因式分解是将多项式在特定数域范围内（如实数范围）分解为多个整式乘积的数学方法，属于初等数学核心内容，具有简化复杂问题的实用价值。它是 代数 的基本课题，在求解广泛类型的 方程 、不等式和方程组等应用中具有重要的作用。
多项式的因式分解是一种重要的恒等变形，通过多项式的因式分解，可以将一个复杂的多项式化成几个简单的组成成分，从而将比较复杂的问题化成比较简单的问题。
历史起源
古希腊时期，人们就已经开始研究因式分解，并利用它来解决实际问题。例如， 欧几里得 （英文： Euclid ）在其著作《 图形的分割 》 中, 运用因式分解, 从 几何学 的角度研究了三角形和 四边形 的面积关系。
在上图中,左半图是一个底边长为 2 , 高为 3 的三角形，右半图是一个边长为 2 的正方形减去一个边长为 1 的正方形剩下的图形，这两个图形面积是 相等 的，其原理可以从 平方差公式 来解释。 此外，欧几里得还研究了 质数 的问题，他使用 反证法 证明了质数的个数是无限的。
公元9世纪，波斯数学家阿尔·花拉子密（英文： Al - Khwarizmi ）在研究 一次方程 的求解时也运用到因式分解 。他在其著作《 代数学 》( Ilm al-jabr wa'lmukabala )中提出使用合并同类项的方法简化一次方程的求解。
近代以来，求解 代数方程 及求其根的分布是古典 代数学 研究的核心问题。让代数方程的求解更加简便，成为人们深入研究因式分解的初衷。1605年， 法国 数学家 弗朗索瓦·韦达 （法文：François Viète）在其著作中《论方程的整理和修改》（De aequationum recognitione etemendatione）中, 首先给出代数方程的 多项式 因式分解方法, 并证得所有三次和三次以上的一元 多项式在 实数 范围内皆可因式分解。
1629年， 荷兰 数学家阿尔伯特∙吉拉德(英文：Albert Girard) 在其发表的论文《代数中的新发现》中提出：“ n 次多项式有 n 个根”，这被称为代数的基本 定理 。之后， 瑞士 数学家 莱昂哈德·欧拉 （英文：Leonhard Euler） 、 德国 数学家 约翰·卡尔·弗里德里希·高斯 (英文：Johann Carl Friedrich Gauss ）先后对该定理进行研究并给出证明。 运用 代数 定理可以将每个次数高于1的复系数 多项式 在 复数 域上唯一地分解成一次因式的乘积。
1631年， 英国 数学家 托马斯·哈里奥特 （ 英语 ：Thomas Harriot）在其出版的《实用分析术》(Artis Analyticae Praxis) 中讨论了应用 因式分解法 求解 代数方程 。具体来说，若 ，则 ， 从而 ；也就是说， 是 方程 的一个根。
1637年， 勒内·笛卡尔 （法文：René Descartes）在其《几何学》中，首次使用 待定系数法 将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解，并最早给出因式分解 定理 。现今待定系数法已成为 多项式 因式分解的有力工具。
基本概念
因式分解是对多项式的一种变形，是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式。因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强。学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高综合分析和解决问题的能力。
因式分解是整式乘法的逆运算，以下面的平方差 恒等式 为例，由左向右为整式乘法，而从右向左即为对右端多项式的因式分解。因式分解的数学规范遵循两项基本原则：一是分解的彻底性，要求结果中的每个因子在对应数域中不可再分解，例如质因数在整数环上的不可分性；二是分解的规范性，多项式分解需保证首项系数标准化并按照变量幂次降序排列，以确保表达形式的唯一性。
从定义可以看到，因式分解的对象为 多项式 ，因式分解的结果必须是整式的积的形式，否则不能称为因式分解。
因式分解的结果与数域密切相关，例如，在实数域和 复数 域对多项式 会得到不同的结果。
（实数域）
（复数域）
常见方法
提取公因式法、运用公式法和 分组分解法 是对 多项式 进行因式分解的三种基本方法，除此之外，针对特殊类型的多项式，还有 十字相乘法 等方法。
提取公因式法
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法称为提取公因式法。如果多项式的首项为负，应先提取负号；如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。提公因式法是最基本的一种方法，形式为：
