态射（morphism ）是两个 数学结构 之间保持结构的一种过程抽象，是从 X 指向 Y 的箭头，其中 X小于等于Y。 在 集合论 中，态射就是函数；在 群论 中，它们是群 同态 ；在 拓扑学 中，它们是 连续函数 ；在 泛代数 的范围中，态射通常是同态； 范畴论以抽象的方法来处理数学概念，将这些概念形式化成一组组对象及态射。
1890年代， 戴德金 （Richard Dedekind）强调保持集合上的运算不变的 映射 （即态射）。但直到20世纪30-40年代，对结构的一般概念的表述仍集中于集合、集合的元素以及定义在它们上的运算和关系，没有强调态射。 20世纪40年代， 塞缪尔·艾伦伯格 （Samuel Eilenberg）和 桑德斯·麦克兰恩 （Saunders Mac Lane）为了搞清楚某些 同构 （等价）的“自然”变换的精确含义合作了《自然等价的一般理论》，其中包括：一个范畴是由一些对象组成的类给出的，对于每个对象对（ ），都存在一个从 到 的对应（称为态射）的集合。
态射可分为同构、满 同态 、单同态、双同态、 自同态 和 自同构 等。 态射可以进行复合运算、单位运算和域运算。 态射广泛应用于不同领域，在数学领域中，是一种分析结构之间的联系和转换的有力工具， 用以理解数学的结构本质； 在 计算机科学 领域中，态射应用于程序之中，如软件体系结构动态演示等。 在心理学领域中，可以提供认知过程和认知结构整合的合适模型。
定义
态射是两个 数学结构 之间保持结构的一种过程抽象，是从 指向 的箭头，其中 小于等于 。 在 集合论 中，态射就是函数；在 群论 中，它们是群 同态 ；在 拓扑学 中，它们是 连续函数 ；在 泛代数 的范围中，态射通常是同态； 在范畴论中，态射描述结构中对象之间的关系。
令 和 是两个具有相同标号的（朴素）结构，并且 是结构 的基础集， 是结构 的基础集， 是一个 到 的函数，即 ，并且满足 对每个标号 和 的元素 ， 使得 成立，则称 是从结构 到结构 的一个态射，记作 。
相关概念
单态射
设 是范畴， 是 的态射，如果对 的任意态射 若 必有 （或说 可以左消去），则称 是单态射。
满态射
设 是范畴， 是 的态射，如果对 的任意态射 ，若 必有 （或说 可以右消去)，则称 是满态射。
双态射
设 是范畴， 。若 即是 单态射 又是满态射，则称 是一个双态射。
常态射
设 是范畴， 。若对范畴 中任意一对态射 ， 都有 ，则称 是一个常态射。
共常态射
设 是范畴， 。若对范畴 中任意一对态射 都有 ，则称 是一个共常态射。
零态射
设 是范畴， .若 即是常态射又是共常态射，则称 是一个零态射。
历史
戴德金 （Richard Dedekind）将 映射 概念置于 纯粹数学 概念的核心，作为算术、代数和分析的唯一基础，这种态度在十九世纪的数学家中并不常见。戴德金从1870年代开始强调集合和集合上的映射，在1890年代强调保持集合上的运算不变的映射（即态射），如1894年域的同构映射，这标志着 代数结构 概念获得发展。但直到20世纪30-40年代，对结构的一般概念的表述仍集中于集合、集合的元素以及定义在它们上的运算和关系，没有强调态射。
20世纪40年代， 塞缪尔·艾伦伯格 （Samuel Eilenberg）和 桑德斯·麦克兰恩 （Saunders Mac Lane）为了搞清楚某些 同构 （等价）的“自然”变换的精确含义合作了《自然等价的一般理论》，它公理化地系统论证了两人1942年发表在美国国家科学院院刊（Proceedings of the National Academy of Sciences）上的预告论文里介绍过的 函子 、范畴和自然等价等一连串的新概念。其中包括：一个范畴是由一些对象组成的类给出的，对于每个对象对 ，都存在一个从 到 的对应（称为态射）的集合。
相关运算
态射满足复合运算律、 结合律 以及单位态射等运算关系。
复合运算
1.如图所示：态射 与态射 复合得到态射 ，记为 。
2.若 ；态射 ，则存在唯一的复合态射 ，称为 与 的复合；
恒等态射
对于任意的对象 ，存在态射 称为恒等态射，使得 和 对于任意的 和 成立。
1.每一个对象 ，存在一个态射 ，使得对任意的 及 有 ， ，称为单位态射， 单位态射也称为恒等态射。
2.每一个对象 ，存在一个单位态射 ，使得对任意的态射 ，有 。
3.如图所示： ， ，根据态射的复合，可得 ， 。
结合律
1.若 ；态射 ，则 ；
2.如图所示：根据态射的复合，可以得出 ； ；进一步复合，可得出 与 都表示 与 之间的态射，因此有 。
域运算
一组态射的集合 ，其中，态射 ， ；称 是 的 论域 ， 为 的余论域（陪域 ），记作 ， 。
陪域运算
态射通常用箭头表示 ，其中箭头从其定义域到其陪域。例如，如果一个态射的定义域是X，陪域是Y，那么这个态射可以表示为 。
分类
态射的类型有 同构 、满 同态 、单同态、双同态、 自同态 和 自同构 等。
同构
同构也称为可逆态射，或同构态射。设 是范畴， ， 。若存在 使得 ，则称 为可逆态射，或同构态射，简称同构，并称 为 的逆态射。此时称 中的对象 与 是同构的。若 的逆态射 存在，则易证它是惟一的，并记作 。
