次数大于零的多项式 称为在数域P上是可约的，如果它可以表示为 中两个次数均大于零的多项式的乘积；否则就称 在P上不可约。
设 ， ，如果 不能表示成数域F上两个次数比它低的多项式的乘积，则称 是数域F上的不可约多项式。其中，零多项式和零次多项式既不能说是可约的，也不能说是不可约的；多项式的可约性与多项式所在的数域有关。
概念
不可约 多项式 ，顾名思义即不能写成两个次数较低的多项式之乘积的多项式。
有理系数的 多项式 ，当不能分解为两个次数大于零的有理系灵敏多项式的乘积时，称为 有理数 范围内“不可约多项式”。相应地可以定义 实数 系数或 复数 系数的不可约多项式。
“不可约”的意义随系数范围而不同。 在有理数范围内是不可约多项式，但在实数范围内就是可约多项式了。
一种重要的多项式。它在 多项式环 中有类似于素数在整数环中的地位。对于数域P上的任意 多项式 f(x) ，P 中非 零数c与cf(x)总是f(x)的因式。这两种因式称为f(x)的 平凡因式 ，亦称当然因式。其他的因式，称为f(x)的非平凡因式，亦称非当然因式。设p(x)为P上的一个次数大于零的 多项式 ，如果在P上p(x)只有平凡因式，则称p(x)在P上(或P[x]中)不可约，亦称p(x)是P上的不可约多项式，或 既约多项式 ；如果p(x)除平凡因式外，在P上还有其他因式，则称p(x)在P上(或在P[x]中)可约，亦称p(x)是P上的可约 多项式 。一个 多项式 是否可约，与其基域有关。例如， 在 有理数 域上不可约，但在实数域上可约，因为此时它有非平凡因式x+与x-。
数域P上的不可约多项式有如下的基本性质：
1。若p(x)不可约，且 ，则 也不可约。
2。若p(x)不可约，f(x)是任一多项式，则 或者 。
3。若p(x)不可约，且 ，则 或者 。
判定
定理1
爱森斯坦判别法：设 是 整系数 多项式 ，若有一个素数p使得：
（1）p不能 整除
（2）p整除
（3） 不能整出
那么 在 有理数 域上不可约。
注： 定理 1的证明通常采用“ 反证法 ”
定理2
爱森斯坦判别法的等价判别定理：设 是整系数多项式，若有一个素数p使得：
（1）p不能整除
（2）p整除
（3） 不能整出
那么 在有理数域上不可约。
注： 定理 1和定理2 都只是 判定整系数 多项式 在 有理数 域上不可约的 充分不必要条件 ，这就是说不满足定理1和定理2的判定条件的多项式可能是不可约的。
性质
1 、 不可约，则对任意 。
2 、 不可约，则对任意的非零 ， 不可约。
3 、（1） p(x)不可约，则对任意的 ， ，得到 或 。
（2） ，对任意 ， 可推出得到 或 ，得到p是不可约多项式。
证明
例1 。若p为 质数 ，求证有理系数 多项式 在 有理数 域上不可约。
证明： 是整系数多项式
因为P为质数，整系数 多项式 符合爱森斯坦判别法，所以整系数多项式 在整数环上不可约，即整系数多项式 在有理数域上不可约。由此可得 多项式 在有理数域上不可约。
应用
若m，n为 自然数 ，且m，求证不是任意m次整系数多项式的根。
证明：根据爱森斯坦判别法可知，多项式 是一个在 有理数 域上不可约n次多项式，且是多项式 的根。
因为 ，则对任意的m次多项式g（x），总有多项式 互素 ；
即多项式 没有公共根，所以 不是任意m次多项式的根（ ）。