在运用提取公因式法时，最好找到各项的最高公因式，即次数最高和系数最大的公因式，如果系数存在非整数，则仅考虑提取系数最大的公因式。例如，多项式 各项的最高公因式为 ，则提取公因式后的因式分解结果为：
运用公式法
根据因式分解的意义，运用常见的 乘法公式 的逆运算，可以很方便对某些 多项式 分解因式。这种分解因式的方法称为运用公式法。
例如，运用 完全平方公式 可以对以下多项式进行因式分解。
分组分解法
当一个多项式的各项没有 公因式 时，可以把该多项式的各项适当分组，从而使这个多项式得以分解，这种方法称为称为 分组分解法 ，其基本原则是每个分组中存在公因式，选取的公因式不同，分组结果也有所区别。
例如，对 进行因式分解。
如果选取 作为公因式，则分解结果为：
如果以多个 公因式 来分组, 则分解结果为：
十字相乘法
十字相乘法是对二次三项式 分解因式最常用的方法，其形式为：
如果 二次项系数 能够分解成 的乘积, 常数项 能够分解成 的乘积，并且 按以下方法 交叉相乘 再相加后正好等于一次项系数 ，
即 ，那么：
例如，对二次三项式 进行因式分解。
二次项系数为6，常数项为-15，由于 ，将拆分项 交叉相乘 再相加恰好为常数项-1。
因此，该 多项式 的分解结果为： 。
待定系数法
列出一个含有待定系数的 恒等式 ，再利用多项式的恒等 定理 ，比较恒等式两边各对应项的系数，求出待定系数的值，从而实现对原多项式因式分解的方法，称为待定系数法。
多项式的恒等定理的内容为：两个多项式 恒成立当且仅当对应各项的系数 相等 ，即： 。
例如，应用 待定系数法 对 进行因式分解。
原式为二次 多项式 ，如果可以分解，则应该为两个一次因式，再根据两个二次项 可以初步列出两个一次项分别为： 和 。
列出多项式 恒等式 ：
将右侧展开：
根据 多项式 的恒等 定理 ，可列出含待定系数的 方程组 ：
解得
代回 恒等式 ，即：
常见的因式分解等式
完全平方公式
平方差公式
立方和与立方差公式
完全立方公式
其他公式
相关概念
有理根
多项式 的有理根指的是 方程 中在形式上可以表示为即约分数 的的解，其中 及 均为整数， 且 最大公约数 为1。对于高于4次的 有理数 系数的方程，尽管没有一般的 求根公式 。但如果其系数均为有理数，且仅需要求出有理根，该问题的求解方法已经比较完善。
公因式
是 数域 上的两个多项式，如果 既是 的因式， 又是 的因式，则称 为 与 的一个公因式。公因式的概念可以推广到有限多个 多项式 。
最大公因式
如果 是 与 的一个公因式，并且 与 的任意一个公因式均是 的因式，则称 是 与 的最大公因式。最大公因式的概念同样可以推广到有限多个多项式。
可约多项式与不可约多项式
是 数域 上的一个多项式，若 在数域 上只有 平凡因式 （非零 常数 以及本身的非零常数倍），称 为数域 上的不可约多项式，否则为可约多项式。从该定义可以看出，一个 多项式 是否可约，与定义的数域密切相关。例如，多项式 在实数域是不可约的，但在 复数 域是可约的，即： 。
因式定理
一元 n 次多项式 f(x) 含有因式 x-a 的 充分必要条件 是 f(a)=0 ，该定理被称为 因式定理 ，这是 笛卡儿 在《几何学》一书中提出的。
因式分解唯一性定理
数域 上的任何一个非常数 多项式 都可以分解为数域 上有限个不可约的多项式的乘积，并且这个分解式是唯一的。该 定理 为 多项式 的因式分解提供了理论依据。
应用
恒等变换
因式分解在求解和证明 恒等变换 问题中非常重要。 例如：
设 ，证明 。
证明过程如下：
依题意，有：
两边平方可得：
整理可得：
两边再平方可得：
整理可得：
对上式因式分解有：
因此：
解二次以及高次方程
使用因式分解的方法可以解方程。例如，在解 一元二次方程 时，经常用到 十字相乘法 和拆项分组法等。 因式分解法 在解高次方程时也有所运用。 例如：
解方程
求解过程如下：
使用十字相乘法对等式左端进行因式分解，可得：
故 方程 的解为
三角变换
在三角变换问题中，经常涉及到同角的几个基本等式与 和差化积 的公式的使用，因式分解经常用于三角变换问题中。 例如：
化简：
下面是求解该问题的一种方法，该方法运用了因式分解。
求公因式和求公倍式
求公因式和求公倍式是因式分解的一个重要应用，公因式和公倍式是和分式的运算紧密相关联的。 例如：
求 及 的 最高公因式 。
求解过程如下：
对两式进行因式分解可得：
故所求的最高公因式为 。
分式运算
因式分解在分式的计算和化简中具有非常重要的作用。 例如：
化简分式
求解过程如下：