合 的元素为 时，可写作 ，称集合A由元素（对象） 聚合而成。由所有具有某一性质 的对象 聚合而成的集合，通常记为 或 。
映射
设 、 是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对 中每个元素 ，按法则 ，在 中有唯一确定的元素 与之对应，那么称 为从 到 的映射，记作 ，其中 称为元素 （在映射 下）的像 ，并记作 ，即 ，元素 称为元素 （在映射 下）的一个原像。
在映射 中，始集 ( )称为映射 的定义域，记为 或 ；终集 ( )称为 映射 的陪域，记为 或 ； 称为映射的 值域 ，记为 或 。
映射又称算子。根据集合 的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称。例如，从非 空集 到数集 的映射又称为 上的 泛函 ，从非空集 到它自身的映射又称为 上的变换，从实数集（或其子集） 到实数集 的映射通常称为定义在 上的函数。
满射
满射也称到上 映射 ，指陪域与值域 相等 的映射，当 时的映射 。
相关概念
单射
单射也称 双射 。映射 对任何 均有 ，即对于 的 值域 中的任一元素 ， 。单射不必是满射。
双射
双射也称满单射、一一对应、到上的一一映射等，指同时是单射和满射的映射。
单射、满射、双射像与原像的关系
单射：对于 映射 的值域 中每个像元素 ，都唯一存在自己的原像 。
满射：集合 中的每个元素 都存在原像 。
双射 ：集合 中的每个元素 都唯一存在自己的原像 。
历史
集合的思想可以追溯到 古希腊 的 原子论 学派，他们把直线看成一些原子的排列。19世纪初，数学界对 数学分析 基础的批判运动促进了 集合论 的诞生。1851年， 波尔查诺 发表著作《无穷悖论》，肯定了实无穷的存在，建立了集合等价的概念，还注意到无穷集合的某些真部分有可能等价于整体的情况。1870年 格奥尔格·康托尔 应朋友海涅邀请开始研究函数的三角级数表示的唯一性问题。他在1871年至1872年的论文中逐步把三角级数展开的唯一性条件推广到允许例外值成为无穷集的情况，把函数间断点问题的研究过渡到对点集本身的研究，明确提出了点集、点集的导集、导集的导集等由 实数 构成的更复杂的集合。1873年12月7日，康托尔在给 戴德金 中的信中说，他已成功证明了实数集是不可数的。 康托尔 在1874年提出了集合的定义：“一个集合就是我们的直观或我们的思想上那些确定的、能区分的对象（它们称为集合的元素）汇集在一起，作为一个整体来考虑的结果。”这里用汇集来定义集合是同义语反复。之后人们认识到集合是一个原始的概念，不能用其他概念来定义，而只能加以描述或说明。在集合概念产生后，进一步定义了集合的 子集 、 交集 。 并集 、 映射 等系列概念。
1954年， 法国 数学团体尼古拉·布尔巴基（ 法语 ：Nicholas Bourbaki）的《数学原本卷一：集合论》（法语：Théorie des ensembles，Éléments de 数学 ématique Première Partie）中首次提到了 单射 、满射、 双射 的概念（injection、surjection、bijection）。在此之前，学术界同概念使用的词是一对一关系、到上、一对一到上（one-to-one、 onto、one-to-one onto），布尔巴基对术语进行了标准化并得到了广泛认可，最终形成了如今的数学名词。
性质
满射有下列性质：
1. 是满射的 充分必要条件 是对任何 。
2.若 ， 均为满射，则 也是满射。
证明 对于任意的 ，因为 是满射，必存在 ，使得 。而对于 ，因为 是满射，必存在 ，使得 。于是有： 。因此 是满射。
3.对 ， 均为满射，若 是满射，则 是满射，并且 。
证明 对于任意的 ， 是满射，则存在 ，使得 ，即 。因此，有 ，使得 ，因此， 是满射。
4.满射有右逆 映射 ，对满射 可以定义 ，使 是集合 上的恒等映射。这只要对任何 ，在 的全原象中指定一个元素 为 .当满射不是 单射 时，这样的右逆映射不只一个。
5.在映射 下， 是满射。
6.若 是满射，则对任何 ，有 。若 不是满射，则存在 ，使 。
7. 是满射的 充分必要条件 ：对任意两个 映射 , ，当 时， 。
满射性
在数学函数论中，证明一个映射 是满射的一般方法是：从映止集合中任取一元素 ，设法构造出映始集合的一个元素 ，使 。
