设0≤X 1 ≤X 2 ≤…≤X n ≤…是一单调非负 随机变量 列。那么，若Xn(处处)收敛于随机变量X，则相应的数学期望列EX 1 ，EX 2 ，…，EX n ，…收敛于X的数学期望EX，这种现象称为单调收敛定理。
收敛性
定理
如果 是一个单调的 实数 序列（例如 ），则这个序列具有极限（如果我们把正无穷大和负无穷大也算作极限的话）。这个极限是有限的，当且仅当序列是有界的。
证明
我们证明如果递增序列 有上界，则它是收敛的，且它的极限为 。
由于 非空且有上界，因此根据实数的最小上界公理， 存在，且是有限的。现在，对于每一个 ，都存在一个 ，使得 ，否则 是 的一个上界，这与c为最小上界 的事实矛盾。于是，由于 是递增的，对于所有的 ，都有 ，因此根据定义， 的极限为 。证毕。
类似地，如果一个 实数 序列是递减且有下界，则它的最大下界就是它的极限。
定理
如果对于所有的 自然数 j 和 k ， 都是非负实数，且 ，则
勒贝格定理
这个定理是前一个定理的推广，也许就是最重要的单调收敛定理。
定理
设 为一个 测度 空间。设 为 可测的 值单调递增函数。也就是说： 。接着，设序列的逐点极限为f。也就是说： ，那么，f是 -可测的，且： 。
证明
我们首先证明f是 -可测函数。为此，只需证明区间 在f下的原像是X上的σ 代数 A的一个元素。设I为 的一个子区间。那么： ，另一方面，由于 是闭区间，因此： 等价于 ，所以： 。注意可数 交集 中的每一个集合都是A的一个元素，这是因为它是一个 波莱尔 子集 在 -可测函数 下的原像。由于根据定义，σ 代数 在可数交集下封闭，因此这便证明了f是 -可测的。需要注意的是，一般来说，任何可测函数的最小上界也是可测的。
现在我们证明单调收敛定理的余下的部分。f是 -可测的事实，意味着表达式 是定义良好的。
我们从证明 开始。
根据 勒贝格积分 的定义，其中SF是X上的-可测简单函数的 交集 。由于在每一个，都有，我们便有： 包含于 ，因此，由于一个 子集 的最小上界不能大于整个集合的最小上界，我们便有： ，右面的极限存在，因为序列是单调的。
我们现在证明另一个方向的不等式（也可从法图 引理 推出），也就是说，我们来证明： 从积分的定义可以推出，存在一个非负简单函数的非递增序列 ，它几乎处处逐点收敛于 f ，且：
只需证明对于每一个 ，都有：
这是因为如果这对每一个 k 都成立，那么等式左端的极限也将小于或等于等式右端。
我们证明如果 是简单函数，且 几乎处处，则： 由于积分是线性的，我们可以把函数 分拆成它的 常数 部分，化为 是σ 代数 A的一个元素B的指示函数的情况。在这种情况下，我们假设 是一个可测函数的序列，它在B的每一个点的最小上界都大于或等于一。为了证明这个结果，固定 ，并定义可测集合的序列： 根据积分的单调性，可以推出对于任何的 ，都有 根据 的假设，对于足够大的 n ，任何 B 内的 x 都将位于 内，因此： ，所以，我们有： 利用 测度 的单调性，可得 ，取 ，并利用这对任何正数都正确的事实， 定理 便得证。