柯西中值 定理 是 拉格朗日中值定理 的推广，是 微分学 的基本定理之一。其几何意义为，用 参数方程 表示的曲线上至少有一点，它的 切线 平行于两端点所在的弦。该 定理 可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。
柯西中值定理粗略地表明，对于两个端点之间的给定平面弧，至少有一个点，弧的切线通过其端点平行于切线。
柯西简介
柯西（ Cauchy ，Augustin Louis 1789-1857），出生于 巴黎 ，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是 法国 波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。并且在数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学的 定理 和公式也都以他的名字来称呼，如 柯西不等式 、 柯西积分公式 。
定理定义
柯西（Cauchy）中值定理 设函数 满足:
⑴ 在闭区间 上连续；
⑵ 在开区间 内可导；
(3) 对任意的 ;
那么在 内至少有一点 ，使得 成立.
在柯西中值定理中，若取 时，则其结论形式和 拉格朗日中值定理 的结论形式相同。
因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。
证明
可构造辅助函数 在 上连续，在 内可导，且有
由 罗尔中值定理 可知，存在 ，使得 ，即 又 ，所以有
此外，在柯西中值定理中，若取 时，其结论形式和 拉格朗日中值定理 的结论形式相同。
所以，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；相反，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。
几何意义
若令 ，这个形式可理解为 参数方程 ，而 则是连接参数曲线两端点弦的 斜率 ， 表示曲线上某点处 切线 的斜率，在 定理 的条件下，结论可理解如下： 用参数方程表示的曲线上至少有一点，在这一点处的切线平行于连接两个端点的弦。
值得注意的是，虽然用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。
但柯西定理不能表明在任何情况下不同的两点 和 都存在切线，因为可能存在一些c值使 ,换句话说取某个值时位于曲线的 驻点 ;在这些点处，曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子
在区间 上，曲线由 到 却并无一个水平 切线 ;然而它有一个驻点(实际上是一个 尖点 )
柯西中值定理可以用来证明 洛必达法则 ， 拉格朗日中值定理 是柯西中值定理当 时的特殊情况。
应用例子
泰勒公式的证明
柯西中值定理最主要的应用是证明 带有 约瑟夫·拉格朗日 余项的阶泰勒公式 ，只要反复使用柯西中值定理多次就能证明，下面以 为例说明。
例1 设 在 内二次可微，证明：任意的 ，在 之间存在 ，使
这就是函数 在点 邻域 内的一阶泰勒公式。
证明： 令 利用 在两次应用到柯西中值定理后可以得到：
命题得证。
洛必达法则的证明
柯西中值定理的一个最重要的应用就是可以推导计算待定型的极限最有效的方法——洛必达法则。
洛必达法则是求两个 无穷小量 或两个无穷大量的比的极限。在满足一定条件下可以化成两个函数的 导数 的比值极限，这样就有可能使得原待定型变成简便而有效的求非待定型极限的问题。
我们得出下面这个 定理 （洛必达法则）：
⑴两个函数 和 在开区间 可微，并且在这个开区间上， 的 导数 不等于0；
⑵存在极限 （或 ），其中A为一个有限的 常数 。则在以下情况下： （或者 和 ）。那么就有： （或 ）。在区间的另一个端点也存在类似的结果。这个 定理 就称之为 洛必达法则 ，能有效地应用于待定型的极限计算。
不等式的证明
柯西中值定理在不等式的证明也有广泛应用，关键是 和 要选得恰当。
例3. 试证明当 时， （引用文内原题，解法重新作出）。
证明:设 则 在区间 上满足柯西中值定理条件，所以存在 ，使 ，
即
结论得证。
中值点的存在性证明
中值点的存在性的证明是柯西中值定理最典型的应用之一。
例4 设 ，函数 在区间 上连续，在 内可导，则存在 ，使得 证明: 设 ， ，显然 在 上满足柯西中值定理的条件，于是存在 ，使得
即存在 ，使得 ，即可得结论。
求极限的用法
奥古斯丁-路易·柯西 ( Cauchy )中值定理是微分中值定理的三大定理之一，它比罗尔(Rolle)定理与 约瑟夫·拉格朗日 ( Lagrange )中值定理更具一般性，也具有更广泛的应用性，但大多 高等数学 的教材中仅介绍了柯西中值定理及其证明，对该定理的应用涉及较少，不利于学生对该定理的理解并发挥其应用价值。下面介绍一下利用柯西中值定理在求极限中的应用。
例： 求极限
解:① 当 时， 故 ②当 时，令 ，
则 与 在 上满足柯西中值定理的条件，故存在 ，使得 即 故 从而 故 又因为 ，所以 ，所以 。综合1、2，得： 说明： 柯西中值定理常用来求含 形式的极限问题。