满同态
设 、 、 都是 内的 二元运算 ， 、 、 都是 内的二元运算， 。如果 到 的 满射 满足 那么就称 到（ ）的满 同态 映射 ；若由（ ）到（ ）存在满同态映射，那么就称这两者满同态，记做（ ） （ ）或（ ） （ ）；
如果 ， ， ，那么就称 为（ ）的一个满 自同态 映射 或满自同态（ ）。
单同态
设（ ， ）和（ ， ）是两个群. 和 分别是 和 上的 二元运算 ，又设 是从 到 上的一个映射，若对 ，有 ，则称 是由群 到群 的一个同态映射。简称群同态；如果 是 单射 的，则称 是 到 的单同态。
双同态
设 ， 是两个同类型的 —双模，若 是 同态 ，又是 同态，则称 为一个 —双同态。
自同态
设 ， 是 代数 系统，如果 是从 ， 到 ， 的同态，则称 为自同态。
自同构
设 ， 是代数系统，如果 是从 ， 到 ， 的 同构 ，则称 为自同构。
举例
在集合范畴中， （在某个给定的 集合论 模型中），其对象为集合，态射为 映射 。
在群范畴 中，其对象为群，态射为群 同态 。类似地有 群范畴 、环范畴 和 模范畴 。
在 拓扑空间 范畴 中，其对象为拓扑空间，态射为连续映射。类似地有 拓扑群 范畴 ，其对象为拓扑群，态射为连续的群同态。可微 流形 为对象光滑，映射为态射的范畴 。
在拓扑空间 同伦 范畴 中，其对象为拓扑空间，态射为连续映射的同伦等价类。
在点拓扑空间范畴 中，其对象为序对(X,x)，其中X是非空拓扑空间， ，态射为保点连续 映射 （ 称为保点连续映射，当且仅当 是连续映射并且满足 ）。
在 函子 范畴中，态射是自然变换，函子可以视为小范畴的范畴中的态射。
应用
数学领域
理解数学结构
态射是一种分析结构之间的联系和转换的有力工具。 “态射”作为数学域的中心特性被范畴论最初直接应用，通过范畴统一理解数学内容。随着 数学结构 主义思想的普及，“态射”被用以理解数学的结构本质。数学结构由对象与对象之间的关系决定，而范畴论是对象与态射的理论，据此，范畴论与数学结构产生了关联，而且范畴论的对象与态射语言在表达结构时非常契合，譬如一个拓扑结构，只需要考虑空间之间的连续 映射 ，不需要考虑空间中涉及的无结构内容。 范畴的结构性质是通过态射表述的，因为范畴中的对象除了与同范畴中其他对象之间的关系外不具有任何其他性质，而对象与其他对象之间的关系就是态射。
测量
德国 数学家奥托·霍尔德（Otto H ö lder）将 几何学 的公理学方法运用于测量理论，首次实现了对象域内发生事实的数值表示条件必要性和充分性问题的研究。在霍尔德看来，对象显示出一定的属性量级，组成了定性比较组合系统，这里的“表示”即为 同构 的含义。根据霍尔德的研究，“未来标准分析的一个重要部分将是建立了一个比较组合的经验系统必须满足的公理，使一个 加法 态射将这样的系统转换成 实数 ，因为由于相加性测量是测量的 范式 ，对其条件的分析将是度量化的范式。
计算机领域
程序
在 计算机科学 中，态射表示过程的想法出现在应用程序中，程序由范畴中的态射表示，数据类型是对象。 范畴论方法在计算机科学中应用的主要思路是：将具有相似特征的不同研究对象及其关系高度抽象为一个统一的范畴概念。而态射则是实现这种抽象的数学工具。同时，每个对象均可由恒等态射等价替换，即态射是范畴论研究与应用的核心。 下面是态射在软件体系结构动态演示中的运用：
设有一个软件体系结构，它对应的超图为 ，再给定一个超图产生式规则 ，其中 为超图 到超图 的一个部分超图单射，如果运用超图产生式规则 可由 变换得到 ( 为另一个软件体系结构超图），则称 为一个软件体系结构演化产生式规则，简称为软件体系结构演化规则。
算法
态射在基本分类器的 机器学习 中应用，其具体描述：假设输入空间为对象 ，且 ，样本集对象 ，其中 ， 是 的目标值， 是对象 中的元素。从样本集对象 中可以获得 个 映射 ，其中 是从对象 到对象 的态射，即 为预测态射。但需要寻找一种态射 ，通过态射 联系 和 ，使得 ，此时态射 即为最终的预测态射。因此，定义分类器算法为分类器范畴算法，记作 。通过上面对分类器范畴算法 的描述，可看出态射 与态射 的关联以及区别是此算法的重点。因此，为提高算法精确度，增加 态射的差异性和多样性，能够缩小误差。
心理学领域
态射是 皮亚杰 认知发展范畴思想的核心成分，它在发生认识论中代表比较、对应、关系等。除此之外，根据皮亚杰等人大量的实验，发现态射还能标示认识过程中所有的行动类型，而且能使结构定义得到简化，使结构的分离与转换成为可能。其中所涉及的一般化、抽象与具体化，很真实地反映了认识的动态转换。
态射是一种概念化过程，自身有一个建构与发展过程，态射在范畴论内亦可成为具体对象。所以在应用态射描述越来越抽象的思维过程时，它可以是下一水平的形式，又可以是上一水平的内容。所以，态射可以把认知过程的动态的、交换性、平衡化、反省抽象、概括化以及开放的可能性等有机地整合在一起，进而为认知过程和认知结构的整合提供合适模型，可以让人们从认识的最基本水平开始向前进行 系统分析 。