A.-L. 奥古斯丁-路易·柯西 研究复变函数的积分所得到的基本 定理 。应用这一定理可导出解析函数的一系列重要性质。例如，可证明如果一复变函数在一区域内是解析的(即有 导数 )，则其导数必连续且任意阶导数必存在；还可计算一些定积分或 反常积分 ，等等。
简介
复积分定义 设函数 ƒ ( z )= u +i v 在可求长曲线Г上是连续的，其中 u 和 v 分别是 ƒ ( z )的实部和 虚部 。在Г上依次取分点。Г上从 到 zk 的小段记为Г k ,在Г k 上任取一点,作和数。如果当（ sk 是Г k 的弧长）趋于零时, s 趋于一极限值，则称这个极限值为 ƒ ( z )沿曲线Г的积分，记为 ，考虑到 ，亦有 。
柯西积分定理 设 ƒ ( z )在有限 单连通区域 （即“无洞”且不含无穷远点的区域） D 内解析,Г是 D 内任一条可求长、简单（即本身不相交）、闭(即两端点重合)曲线，则 。
柯西定理有一 逆定理 ，即莫雷拉定理，这一定理与柯西积分定理相结合，可叙述为：设 在有限单连通区域 D 内连续，则 ƒ ( z )在 D 内解析的 充分必要条件 是：对 D 内任一条可求长简单闭曲线（或任一三角形）Г， 。
柯西积分公式 由柯西积分定理可导出柯西积分公式，这一公式把解析函数用 曲线积分 表示出来。特别，它用解析函数在一闭曲线上的值，表示出它在曲线内侧的值。柯西积分公式可表述如下：设 ƒ ( z )在有限单连通区域 D 内解析，Г是 D 内任一条可求长简单闭曲线，则对Г所围区域内任一点 z ， （式中积分是在Г上沿反时针方向取的）。
推论
该 定理 的一个直接推论，是在 单连通域 内解析函数的路径积分可以用类似于微积分基本定理的方法来计算：设D是复平面的一个开 子集 。f是一个D上的解析函数。函数f在D内的路径积分，只与积分的起点和终点有关，与中间经历的路径无关。柯西积分定理与柯西积分公式是等价的。从柯西积分定理可以推导出柯西积分公式和 留数定理 。