代数数域

代数数域是数学中代数数论的基本概念，数域的一类，有时也被简称为数域，指 有理数 域 ℚ 的有限扩张形成的扩域。任何代数数域都可以视作 ℚ 上的有限维 向量空间 。对代数数域的研究，或者更一般地说，对有理数域的代数扩张的研究，是代数数论的中心主题。

简介

命 为一个 n次 代数数 ，即一个有理系数 n次不可约 方程 的根。

易证所有形如 的数，此处 为 有理数 ，所构成的集合，对和、差、积、商（除数非零）是自封的，所以构成一个域，这就是有理数域 添加 所得的单扩张( simple extension)，常以 记之。可以证明对于 的任何有限扩张(finite extension) ，其中 都是 代数数 ，均可找到一个代数数 使 。因此，只要考虑 的单扩张即可，称 为一个代数数域。

所满足的不可约 方程 的次数即定义为 的次数。

举例

最小最基本的代数数域是 有理数 域ℚ 。因为ℚ 自身是ℚ- 向量空间 ，维数是1。因此ℚ 是ℚ 自身的 域扩张 ， 。 高斯 有理数ℚ(i)（i为 虚数单位 ）是数学家发现的第一个非平凡代数数域的例子，它是所有形同： 的数构成的集合。

可以证明，ℚ(i)是域，而且是ℚ-向量空间，以 为基，空间维数是2。所以ℚ(i)是ℚ的二次扩张， 。

给定不是完全平方数的正整数或 相反数 不是完全平方数的负整数 d ，二次域 在ℚ中添加d的平方根而得的扩域。与 高斯 有理数 域类似，可以证明 是ℚ- 向量空间 ，以 为基，空间维数是2，即 。

考虑 多项式 方程 的 n 个复根 ，它们被称做 n 次 单位根 ，具体可以写作： 。

在ℚ中添加 得到的扩域称为 n 次分圆域，记作 。可以证明 是有限维ℚ- 向量空间 ，维数为 （φ是数论中的 欧拉函数 ），即 。

实数域 ℝ 、 复数 域ℂ和 p 进数域ℚ都不是 的有限扩张，因此都不是代数数域。任何 有限域 都不是ℚ的扩域，因此也不是代数数域。全体规矩数构成的域 和全体 代数数 构成的域（有时也被简称为代数数域，与本文主题同名，但不是同一个概念）不是ℚ的有限扩张，因此都不是代数数域。

代数整数

代数整数是指能够成为某个首一整数系数 多项式 的根的数。显然代数整数是一种代数数。任何整数n都是一次整系数多项式 的根，因此是代数整数。给定代数数域F，F中所有代数整数构成一个环，称作F中的（代数）整数环，也称为F-整数环，记作 。例如ℚ上的代数整数环就是 ℤ ，因此在代数数域研究中ℤ也被称作“有理整数”（ 有理数 域中的整数），以区别于其余的代数整数。

代数数域F中的整数环 与 ℤ 有不同的代数性质。 不一定是唯一分解整环。举例来说，设 ，F中的整数环是 。 都是 中的“素数”。正整数6，作为 中的元素，它的素因数分解有两种方式：

有理整数的唯一分解性质在不少代数数域的整数环中失效。这个事实说明了 拉梅 对 费马大定理 的证明是错误的。为此 库默尔 等引进了理想数来作为弥补，由此发展出理想理论。代数数论中一个重要的事实是： 的每个理想都可以唯一表示为素理想的乘积，即为戴德金整环。这种“理想的唯一素分解”可部分弥补“ 代数 整数一般不能唯一素因子分解”的不足，在历史上使代数数论发展起来。