例1 设 是实数集， 是正实数集，证明映射 是满射。
证明 任取 则 是正 实数 ，即 。令 ，则
例2 设 表示区间 ， 表示区间 。证明 映射 是满射。
证明 任取 ，则 ，于是 ， ，即 ，
令 ，则 。
即任取 ，总存在 ,使 。所以 是满射。
在 代数 中，也有满射性的证明。
例3
向量空间 设 是一个非空集合， 是一个域。在 上定义了一个 代数运算 ： ，叫做加法，把 称为 与 的和，记作 。在 与 之间定义了一个运算，即 到 的一个 映射 ： ，叫做 纯量 乘法（当 为 数域 时，也叫数量乘法），把 称为 与 的纯量乘积（当 为数域时，也叫数量乘积），记作 。如果加法和数量乘法满足下述8条运算法则：对任意的 ，任意的 ，有
1° （加法 交换律 ）；
2° （加法 结合律 ）；
3° 中有一个元素，记作0，它使得 ，具有这个性质的元素0称为 的零元素；
4° 对于 ，存在 ，使得 ，具有这个性质的元素 称为 的负元素；
5° ；
6° ；
7° ；
8° ，
则称 是域 上的一个 向量空间 。
同构 映射 设 和 都是域 上的线性空间，如果有 到 的一个 双射 ，使得对于任意 ，有 ， ，那么称 是 到 的一个同构映射（简称为同构）。如果 到 有一个 同构 映射 ，则称 和 是同构的，记作 。
同构映射是满射。 设 是 上的 维 向量空间 ， 是 的一个基， 的每一个 向量 都可由 唯一表示成 因此，在这个基下，任一 向量 都对应其唯一的坐标 ，记为 ，则 是从 到 的满射。
证明 对 中任一向量 对应唯一的向量 ，因此 是从 到 的满射。
应用
数学
在不同的数学学科分支中，满射具有不同的名称。在函数论中，一个函数如果既是满射又是 单射 ，那么它就是一个 双射 函数，也称为可逆函数。可逆函数在数学和工程中有广泛的应用，可用来求原像、极值点等。 在线性代数中，满射函数通常与线性变换相关联。对于一个线性变换，如果它是满射的，目标空间中的 向量 或矩阵都有原像。这在 向量空间 和矩阵理论的研究中具有重要的应用。如果两个线性空间上的 映射 是满射，这时的线性映射称为满 同态 。 在 数值分析 中，满射函数可以用来进行函数逼近。通过构造满射函数，可以将一个复杂的函数逼近为一个简单的函数。
计算机
检索
利用具有满射性质的散列函数可以用来分配 内存 地址，迅速检索服务器上的记录。
在学生档案库场景中，用散列函数分配机房服务器的内存地址可以迅速检索到学生记录。可用散列函数 ，其中 是可供使用的内存地址的数目。散列函数 将内存地址 分配给以 为关键码的记录。每个关键码唯一地标识一个学生记录，可用学生的学号作为关键码。
例如当 ，因为 ，则20050724068为学号的学生的记录分配到的地址是85。由于散列函数不是一对一的，可能有多个记录分配到同一个同一个 内存 地址，引起冲突。消除冲突的办法是使用散列函数已被占用的地址后面第一个未使用的地址。如分配学号为20050744048的学生记录，由于 ， 会把这一学号 映射 到地址85，但此时85已被学号为20050724068的学生占用，因此学号为20050744048的学生应映射到地址86。
密码学
现代密码学的认证技术是防止第三方主动攻击的有效手段。认证的主要目的，一是验证信息发送者的身份，二是验证信息的完整性。其中认证码的设计利用了满射的概念。以下是认证码的数学定义。
设 ， 与M为非空有限集， 为满射，若以下条件满足：
(i)对 与 ,若存在 使 ，则 由 和 唯一确定；
(ii)
则称序组 为一个以 和 为参数的认证码，并记作AC 。集合 称为源 状态空间 ， 称为编码规则集或 密钥 空间， 称为消息空间， 称为编码函数或认证函数。
假定发信者与收信者实现随机选取一个编码规则 ，当发信者打算向收信者发送原状态 时，他首先求出消息 ，然后将 发送给收信者。由上述认证函数定义中的条件(i)，收信者可以根据编码规则 来检验所收到消息的真实性。为说明认证码的认证作用，对 ，令 ， 叫做编码规则 的合法消息集，它是 的一个 子集 。当收信者收到一个消息 时，先检查 是否存在 的合法消息集 中。若 ，则将 作为经过认证的消息予以接收，并由 求出唯一的原状态 。而若如 ，则确认此消息已被篡改为拒绝接收。不同的编码规则通常具有不同的合法消息集。因此，为减少第三方攻击成功的概率，应经常更换所使用的编码规则。