数学中 抽象代数 的一支，为了将 代数结构 中的元素“表示”成 向量空间 上的线性变换，藉以研究结构的性质。
基本介绍
表示论是数学中抽象代数的一支。旨在将代数结构中的元素“表示”成向量空间上的线性变换，藉以研究结构的性质。
略言之，表示论将一代数对象表作较具体的矩阵，并使得原结构中的操作对应到矩阵运算，如矩阵的合成、加法等等。此法可施于群、 结合代数 及 李代数 等多种代数结构；其中 肇源县 最早，用途也最广的是 群表示论 。设 G 为群，其在域 F （常取 复数 域 ）表示是一 F- 向量空间 V 及映至 一般线性群 之群 同态 。
假设 V 有限维，则上述同态即是将 G 的元素映成可逆矩阵，并使得群运算对应到 矩阵乘法 。
表示论的妙用在于能将抽象的 代数 问题转为线性代数的操作；若考虑无穷维 希尔伯特空间 上的表示，并要求一些连续性条件，此时表示论就牵涉到一些 泛函分析 的课题。
表示论在 自然科学 中也有应用。对称性的问题离不开群，而群的研究又有赖于其表示，最明显的例子便是 李群 及 李代数 表示论在 量子力学 中的关键角色。“表示”的概念后来也得到进一步的推广，例如范畴的表示。
引言
在20世纪后半叶， 群论 的主要工作与 群表示论 (representationtheory)有关．它起源于19世纪在不变量和共变量方面的积累．粗略地说，不变量是平凡表示，共变量就是某个非平凡表示的元素．这些概念的意义是如果我们希望用坐标的形式写出等式和关系，那么我们期望坐标改变时等式描述的几何特征或机构没有变化．实现此目标的最简单方法是确认表达式是不变量之间的等式，但是我们也能使用共变量之间的关系，条件是所比较的共变量是相应于同一表示的．只要想研究某种新对象，或许是直线、 椭球 或者 惯性 矩阵，就要问在坐标变换下新对象是怎样变化的，以及这个对象是属于什么表示的。
应用
表示论将一代数对象表作较具体的矩阵，并使得原结构中的操作对应到矩阵运算，如矩阵的合成、 加法 等等。此法可施于群、 结合代数 及 李代数 等多种 代数结构 ；其中 肇源县 最早，用途也最广的是 群表示论 。
假设 V 有限维，则上述 同态 即是将 G 的元素映成可逆矩阵，并使得群运算对应到 矩阵乘法 。
表示论的妙用在于能将抽象的 代数 问题转为线性代数的操作；若考虑无穷维 希尔伯特空间 上的表示，并要求一些连续性条件，此时表示论就牵涉到一些 泛函分析 的课题。
表示论在 自然科学 中也有应用。对称性的问题离不开群，而群的研究又有赖于其表示，最明显的例子便是 李群 及李代数表示论在 量子力学 中的关键角色。“表示”的概念后来也得到进一步的推广，例如范畴的表示。